MOUVEMENT CURVILIGNE

Fig. 80.

91. Nous pouvons appliquer les mêmes principes au mouvement curviligne.

Soit AB la trajectoire;

M et M', deux positions successives du mobile, Tune M au commencement, l'autre M" à la fin d'un intervalle de temps 9 très court.

Menons en M et M' deux tangentes à la trajectoire, et sur ces tangentes prenons, dans le sens du mouvement, deux longueurs My , MV égales aux vitesses du mobile à son passage en H et en M'.

Puis cherchons la vitesse relative du mobile parvenu en M' par rapport à un mobile fictif qui serait entraîné le long de Mr, avec la vitesse v que possède le mobile à son passage en M. Pour cela, menons par un môme point 0 de l'espace deux

droites OC, OC, égales et parallèles à Mp, MV. Joignons CC. Celte droite représentera la vitesse relative cherchée.

En effet, achevons le parallélogramme OCC'D; dans ce parallélogramme, la diagonale OC est la résultante des deux côtés OC, OD ; la vitesse absolue v' du mobile au point M' est la résultante de la vitesse OD, ou CC, et de la vitesse il entraînement, 0C = t\ du système de comparaison. Donc CC est la vitesse relative en grandeur et en direction.

Cette vitesse relative est encore ce qu'on appelle la vitesse acquise élémentaire. C'est la vitesse infiniment petite qui se compose avec la vitesse v pour produire au bout du temps 0 la vitesse v'.

Fig. 81.

CG' V accélération totale j est le quotient — de la vitesse acquise

élémentaire par le temps 0 du trajet du mobile de M en M'. La direction CC, ou OD, est la direction de l'accélération ;. Dans le mouvement curviligne, l'accélération totale a une direction différente de la vitesse ; elle a la même direction que la vitesse dans le mouvement rcctiligne.

La vitesse acquise élémentaire s'obtient en multipliant par 0 l'accélération totale;.

L'application de la théorie du mouvement relatif conduit donc encore à décomposer le mouvement réel du mobile pendant un temps très court ô, en deux mouvements rectilignes simultanés. Le premier, uniforme, s'effectue le long de la tangente à la trajectoire au point M avec la vitesse constante v que le mobile possède à son Flg* **'

passage en M. Le mobile parcourt en vertu de ce mouvement l'espace Mm=vô.

Le second, uniformément varié, fait parcourir au mobile l'espace rectiligne mM', avec une accélération constante égale à j ; ce second mouvement part du repos, et par suite, au bout du temps 0, l'espace décrit mM' est égal à \ jô\

h* accélération totale j se déterminera, en direction, par la recherche de la position que prend la droite mM' à la limite, lorsque 0 décroit indéfiniment; en grandeur, en divisant le double de la distance mM' par 0\

2mM'

et en prenant la limite de ce rapport.

92. L'analyse conduit au môme résultat. Soit (fig. 83) AM la trajectoire d'un point mobile, qui passe en À à un certain instant.

Rapportons le mouvement à trois axes coordonnés, menés par le point A, AX, AY, AZ ; nous prendrons l'un de ces axes, AX, tangent à la trajectoire en A, et dirigé dans le sens du

mouvement. Les deux autres axes, AY, AZ seront d'abord dirigés arbitrairement ; mais nous verrons qu'il y a intérêt à

adopter pour l'un d'eux, AZ, une direction particulière qui sera définie tout à l'heure. Les coordonnées du mobile, x, y, *, sont connues en fonction du temps t, mesuré a partir du passage du mobile en A, par trois équations de la forme :

Pig. 83.

Nous supposerons que ces fonctions soient développables en séries, ordonnées suivant les puissances ascendantes du temps f, au moins pour les très petites valeurs de la variable. Le mouvement, dans les environs du point A, sera donc défini par les équations

x = aQ-\-ait + a%t*-\~aJi+. ., y = b0 + bKt + btP + bj* +. . ., a = c0 4- ctt -f- c^t* + c^P -K . . .

Or, la trajectoire passant à l'origine, on a

ar=0, y=0, 4=0 pour ( = 0

et par suite

a0=bQ=c0=i).

De plus, elle est tangente à Taxe des x\ donc pour x=0f on a

lim.-=0. et lini.-=0.

ou bien, pour f=0,

.. c{t + cJ* -4-... A

ce qui exige qu'on ailfrl = 0, c4 = 0, avec ax différent de zéro,

TOTALE. 127

Ces hypothèses réduisent les équations du mouvement aux termes suivants :

x = att -f-tfjjt-f as*3-»-...*

Les composantes de la vitesse suivant les axes sont -7- , -r •

df ai

-j-; pour f=0, on voit que les composantes J et ~ sont

nulles, et que -r- = at. Donc at est la vitesse du mobile à son

passage au point À.

Au bout d'un temps f, très petit, le mobile est en B; prenons sur la tangente à la trajectoire une longueur AE=att; joignons EB, et menons les ordonnées BC, CD, du point B. La longueur EB est la résultante des trois longueurs ED, DC, CB, qui sont des infiniment petits du second ordre, et dont les valeurs sont :

ED = * — att = aip + ajP+. . ., CB =<:,£• + c5r* +....

Or nous pouvons disposer de la direction de Taxe AZ, de manière à réduire au troisième ordre de petitesse les éléments ED et DC. En effet, il suffit, pour réduire DC au troisième ordre, de mener AZ dans le plan oscillateur de la trajectoire au point A; car DC mesure, à un facteur près, la distance du point B pris sur la courbe au plan ZAX mené par une tangente à cette courbe : distance qui est un infiniment petit du second ordre pour un plan tangent quelconque, et qui se réduit à un infiniment petit du troisième ordre au moins, lorsqu'il s'agit du plan tangent particulier qu'on nomme plan osculateur. En orientant ensuite convenablement Taxe AZ dans le plan osculateur, on pourra réduire au troisième degré de petitesse la longueur ED; il suffit pour cela de prendre pour AZ la position limite de la droite EB quand l'arc AB diminue indéfini-

ment. Si l'on suppose cette direction particulière de l'axe AZ, ED et DC seront des infiniment petits du troisième ordre, et on aura par conséquent at = 0 et frt=0.

Les équations du mouvement deviennent

z = ott +05**+...,

Abstraction faite des infiniment petits d'ordre supérieur au second, le mouvement projeté sur Taxe des x est un mouvement uniforme, dont la vitesse est ai ; le mouvement projeté sur Taxe des % est un mouvement uniformément varié, qui part du repos

avec une accélération j = -p- = 2ct, et le mouvement projeté

sur l'axe des y est nul. Le mouvement réel du point est donc décomposé, pendant un temps 0 très court , en deux mouvements rectilignes, l'un uniforme suivant la tangente, l'autre uniformément varié , et l'accélération de ce dernier mouvement est Yaccéléralion totale du mouvement curviligne. Pour l'évaluer, observons quelle a pour valeur 2c^. Or 06 = 0,0% en se bornant aux infiniment petits du second ordre; donc

et puisque à la limite CB et EB se confondent, nous pouvons poser