DANS SON PLAN
et 0' de l'origine. On achève de déterminer le point C en cherchant la longueur CI. Or on a
Donc
CIzziCKIcotl,
et, par conséquent, l'angle O'CI est égal à la moitié de l'angle <p, et l'angle 0/C0 est égal à l'angle 9 lui-même. On peut donc amener les axes Y'O'X' dans la position YOX en les faisant tourner autour du point C d'un angle 9, ce qui démontre le théorème.
On pourrait objecter que la distance CI, comme on Ta calculée, convient à la fois au point C et au point symétrique de C par rapport à O'O. Mais l'indécision n'est pas possible si l'on se reporte aux équations qui donnent a: et y en grandeur et en signe. Le point C doit toujours être situé d'un côté de la droite 00' tel, que la rotation qui amène O'C à coïncider avec OC s'effectue dans le même sens que la rotation du système d'axes autour de la nouvelle origine 0.
Si le déplacement est infiniment petit, et qu'on désigne par wet y les composantes parallèles aux axes de la vitesse du point O7, et par <*> la vitesse angulaire de la figure autour du même point, on aura
Donc
i«fr,
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cot
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x et y deviendront alors les coordonnées du centre instan-
SUR LE MOUVEMENT D'USE FICUilE PLANE tané de rotation, et l'on aura
'—■î 2e0 a— a s x«rf/" »
a » , 0 urff 2 i-rff . «
en négligeant les termes infiniment petits par rapport à ccuï ifua l'on conserve.
Le rapport *« montre que le point C est sur la droite
normale à 00'; on a de plus 0C, = œ, + j,= -
donc 0*C = -> V étant la vitesse totale du point 0'. La fij
tourne autour du point C, de l'angle <adt.
322. Proposons-nous de clterclier si une droite y=ax+b de la figure mobile conserve ton parallélisme dans le passage de la position Y'O'X' à la position YOX.
On passe des coordonnées (x',%/) aux coordonnées (x,y) par les équations
i = [*•- a) cm? + W— »iln*.
y = (y* — B) cosç - (*■ — «)tlnf;
de sorte que l'équation de la droite dans sa seconde position, rapportée aux axes fixes Y'OT, est
(y'p)cos»-(I'-a;îinç = nl{*'-«)co», + (y'-e)fint] + *.
Le coefficient angulaire de la droite dans sa première position était a; dans sa seconde position, rapportée aux mêmes axes, il est égal à
ctKip — a si n f
On devra donc avoir pour le parallélisme des deux positions
giny + naMy
D*RS SON PUH. 503,
ou bien sin ? = — a* sin s.
On en déduit soit sin ? = 0, avec a indéterminé, soit a'= — 1, avec? indéterminé.
Donc, ou bien l'angle y est nul ou égal à «; ou bien a est imaginaire et égal à ±V— ■»• Dans le second cas, qui est le cas général, les droites imaginaires y = ±zxy/— î+i sont les seules qui conservent leur parallélisme. Parmi ces droites, celles qui passent au centre C restent immobiles. Dans le premier, toutes les droites restent parallèles a elles-mêmes de la première à la seconde position de la figure, 1* lorsque la figure a subi un mouvement de translation (9— 0); 2* lorsque la figure a subi une rotation de 180" (?—*).
523. M. Cyparissos Stephanos a rattaché la théorie des centres de rotation des figures planes à celle des images, ou des figures symétriques par rapport & une droite.
Soient une première position AB d'une figure plane, A'B' une seconde position dans son plan. On peut toujours, d'une infinité de manières, trouver une figure ab telle, que les figures AB et A'B' soient les symétriques de la figure ab par rapport à deux droites OP, OP', convenablement choisies.
Soit 0, en effet, le centre autour duquel on doit faire tourner la figure AB pour l'amener & coïncider avec la figure A'B'. Ce point est à l'intersection des perpendiculaires ÎO.I'O, élevées sur le milieu des droites AA', BU', et la ligure tourne autour du point O de l'angle A0A' = BOB'.
Par le point O menons une droite arbitraire 0P, et construisons la figure ab, symétrique de AB par rapport à OP. Les droites Aa, B6 seront perpendiculaires & 0P, et divisées aux points « et £ en deux parties égales.
