S78 DÉTERMINATION

Soit p = m A •+• *, m étant le quotient et $ le reste de la division de p par a. Nous aurons aussi q=m' A— $f en appelant m' le quotient pris par excès de la division de 9 par a. Les nombres m et m' sont tous deux entiers.

Donc

pbc+qda=màbc+êbc+mràila—$d*

=*à[mbc+m?da)+ê[be—ad) =zà[mbc+mrds+$),

et par conséquent pbe+qdaest multiple de A dés quep+f est lui-même multiple de A.

Il en résulte que pbe + qda est divisible par bdà. Car, puisqu'on a be — ad = A et que 6 et d sont par hypothèse premiers entre eux, 6 et A sont aussi premiers entre eux, sans quoi tout facteur premier commun à b et h A, diviserait ad, ce qui est impossible, ni a ni d n'ayant de facteur commun avec b. De même d et A sont premiers entre eux.

Les trois nombres fc, d, A sont donc premiers entre eux deux à deux, et la somme j)bc-\-qday divisible h la fois par chacun de ces nombres, est divisible par leur produit.

244. Application. — Soit proposé de trouver la fraction la plus

simple comprise entre ^f et ^7.

Nous aurons

Essayons successivement pour p les multiples de 2G, et pour q les multiples de 25; puis formons les sommes p+f. On obtient ainsi les résultats inscrits dans le tableau suivant vles nombres soulignés sont, parmi les sommes p -4- q* les multiples du déterminant a) :