APPLICATIONS DE LA THÉORIE DU MOUVEMENT RELATIF

73. Soient AB, CD les rives parallèles d'un fleuve ; l'eau de ce fleuve s'écoule par filets parallèles, dans le sens de la flèche, avec une vitesse constante, u.

. Un nageur, parti du point E sur la rive CD, traverse la rivière

en donnant à son corps une vitesse t>, connue en grandeur et en direction, par rapport à l'eau dans laquelle il nage.

On demande en quel point F le nageur atteindra l'autre rive ÀB.

Le mouvement du nageur, du point E au point F, peut être considéré comme un mouvement absolu, en faisant abstraction du mouvement d'entraînement commun qui emporte la terre dans l'espace.

La vitesse absolue du nageur est la résultante de sa vitesse relative v Fig w

par rapport à l'eau et de la vitesse d'entraînement u de l'eau; on obtiendra donc la direction cherchée, EF, en construisant au point E le parallélogramme uEvV, dont les côtés Eu, Eu, sont respectivement égaux et parallèles à la vitesse d'entraînement et à la vitesse relative; la diagonale EV représentera en grandeur et en direction la vitesse absolue du nageur, et le point cherché, F, sera l'intersection de la rive AB avec le prolongement de cette diagonale.

En un point quelconque 1 de la trajectoire absolue EF, la vitesse absolue 1\T/ se décompose en deux vitesses, Tune III, qui est la vitesse d'entrainement u; l'autre 1K, qui est la vitesse relative du nageur par rapport à l'eau, égale et parallèle à la vitesse v.

Cette vitesse v coûtera seule des efforts au nageur. Le nageur, en se mettant à l'eau en un point E, donné, peut se proposer d'alteindre un point F déterminé de l'autre rive; dans ce cas, il doit régler la direction et la grandeur de la vitesse relative v qu'il donne à son corps, de manière que la résultante de v et de u, construite Fig ^

au point E, ait une direction passant

par le point F. Prenons donc sur la rive CD une quantité Eu égale et parallèle à la vitesse u de l'eau du fleuve. Prenons

arbitrairement sur EF un point Y, qui représentera l'extrémité de la vitesse absolue, et joignons Vu : cette droite représentera en grandeur et en direction la vitesse relative, t>, que le nageur doit réaliser. Le problème a une infinité de solutions, puisque le point V reste arbitraire sur la droite EF. Mais toutes ces solutions ne sont pas également avantageuses. Pour que le nageur ait le moins de peine possible à traverser la rivière, il convient que sa vitesse relative par rapport à Peau soit la moindre possible. Cette solution s'obtiendra en abaissant du point u la perpendiculaire uV sur la droite EF. On trouvera ainsi le minimum admissible pour la vitesse t>, car la perpendiculaire uV est moindre que toute oblique partant du point u et aboutissant à la droite EF.

74. Un mobile M décrit uniformément, avec une vitesse u, la droite fixe AB.

Un second mobile C se meut avec une vitesse v dans le plan CAB; sa trajectoire est une droite non définie de position. On

demande quelle est la direction à assigner à ce mobile pour qu'il rencontre le mobile M.

Si le point M était en repos, la Fi*,;G- trajectoire à assigner au mobile C

serait la droite CM. Mais le point M est animé le long de AB d'un mouvement défini par la vitesse m. On ne change rien au mouvement relatif des deux points M et C, en leur communiquant ù tous deux un mouvement d'entrainement commun (g 70). Choisissons, pour ce mouvement d'entrainement additionnel, un mouvement égal et contraire au mouvement du point M sur la droite AB. Le point M sera ainsi ramené au repos. Quant au point C, il sera animé de deux mouvements, l'un dans le sens CD, égal, parallèle et de sens contraire à la vitesse u, l'autre égal à la vitesse t»,- mais de direction encore inconnue; la résultante de ces deux mouvements donne la direction du mouvement relatif de C par rapport à M, et comme M est maintenant supposé fixe, cette direction est CM. Du point D comme centre, avec un rayon DE égal à v, déciivons un arc de cercle,

qui coupe la droite CM en un point E; DE sera la direction à donner au point D, et la trajectoire qu'il doit décrire en réalité est une parallèle, CF, menée par le point C a cette droite DE.

Il est facile de vérifier que le point F sera le point de rencontre des deux mobiles. En effet, le temps que le premier

CF met à aller du point C au point F est égal à — ; le temps que

MF

le second met à aller du point M au point F est — . Or les

triangles CDE, MFC, sont semblables et donnent la proportion