DU TIROIR
Développons en série le radical par la formule du binôme, et arrêtons-nous au second terme :
r* Dans cette formule, on néglige les puissances de^-.Nous
nous contenterons de cette approximation, et nous aurons par conséquent
OB= x= OE + EBj+BjB
= rsiii(«-M)+/-Hi— jjco*(*+t).
Dans cette équation , donnons successivement à <o les valeurs 0 et tc, qui correspondent aux deux points morts de la manivelle motrice : il viendra
r* pour« = 0, x1=rsin$4-/ + /| — s%cosfJ,
r* pour«=7r, Xj=— rsin5-f-/-f /|— ô]C08fJ.
Cherchons le milieu, X, de l'intervalle des deux points définis sur la droite OB par ces valeurs xt et xt. Si Ton représente par rf l'abscisse de ce point, qu'on appelle centre d'oscillation du tiroir, on aura
Comptons maintenant les abscisses du point B à partir du point X, et soit Ç la dislance XB, ou V écart du tiroir; il vient
Ç=s«— «'ssrsinlw+a) — jj[cosf(w+fl^cos,^J
rt
= r sin («+ i) + g-j sin (2* + «) sin *»
=r sin i cos » + r cos $ sin m + g? sin (M + m) sin «,
expression de la forme
Ç= A cos w+ B sin» + F ;
dans cette équation, A et B sont des constantes; F est une fonction de u>, mais cette fonction n'acquiert jamais de bien grandes valeurs, parce qu'elle contient en facteur la
quantité -y, laquelle est toujours très petite. C'est un terme
correctif qu'on peut supprimer dans la plupart des applications.
DIAGRAMME DE M. ÏEUJiËB.
283. laissant de côté le terme correctir F, M. Zeuner a donné une interprétation géométrique de la formule
£= AcosB-j-Bsinu,
qui définit l'i ■■ :ai i du liroir à partir de son centre d'oscillation, en fonction de l'angle u, décrit à partir du point mort par la manivelle motrice. Cette équation, considérée comme une relation entre l'angle polaire a et le rayon vecteur g, représente une circonférence passant par le pôle.
Soit OP l'aie polaire, 0 le pâle.
Prenons sur OP une longueur OA=A, et sur une perpendiculaire àOP une longueur OB = B. Puis taisons passer une circonférence par les trois poiuts A, 0, B. Ce sera la circonrérence cherchée.
En effet, menons par le point 0 une droite quelconque OR, faisant avec OP un angle ItOP — ù. Projetons les points B et A en 6 et a sur la droite OR. Nous aurons Oa = A cosw, 06:— B sin u. Menons le diamètre OC. Les quatre points 0, B, C, A, sont les sommets d'un rectangle inscrit, et par suite la corde AC est égale et parallèle à OB. D'ailleurs si Ton joint CR, l'angle CRO est droit; ait est la projection sur OR de la droite CA, égale et parallèle a OB. Donc aR=Oft, et par conséquent A cos u -h B sin u = OR. Donc enfin OR=Ç.
FJg. 311.
DE M. ZEUNER.
L'écart du tiroir est ainsi représenté, pour un angle ù> donné, par la longueur OR correspondante à cet angle.
Si l'on attribue à o> des valeurs supérieures à l'angle TOP, qui correspond à la tangente au cercle au point 0, mais inférieures au même angle augmenté de z, l'écart Ç devient négatif, et considéré comme rayon vecteur, il doit être porté sur le prolongement de la droite qui fait avec OP l'angle o>; cette construction reproduit la circonférence OACB déjà décrite* Comme les valeurs négatives de Ç correspondent à des écarts du tiroir différents de ceux qui sont représentés par les valeurs positives, il est bon de distinguer sur la figure les deux circonférences qui correspondent à chacune de ces valeurs; on y parvient en convenant de prendre toujours positivement la valeur de $ considérée comme un rayon vecteur, ce qui conduit à adopter (fig. 312) la circonférence OACB pour les valeurs qui sont naturellement positives, et une circonférence égale, OA'C'B', tangente au point 0 à la première, pour les valeurs négatives prises positivement. Ainsi, pour l'angle o) = R0A décrit par la manivelle motrice, l'écart du tiroir sera positif et égal à OR; pour l'angle R'OA, il sera négatif et égal à — OR'. Les limitesde l'écart dans un sens et dans l'autre sont H- OC, et — OC, pour des angles <o égaux à COA et à COA -+- rç. Le diamèlre OC des circonférences est égal à ^A1 + B% etl'an-
gle COA a pour tangente j.
