VITESSE ACQUISE

même sens AB, mais que son mouvement soit uniforme; puis cherchons quelle esl au bout du temps dt la vitesse relative du mobile réel par rapport au mobile fictif.

Pour cela, nous appliquerons le théorème du g 68: la vitesse relative à un moment donné est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement prise en sens contraire.

Au bout du temps dt> la vitesse absolue du mobile réel est v'. Menons donc une droite OC égale à v\ et parallèle à la direction de la vitesse, c'est-à-dire parallèle à la trajectoire AB.

La vitesse d'entraînement est la vitesse du mobile fictif; elle est égale à v, et elle est dirigée suivant la droite AB ; mais nous devons la prendre en sens contraire, ce qui revient à porter sur CO, de C vers 0, une quantité CC7 = v ; la différence OC =t/ — v sera la résultante des deux vitesses v' etv\ c'est donc la vitesse relative cherchée.

Les deux vitesses v et v' diffèrent infiniment peu Tune de l'autre, et la quantité infiniment petite v' — v=dv est ce qu'on appelle la vitesse acquise élémentaire; si on la divise par

dv le temps df, le rapport -y exprime la quantité dont s'accroîtrait la vitesse du mobile pendant l'unité de temps, si, pendant toute cette durée, la vitesse recevait en temps égaux des accroissements élémentaires égaux.

Ce rapport —r est, comme nous l'avons vu, la vitesse de la

vitesse ou l'accélération du mouvement rectiligne.

Représentons-le par j ; nous aurons dv = jdt ; nous pourrons dire en conséquence que la vitesse du mobile s'accroît pendant un temps très court dt d'une quantité égale au produit de T accélération] par cet intervalle de temps dt, ou, en employant la notion du mouvement relu tif, que le produit jdt est la vitesse apparente qu aurait le mobile au bout du temps dt, par rapport -à un observateur qui pendant tout le temps dt conserverait la vitesse v qu avait le mobile au commencement de ce temps.

La considération du mouvement relatif conduit ainsi à dé-

composer le mouvement du mobile, entre deux positions très voisines M, M', occupées successivement par lui sur sa trajectoire, en deux mouvements simples : le premier est un mouvement uniforme, dont la vitesse constante est t; ; le second est un mouvement uniformément varié, qui part du repos et dont Y accélération constante est;. Le mouvement effectif du mobile sera la résultante de ces

deux mouvements; l'espace (otal £ 7iT~lx'

décrit sera la somme des deux es- Fig. 79.

paces respectivement décrits en

vertu de chaque mouvement considéré seul, puisqu'ils sont tous deux dirigés suivant la même droite.

Or, en vertu du premier mouvement pris isolément, le mobile parcourrait dans un temps 0, très petit, une longueur Mm = vô; en vertu du second mouvement, le mobile partant du repos parcourrait une longueur égale à \ jO* (§ 38) .

Ces deux longueurs, qui sont dirigées suivant la môme droite, s'additionnent pour donner l'espace réellement décrit,

Mais Mm = vô. Donc

Delà résulte une nouvelle méthode pour trouver l'accélération j dans le mouvement recliligne, en considérant les espaces parcourus.

On a en effet à la limite, pour 0 infiniment petit,

2»iM'

Pour trouver l'accélération ; à un instant donné, on prendra donc, au bout d'un temps 0 très court après cet instant, la distance mM' entre la position M' du mobile, et la position m qu'il aurait, si pendant tout le temps 0 il avait conservé sa vitesse, et on divisera le double de cette distance par 0*. Le quotient sera la mesure de l'accélération cherchée.

Les formules que nous venons d'obtenir sont générales,