DES NOMBRES DE DENTS

On satisfait aux quatre conditions à la fois en posant

q = àb.

Car alors p + q = a (d-hb) est multiple de A, et

^c + |a=A(c+a) est aussi multiple de A. Il est donc

inutile de pousser les séries des multiples de d et de b au delà de leurs àUma termes, et Ton aura par suite à essayer au plus A* combinaisons.

243. Deux cas particuliers sont à remarquer : 1° Si a = 1, la solution consiste à poser p=d, q=by et par

suite , , est la fraction la plus simple qui soit comprise en-

tre les fractions données, t» v Lorsque bc—ad=iy le déterminant du système

est égal à b(a-hc) — a{b-\-d)=bc — ad = A=l. De même le déterminant

la + c d

est égal à l'unité; de sorte que la fraction intercalaire possède, par rapport à chacune des fractions données, la propriété exprimée pour celles-ci par l'équation a=41.

2° Si fret d sont premiers entre eux, la quatrième condition

est comprise dans la troisième. En effet ^c+|a étant divisible par a, pbe+qda est divisible par bdà. Or je dis qu'il suffit que p-hq soit multiple de A pour que pbe + qda soit multiple de bdà.

1 H. Brocot a fondé sur cette remarque une méthode pour la recherche du nombre de dents d'un équipage de roues dentées.