Dans le cas de la distribution simple on a
Fig. 31Î.
Donc
À = r sin Jf B = rcosff.
Le diamètre des circonferenaa qui constituent le dbgrsnné est égal au rayon d'excentricité, et l'angle COA est le complément de l'avance angulaire.
Le même procédé s'applique au tracé d'an diagrmmmtim viteuet du tiroir. L'angle « croit proport ionnellianent ai temps, quand on suppose constante la vitesse angulaire « l'arbre tournant; négligeant le terme correctif F, on », ai appelant û cette vitesse angulaire»
g-[-i*.+lo—]a
La vitesse linéaire du tiroir est donc proportionnelle è k fonction 6 cos a — À sin w, laquelle peut se représenter par les rayons vecteurs d'une circonférence, ou mieux d'une double circonférence, si l'on exclut encore les valeurs négatives du rayon vecteur. Les circonférences des espaces pourront être employées pour représenter les vitesses, moyennant qu'on choisisse convenablement l'échelle, et qu'on fasse tourner les deux cercles d'un angle droit dans leur plan autour du point 0.
Enfin on obtiendrait la courbe de» accélérations en changeant encore l'échelle et en faisant tourner d'un nouvel angle droit la courbe des vitesses, ce qui ramène à la courbe des espaces. On a en effet
di
— [A cm »+ 6 tin „) û* - — û»(.
Nous verrons plus tard, dans l'étude de la machinée vapeur, l'utilité de ces diverses considérations.
Si l'on conservait le terme correctif, F=ô; m° (2î-H«) sin«
dans la formule qui donne $, on obtiendrait une courbe différcnle du cercle ; mais le terme F est toujours très petit en
DE M. ZEUNER. 440
valeur absolue, et s'annule pour quatre positions de la manivelle motrice, définies par les quatre équations
w = 0, 2oH-« = 0,
W=7T, 2£-j-tt=7T,
c'est-à-dire pour les angles — 25, 0, w — 25 et w.
Le maximum de sa Aaleur absolue correspond au maximum ou au minimum de sin (23 + o>) sin to ; égalant à zéro la dérivée de ce produit par rapport à <o, il vient
cos (2J-f- w) sin*» -{-sin (2$ -+- w)cosw = sin (2o-+-2w) = .0
Le maximum cherché correspond aux quatre valeurs
2*-f 2«= ir, 2* -H 2w=3it,
ou bien ào>= — 8, <»> = -i- — 8, <o= z — 8, (0=^ TC — 8,
angles qui définissent deux directions rectangulaires.
Les valeurs correspondantes de la fonction sont :
rf F= — o/Sin*8 pour une des directions,
et F= h-q] cos*8 pour l'autre.
On pourra, s'il en est besoin, corriger à laide de ces valeurs les cercles du diagramme.
COULISSE DE 8TEPBENSOTT.
284. La coulisse de Stephenson est l'appareil le plus généralement employé sur les locomotives pour changer le sens de la marche, et pour faire varier la détente de la vapeur.
Deux excentriques circulaires égaux, A et À', sont calés sur un même arbre tournant 0 (Gg. 513). Les barres AB, A'B' de ces deux excentriques sont articulées aux points B et B' avec une coulisse en arc de cercle, dans laquelle est engagé le coulis-
■<c. coluoho*. 20
