MÉTHODE DE ROBERVAL POUR LE TRACÉ DES TANGENTES AUX COURBES

82. Le problème des tangentes aux courbes est l'un des plus importants de la géométrie, et c'est la recherche des solutions de ce problème qui a conduit à la découverte du calcul différentiel. La cinématique peut dans bien des cas fournir la solution cherchée.

Considérons la courbe à laquelle on propose de mener une tangente, comme engendrée par le mouvement d'un point; la vitesse de ce point sera à chaque instant dirigée suivant la tangente à cette courbe. Décomposons à un certain instant le mouvement du point en deux mouvements simultanés : la vitesse absolue du point sera la résultante des vitesses corres-

TARGETTE A LA CONCHOÏDB. 100

pondantes à chacun de ces deux mouvements. Si donc on sait trouver lès vitesses de chacun d'eux, on pourra construire la tangente à la courbe par la règle du parallélogramme des vitesses.

La règle du calcul différentiel revient à cet énoncé. La direction de la tangente en un point (x, y) à une courbe

f(Xj y) = 0, est définie par le rapport -—. tiré de l'équation

de fa courbe ; cela équivaut à dire que la vitesse du point mobile, décomposée parallèlement aux axes, a pour composantes des vitesses proportionnelles à dx et à dy ; mais l'équation de la courbe donne

ou bien

dx dy

\7hj) (dx)

Donc enfin on obtiendra la tangente cherchée en composant deux droites, l'une, -r- > menée parallèlement à Taxe des a?, et

l'autre, — -^, menée parallèlement à Taxe des y.

Quelquefois on détermine facilement Tune des deux vitesses composantes en grandeur et en direction, tandis que la seconde est définie en direction seulement, ce qui ne suffit pas pour construire le parallélogramme dont Ja tangente cherchée est la diagonale. Dans ce cas, on peut souvent achever la solution en décomposant le mouvement du point d'une autre manière, dans laquelle les deux vitesses composantes soient encore connues en direction, et Tune d'elles en grandeur. Ces diverses méthodes sont connues en géométrie sous le nom de Méthode de Robemal.

83. Premier exemple. — Tangente à la concholde. — La conchoïde EF s'obtient en menant par un même point 0 des

Fis

110 MÉTHODE DE ROBBRVAL.

transversales OD, qui rencontrent une droite fixe ÀB, et en prenant sur ces transversales une longueur constante CD à

partir de la rencontre avec la droite ÀB. Soit D le point auquel on demande de mener une tangente à la courbe.

Considérons une position infiniment voisine, OD', de la transversale, ce qui nous donne un point de la courbe, D*, infiniment voisin du point D. Soit C le point de rencontre de la transversale avec la droite AB. Projetons les points C et D* sur OD; nous décomposons ainsi chacun des éléments CC, DD\ décrits par les points mobiles C et D, en deux éléments CC et CC, DO* et D"D', et si nous divisons ces éléments par le temps infiniment petit 6, que la droite OD met à passer à la position OD1, nous aurons les vitesses des points C et D, et les composantes de ces vitesses projetées sur OD et sur une perpendiculaire àOD.

Les longueurs CD et CD' sont égales par hypothèse ; d'ailleurs la longueur CD", projection de CD* sur une direction qui fait avec OD7 un angle infiniment petit, est égale à CD', à moins d'un infiniment petit du second ordre (§61). Par suite CD" = CD, et retranchant de part et d'autre la partie commune CD, il vient CC = DD". Si Ton divise par 6, on voit que les vitesses des points C et D, projetées sur OD, sont égales.