TANGENTE A UNE SECTION CONIQUE
sur MP, en II sur MF. Les longueurs MI el IIM seront les variations simultanées des distances MPet MF, quand le point mobile qui est supposé engendrer la courbe passe de M en M', et l'on aura par conséquent
MII = KxMI,
équation qui n'est autre autre que l'équation de la courbe différentiée.
On peut faire passer le point mobile de M en M' de deux manières : 1° en le faisant glisser de M en II, puis en faisant tourner le rayon FH autour de F jusqu'à ce que le point II coïncide avec M' ; 2° en le faisant glisser de M en I, puis en déplaçant la droite PI parallèlement à la directrice ÂB, de la quantité PI*.
La vitesse du mobile suivant la tangente cherchée a donc pour projection sur MP une vitesse proportionnelle à MI, et sur MF une vitesse proportionnelle à MH; mais MI et MH sont entre eux dans le même rapport que MP et MF. On peut donc prendre MP pour représenter la projection de la vitesse cherchée sur la direction MP, et MF représentera alors la projection de la même vitesse sur la direction MF. Il suffit par conséquent d'élever en F une perpendiculaire FL sur MF, de la prolonger jusqu'à la rencontre en L avec la directrice, et de joindre LM, pour avoir la tangente cherchée.
Cette construction revient en définitive à construire un quadrilatère PMFL, semblable au quadrilatère infinitésimal BIHM', et semblablement placé par rapport au point M. Les deux points homologues M' et L sont en ligne droite avec le centre M de similitude, et ML est la tangente demandée.
86. Tangente à l ellipse et à l hyperbole, rapportées à leurs foyers. — L'équation de l'ellipse rapportée à ses foyers est
en appelant r et r/ les distances MF, MF', d'un même point de la courbe aux deux foyers, et 2a la longueur du grand axe. On en déduit en différentiant
UÊTUODE DE ItOBERVAL.
OU
<fr= — df.
Fijr. 75.
Si donc le rayon F'M augmente d'une quantité MI' quand le point mobile passe de M en M', le rayon FM diminue d'une quantité MI égale à MF. On peut faire passer le point M dans
sa position M' infiniment voisine, en le faisant glisser d'une quantité arbitraire, infiniment petite, MI', le long du rayon FK, puis en faisant tourner le même rayon autour de F', pour ramener le point F sur la courbe; dans ce mouvement, le point F décrit l'élément FM' normal à FT. On peut amener aussi le point M en M' en le faisant glisser sur MF de la quantité MI, égale à 1M', puis en faisant tourner le rayon MF autour du foyer F, mouvement dans lequel le point mobile décrit un élément IM' normal à MF.
Donc les projections de la vitesse du point mobile sur les deux directions F'M, FM sont égales. On obtiendra la direction de la vitesse en prenant à partir du point M, sur le prolongement de l'un des rayons, et sur la direction même de l'autre, des quantités égales MA, MB, et en élevant des perpendiculaires AT, liT, sur ces rayons. Le point T, intersection des perpendiculaires, appartiendra à la tangente. La construction rewent à mener la bissectrice de Fangle BMF, adjacent à celui que forment les deux rayons.
On reconnaîtrait de même (fig. 74) que la tangente MT à l'hyperbole MN divise en deux parties égales Fangle des rayons vecteurs MF, MF' menés aux deux foyers F et F'. L'équation de l'hyperbole est
