PROJECTION DU MOUVEMENT

OY, jusqu'à la rencontre de Taxe OX. Nous formons ainsi trois contours polygonaux,

Oa,Mi. Oa.fr, M,, Oas6,Ms.

dont les côtés successifs sont les valeurs des coordonnées des trois points Ml? Mt, Mt.

Je dis d'abord que les trois points b0 b„ b% sont en ligne droite.

Menons, en effet, par le point biy une droite 6t c parallèle à OX : elle coupera en d la droite at bt et en c la droite a% b% ; les parallélogrammes ax bx da„ a%at dcy nous donnent les égalités

bfd = ota^ btc = tf |flj.

La dislance ata% représente la variation de l'abscisse x du point mobile pendant le temps 0 qu'il a mis à se transporter du point Mt au point M,; pendant ce môme temps 0, l'ordonnée y de ce point a passé de la grandeur at bt à la grandeur at bt ; elle a donc varié de la quantité at bt — albi=: b% d.

La vitesse de x qui, par hypothèse, est constante, est donc

égale à -^Jf et la vitesse de y à -*-.

Appelons de môme 0' le temps que le mobile met 5 aller du point Mt au point Ms; les coordonnées a; et y varient dans cet intervalle de temps de quantités égales à atas et à bjc;

leurs vitesses sont donc -^ pour la première, et -*,- pour la

seconde.

Et comme les mouvements des projections sont supposés uniformes, nous aurons les égalités

btd b-j;

RECTILIGSE ET tiNIFORUB. 65

Divisons ces égalités membre à membre, il viendra la proportion

btd bjjC atat ~~ a%af

ou bien

b{d "" btc

Les triangles btdb„ bxcb„ ont en d et c des angles égaux comme correspondants ; les côtés qui comprennent ces angles sont proportionnels en vertu de l'égalité précédente. Les deux triangles sont donc semblables, et l'angle bj>xd de l'un est égal à l'angle bj>xc de l'autre. Donc les trois points biy 6t, b% sont en ligne droite.

On en conclut sur-le-champ que les trois poinls Mt, M, ,M3, sont situés dans un même plan mené par la droite bx bt frs parallèlement à l'axe OZ.

Les points 6n 6„ frr sont les projections des points Mt, Mt, M,; le mouvement projeté sur le plan XOYest doncrectiligne, du moment que les mouvements projetés sur les axes OX, OY sont tous deux uniformes.

Nous pouvons ajouter que ce mouvement est uniforme.

En effet, 0 est le temps que met la projection du mobile sur le plan XOY à parcourir l'espace bx b„ et 0' est le temps qu'elle met à parcourir l'espace bt bv Or les triangles btbtd, fr^c, donnent la proportion

btbt bxd ain%

btbt bxc ata^

Mais ~LJ = -tt» car. le mouvement projeté sur l'axe OX

étant uniforme, les espaces décrits sont proportionnels aux temps mis à les décrire.

Donc rV,= tt» et les espaces décrits sur la trajectoire

bxbt sont aussi proportionnels aux temps; le mouvement projeté sur le plan XOY est par suite un mouvement uniforme.

UtC. COLilGSOS. 5