PARADOXE DE FERGUSSON
249. Une roue d'engrenage A est fixe; autour de son axe tourne le bras porte-train BB. Ce bras porte deux axes a et ? parallèles au premier.
Sur Taxe a est montée une roue C, qui engrène d'un côté
ÊPICYCLOlDÀUX. 585
avec la roue fixe Af et de l'autre avec trois roues folles P, Q, R,
moulées sur le même
axe p. „a^
La roue A porte n dents ;
La roue P en porte -* n-M; r^""^, ' f
LaroueQ,»; Fig m
Et la roue R, n — 1.
Le nombre des dents de la roue C est indifférent.
On propose de déterminer les vitesses angulaires ù>'0 <i>'„ g/„ des trois roues P, Q et R, lorsqu'on donne au bras portetrain une vitesse angulaire u autour de Taxe fixe A.
La formule e = — ----- s'applique successivement aux trains
cpicycloïdaux (Af P), (A, Q), (A, R), et donne, pour le premier,
Il Ûl', — Il
donc
w't = u —- ti= u x — ri » valeur positive;
1 n-M n-hl r
pour le second,
donc
pour le troisième,
Il __ w's — U
donc
«',--s u 2-r u = u x r 9 valeur négative.
La roue P tournera donc (par rapport au bras porte-train) dans le môme sens que le bras porte-train lui-même ; la
nie. colligsoh, 25
386 TIUJH ÊPICÏCLOlDiL
roue Q restera immobile, et la roue R tournera en sens contraire.
Ce résultat semble paradoxal, parce que, les trois roue» P, Q, R ayant à très peu près le même nombre de dents, on s'attend â les voir prendre des mouvements identiques.
EXEMPLE DE TRUH ÉPICTCLOUUL 8PHËHIQUE.
250. On appelle ainsi les trains épicycloldaux qui renferment des roues d'angles.
Un arbre AA' tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire <•>, en entraînant dans son mouvement les deux roues dentées B et C. La roue B engrène avec la roue D, qui bit corps avec une roue K.
La roue G engrené avec U roue E, qui Tait corps avec une roue F.
La roue F engrène avec une roue G , et la roue E avec la roue II ; les roues G et II sont solidaires, et montées loulcs deux sur un arbre mobile, II', autour duquel elles tournent librement.
L'arbre H' est lié invariablement a un autre arbre LL', qui traverse les roues D, E, F, K en leurs centres. On demande la vitesse angulaire Q de cet arbre LL'. Tous les mouvements considérés s'accomplissent autour d'axes concourants au point I, intersection des axes 11' et LL'. Soient b, c, d, e, f, g, h, k, les nombres de dents des roues de l'équipage.
La vitesse angulaire du système D K autour de l'axe LL' sera égale ù u x -j .
De même la vitesse angulaire du système EF autour du
SPHÉRIQUB. S87
même axe sera égale àwx-, Les deux vitesses angulaires
sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre. Si nous regardons la première comme positive , nous devons regarder la seconde comme négative. Nous pouvons de même attribuer un signe à Q, en lui appliquant la même convention.
Imprimons par la pensée aux trois systèmes DK, EF et II' une vitesse angulaire, autour de Taxe LL', égale et contraire à O ; alors les roues H et G seront ramenées à tourner autour d'un axe fixe, et les systèmes DK et EF seront animés respectivement de vitesses angulaires égales, en grandeur et en signe, à
pxJ-o
et
autour de l'axe commun LU. La vitesse angulaire apparente
de la roue F sera égale en valeur absolue àwx- + û.
Soit donc g/ la vitesse angulaire du système HG autour de son axe II' supposé fixe ; nous aurons pour les deux engrenages coniques (K, II) et (F, G) , en prenant les rapports des vitesses angulaires absolues, les relations
(wx^ + ny=W'0.
Eliminons g>' par la division, et nous aurons, pour déterminer - , l'équation
»xr/-fl k h
TRAIN ÉPICYCL0ID1L
On en déduit
« begk-edfh
Ce dispositif est employé pour réaliser des mouvements extrêmement lents. Il suffit en effet de prendre des nombres de dents suffisamment grands, et satisfaisant à la condition
cdfh—begk=±i.
