FIE
L'aire d'un élément hélicoïde, d'après la convention faite plus haut, a pour expression
La vitesse relative du fluide par rapport à cet élément, estimée suivant la normale, étant
acosa — ursina,
la résistance élémentaire correspondante est de la forme
Afucosa — «raina)* (r. — r„) -; — j
k étant une constante; sa composante perpendiculaire à l'axe
est par suite
À(ucosa — wrsina)* (r, — r )*fe,
En la multipliant par w - ? et intégrant par rapport à z
de zéro à /, on obtient pour le travail dépensé par seconde pour faire mouvoir l'hélice
(i) S = Â(«COSa — wrsîna) 2 -î ^ /w.
La somme des composantes parallèles à l'axe des résistances éprouvées par les éléments de l'hélice étant
£(ucosa — wrsina) (rj — r )/cota,
on a
(2) ÛK« J = £(wcosa — wrsina) 2 (r,— /' )/cota,
Û étant Taire de la section maximum du bateau, Kle coefficient de la résistance qu'il éprouve. Celte équation fera connaître la vitesse de rotation &> qu'il faut imprimer à l'hélice pour obtenir une vitesse de translation donnée du bateau sur un courant d'eau dont on connaît la vitesse.
On voit aussi que la formule (1) peut se mettre sous la forme suivante :
fo = HKw 2 r JL±J± w tanga.
§ II. — Des récepteurs hydrauliques à axe vertical.
15. Les roues hydrauliques mobiles autour d'un axe vertical ont reçu le nom de turbines. Les turbines, qui peuvent être noyées sans inconvénient, sont généralement placées en contre-bas du niveau du bief d'aval lors des plus grandes sécheresses. Les formules générales (1) et (2) du n° 6 doivent évidemment s'appliquer aux turbines comme aux roues hydrauliques.
Elles forment trois catégories, savoir : i° les turbines dans lesquelles l'eau, en produisant son effet, s'éloigne de Taxe; type, turbine Fourneyron; 2 celles dans lesquelles l'eau reste
di l'eau cohue moteuh. 33
à une distance constante de l'axe, comme dans les différentes variétés de la roue d'Eulersurmonlëe d'un distributeur, telles que les turbines Fontaine, Jonval, etc.; 3° celles dans lesquelles l'eau agit en se rapprochant de l'axe, comme la roue à injection extérieure dePoncelel.
Nous allons étudier les principaux types de ces catégories.
16. Première catégorie. — Turbine Fourneyron. — Cette turbine est représentée par la fig. i5, dans laquelle CC est un
cylindre creux qui descend jusqu'au niveau KN du bief d'aval; l'eau du bief d'amont EE pénètre librement dans ce cylindre; 00 est un disque d'un diamètre légèrement inférieur au diamètre intérieur du cylindre, Taisant corps avec une sorte de tube central T fixé, par sa partie supérieure, au bâti établi sur un plancher placé au-dessus du bief d'amont: à ce disque sont adaptées des cloisons cylindriques verticales, identiques, reliant la base du tube à la circonférence extérieure du disque, avec lequel elles constituent le distributeur (fig. 16). Le dis-
tributeur r sert de noyau à une roue annulaire R, à aubes cylindriques verticales de même hauteur que les cloisons, mais dont la courbure est opposée à celle de ces cloisons. La roue,
Fi Ë - iC.
qui est complètement noyée dans le bief d'aval, est reliée par une calotte sphérique FF à la partie inférieure d'un arbre A, qui traverse le tube ï et qui transmet le mouvement. Cei arbre se termine, à sa partie inférieure, par un pivot qui s'appuie sur un levier IL mobile autour du point I; on peut déplacer ce levier, de manière à amener la roue exactement en regard du distributeur, en agissant sur un écrou engagé dans un filet de vis qui termine supérieurement une tige verticale articulée à l'extrémité L. Le graissage du pivot s'effectue au moyen du tuyau horizontal G, qui se recourbe verticalement à une certaine dislance, sort de l'eau et se termine par un entonnoir dans lequel on verse de l'huile.
Le débit de l'eau dans le distributeur est réglé par des obturateurs VV, montés sur une couronne, qui correspondent aux débouchés extérieurs du distributeur, en faisant varier la hauteur du système au moyen de tringles tl filetées à leur partie supérieure pour s'engager dans des écrous.
Le mouvement de la turbine est facile à comprendre : l'eau passe du cylindre CC dans les canaux du distributeur, de là dans la roue où, par sa pression sur les aubes, elle produit un mouvement de rotation dans le sens de la convexité des aubes.
Les canaux de la roue sont souvent divisés en plusieurs compartiments par des cloisons horizontales, en vue d'atténuer les effets des changements brusques de section à l'en-
trée de l'eau dans le récepteur, lorsque les orifices du distributeur ne sont pas complètement démasqués.
Soient {Jig. 17)
03 la vitesse angulaire de la turbine;
r, r 7 les rayons des circonférences extérieures du distributeur et du récepteur;
v la vitesse de l'eau à sa sortie b du distributeur;
ol l'angle formé par i>, ou le dernier élément de la cloison ab> avec la circonférence de rayon r;
w la vitesse relative, par rapport à la roue, de l'eau immédiatement avant son entrée dans le récepteur;
w la vitesse relative de l'eau dans la roue, immédiatement au delà de la zone des tourbillonnements résultant du changement brusque de vitesse à l'entrée;
w' la vitesse relative à la sortie du récepteur;
(3, (3' les angles connus que forment les directions de w 9 w f avec les circonférences de rayons r, /;
h la hauteur des centres de gravité du distributeur et du récepteur en contre-bas du niveau du bief d'amont;
h! la hauteur du niveau du bief d'aval au-dessus de ce point;
Pa, p la pression atmosphérique et la pression au débouché b du distributeur; *
H la hauteur de chute ;
Q le débit par seconde qui doit dépendre de H et de w, sui-
vant une loi que nous allons d'abord chercher à'établir, en négligeant, pour simplifier, les effets des contractions qui n'ont; d'ailleurs, qu'une importance secondaire.
On a d'abord
{a) Ji = ^^,
v ' 7.g II '
puis, comme «'« est la différence géométrique de fetwr,
(b) w\ = ç % -h w'r 2 — 2«n>cosa.
Les composantes de w % suivant w et perpendiculairement à sa direction ont respectivement pour valeurs
*>cos(p— a) — wrcosp et psin(p — a) — wrsinP;
le carré de la vitesse perdue à l'entrée dans la roue est par suite
. ,j [pcos(P -~a) — wrcosp — «'] a -»-[esin(P — a) — «rsinp] 2 'j = ç 2 -\- W V 2 -HW 2 — 2(WC0S(p — a) — 2ft)rpC0Sa-H2w/wC0sp.
Le principe des forces vives, appliqué au mouvement relatif de l'eau dans la roue, donne
o P-Pa h ,
pî + w V 2 -h W 1 — 2Ptt>C0S(3 — a) — 2to7VC0Sa-h2WTO'C0SP
Si l'on ajoute les équations (a) et (rf) en ayant égard à la valeur ( b) de v\ et remarquant que h — h' = H, on trouve
(e) w/ 2 -h«> 2 — 2<w C0S((3 — a) -+- 2wra>cos(3 = 2^H+ w 2 (/^ 2 — r 2 ).
La quantité d'eau que reçoit chaque canal de la roue varie périodiquement en raison de l'obturation partielle de l'orilice d'admission par les cloisons directrices ; mais, pour plus de simplicité,nous supposerons que l'orifice d'admission du canal est constant et qu'il correspond au même angle centre e que le débouché. Comme cet angle est toujours petit, on peut prendre
ersina, ersin^, e/sinjs'
pour les largeurs des orifices du distributeur et ceux du récepteur aux circonférences intérieure et extérieure.
Si l'on désigne par e la hauteur de ces orifices, par nie nombre des aubes, on a évidemment
(/) nerevsinoL = nerewsinp= nsr* ew'smp' = Q,
d'où
( , r ' sinP'
. . ] r sma
<v=*/- sin|'.
\ r sinp
L'équation (e) devient par suite
( „.„r , ^sin'y ar" Bin'P / C0B(P-an (2) J L ^ s i n2 ? r2 sinasinp J
( -h2w'wr'sinP'cotp = 2^H-+-w 2 (r' 2 ~r 2 ),
et fait connaître w', par suite Q.
On prend généralement l'angle (3 égal à 90 degrés, et alors on a
D'après cette formule on voit que, si, par une cause quelconque, par suite d'une réduction dans la résistance utile, la vitesse angulaire vient à augmenter, il en est de même du débit et par suite du travail moteur; de sorte que, si l'on n'arrive pas à temps pour abaisser les vannes, suivant une expression adoptée, la turbine s'emportera de plus en plus jusqu'au moment où sa vitesse atteindra une certaine limite que nous ferons connaître plus loin; d'où une cause de destruction et de danger qui fait à peu près renoncer à ce genre de moteur.
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que les canaux de distribution soient complètement remplis ou que p soit positif; autrement il se produirait dans le bief d'amont, au-dessus de la turbine, des tourbillonnements avec entraînement d'air, et le travail transmis au récepteur serait nul ou à peu près; il faut donc, d'après la for-
mule (a), que
ou
n ^ H sin 2 p r ,a . lfl , '
r i = siirp'
formule qui, transformée en égalité, fera connaître la vitesse angulaire maximum que peut atteindre le récepteur.
Proposons-nous maintenant de déterminer le coefficient d'effet utile du récepteur sans attribuer de valeur spéciale à l'angle (3.
Le carré de la vitesse de l'eau à sa sortie du distributeur est
w n -+- w 2 r'- +2wr' w'cos p' ;
en l'ajoutant au carré (<?) de la vitesse perdue et en se reportant à la formule générale (2) du n° 6, on trouve
I 7- 3 r Lsiirp sm-a sin p sin a J^
2 w r V ( sin fi' COt (3 -4- cos f ' — cot a ) -4- « 2 ( r 8 -h r' 2 )
formule dans laquelle il faudra remplacer w' par sa valeur trouvée plus haut.