Or cette équation est toujours possible en nombres entiers; on prendra pour c, d, /*, 6, *, g, des nombres tels, que le produit edf soit premier avec le produit beg; les méthodes de l'analyse indéterminée font alors connaître h et t.
À cet égard, les trains épicycloîdaux rentrent dans la classe des mouvements différentiels que nous examinerons plus loin.
USAGE BC6 TBALNS ÉPICYCLOÎDAUX POUR RÉALISER AVEC PRÉCISION LE RAPPORT DES VITESSES ANGULAIRES DES ARBRES TOURNANTS.
251. Nous prendrons pour exemple le dispositif suivant AA, arbre moteur; vitesse angulaire, o>. C, D, roues faisant corps avec l'arbre AÀ.
ml
ilitihlllllllifll
if'iriii.i Hi.iiiiiiE
El
inuipiBHcnniiniit] ulllllflî
m ij nniiu:umHii
iii.iiiiiiiiimiii^ElIIlffllllI
JL
Fig. iCO.
Ll/, MM', arl>res auxiliaires, portant l'un les roues solidaires c et E, et l'autre les roues solidaires il et F ; la roue c engrène
SPUÊRIQUB. SSO
avec la roue C ; de même d engrène avec la roue D ; «/, vitesse angulaire de l'arbre LL'; w'lf vitesse angulaire de l'arbre MMr.
BB, arbre auquel on veut transmettre le mouvement ; vitesse angulaire, u; cet arbre est solidaire du bras IK, autour duquel tourne la roue d'angle K.
e et G, roues dentées solidaires, montées sur un arbre concentrique à BB'; vitesse angulaire, g>". La roue e engrène avec E ; la roue d'angle G engrène avec K.
f et H, roues dentées solidaires, montées sur un arbre concentrique à l'arbre BB; vitesse angulaire,^. La roue /"engrène avec F ; la roue d'angle H avec la môme roue d'angle K. Ceci suppose les deux roues G et H égales et garnies du même nombre de dents.
Mous représenterons le nombre de dents de chaque roue par la lettre que cette roue porte dans la figure. On aura donc G=H.
NN', PP', flasques qui supportent les arbres tournants.
La vitesse de rotation o>' de l'arbre LL' est donnée en grandeur et en signe par l'équation
De même la vitesse de rotation du système formé par les roues e et G est
On aura donc aussi pour le système des deux roues solidaires/* et H
«•% = — j? 6»'! = + jj. W.
Imprimons par la pensée à tous les systèmes qui tournent autour de Taxe BB une vitesse égale et contraire à la vitesse u du bras porte-train IK ; le système eG sera réduit à la vitesse «/ — u, et le système /H à la vitesse c/â — u; ces deux systèmes tendent à faire tourner en sens contraires la roue d'an-
390 TUAIS ËPICYCLOlDAL
gle K, qui maintenant est supposée mobile autour d'un axe fixe. La vitesse angulaire qu'elle reçoit du système <rG est donc
égale à (m" — u) x p-, et celle qu elle reçoit du système fH est
dirigée en sens contraire, et égale par conséquent, en grandeur
et en signe, à (u — «"Ox™- Ces deux vitesses doivent être égales : donc
(«,-«)Xj = («-«i'i)X£,
équation d'où les nombres G, H et K disparaissent comme facteurs communs, car nous savons que H = GL Donc
Supposons que le rapport de u à o> soit exprimé par une
p fraction , ^f dans laquelle le numérateur P soit un nombre
premier très grand, le dénominateur Q étant un nombre décomposable en facteurs compris entre les limites convenables. Posons, par exemple,
Q = qq'q",
en n'admetlant que trois facteurs. Nous aurons à satisfaire à
l'égalité
w Q qq'q» '
et nous pouvons décomposer celle fraction en deux fractions plus simples. Soit en effet
— = — + JL.
qq'if q'q" qq"'
On en déduira
équation résoluble en nombres entiers, pourvu que (f e\q soient premiers entre eux.