L'équation -^ = o fera connaître la valeur de w correspondant au maximum de /a que l'on pourra ainsi calculer. Dans la pratique on prend :
-7 égal à 0,75 pour les chutes qui ne dépassent pas 2 mètres, à 0,70 pour les chutes de 2 à 6 mètres, et à o,65 pour les chutes supérieures;
cl = 25 à 35°, (3 = 90 , (3' = 20 à 25°.
Le rapport des nombres des cloisons du distributeur à celui des aubes a pour limites i,33 et i,5o.
La largeur de la section droite de chaque canal du distribu-
de l'eau comme moteur. 3g
leur, à son débouché, ne doit pas excéder o 1 ", 06 pour des débits de 1 mètre cube à 1 \ mètre, et doîl être moindre pour des dépenses plus faibles.
Sans certaines expériences a a atteint 0,80.
17. Deuxième catégorie. — Premier type. Turbine Fontaine. — Dans celte disposition, l'eau se rend dans le récepteur par un distributeur annulaire BB {Jig. 18 et 19) (') adapté au fond d'un réservoir A qui termine le bief d'amont. Les cloisons du
distributeur sont courbes et sont normales aux deux couronnes qui limitent la pièce. La roue, également annulaire, est noyée et a les mêmes rayons extérieur et intérieur que le distributeur au-dessous duquel elle est placé ; la courbure de ses aubes est opposée à celle des cloisons. La roue est reliée par une calotte sphérique à un arbre vertical FF; cet arbre est creux et est supporté, au moyen d'un pivot, parla tête d'un
(') La fig. 18 représente une coupe faite par un plan passant par l'aie de rotation e.t\*fig. 19 le développement de la section faite par le cylindre moyen de la roue et du distributeur.
4o CINQUIÈME FAHÏlï. — CHAPITRE II.
arbre fixe qui le traverse et qui est fortement établi sur le fond du bief d'aval.
Fi e . ig.
La turbine est pour ainsi dire suspendue, et le pivot se trouvant hors de l'eau peut facilement être entretenu dans un état convenable de frottement. Chacun des orifices du distributeur est muni d'une vanne spéciale V, à l'aide de laquelle on peut le fermer plus ou moins; une couronne CC réunit les tiges (/ de ces vannes, et est soutenue par des tringles ce à l'aide desquelles on peut la faire monter ou descendre, et par suite faire varier la grandeur des ouvertures par lesquelles l'eau peut s'écouler.
En développant le cylindre moyen {fis- 20), une cloison et
une aube qui se correspondent offrent une disposition ana-
logue à celle des éléments semblables de la turbine Fourneyron, en considérant les tangentes aux circonférences intérieure et extérieure de celle-ci comme représentant les développements verticaux des circonférences supérieure et inférieure de la roue que nous étudions ; ici Ton a toujours P = go°. La théorie de la turbine Fourneyron s'applique donc à la turbine Fontaine, en y supposant r^= r. Les formules (3), (4) du n° 16 donnent par suite
(i) Q = nzre tangp' v^#H,
fl/ 2 (l-4-sin 3 p'C0t 2 a)-4-2wr«''(r08p'— COta)-f- îwV 2
Le débit étant indépendant de la vitesse angulaire, le genre de turbine dont nous nous occupons n'offre pas l'inconvénient grave, signalé plus haut, que présente la turbine Fourneyron.
D'après l'expérience, le rapport de la vitesse de la circonférence moyenne de la roue à la vitesse due à la hauteur de la chute, correspondant au maximum d'effet, est égal à o,55. Le rendement, qui est de 70 pour 100 lorsque les vannes sont complètement levées, diminue lorsqu'on les abaisse et atteint à 0,575 dès que le débit est réduit au quart environ de sa valeur primitive.
Lorsqu'un cours d'eau subit des variations considérables, on rend la turbine double, en la formant de deux séries distinctes d'aubes séparées par une couronne intermédiaire. Les trots couronnes et les aubes sont fondues d'une seule pièce. Le distributeur comprend également des séries de cloisons distinctes. Chacune des parties de la roue ayant un vannage semblable à celui d'une roue simple, on peut faire arriver l'eau dans l'un ou l'autre compartiment annulaire de la roue, ou dans tous les deux, selon le volume d'eau que l'on a à débiter.
Deuxième type* Turbine Jonval. — Le distributeur et la turbine sont disposés comme dans le récepteur précédent; mais le récepteur se trouve au ras du fond du bief d'amont et est placé à l'orifice supérieur d'un tuyau avec lequel il se raccorde. Ce tuyau descend verticalement au fond du bief d'aval, se recourbe horizontalement et se termine
par un orifice que l'on démasque plus ou moins en faisant manœuvrer une vanne qui règle le débit, et qui permet, lors delà mise en train, de remplir complètement le tuyau; ce luyau doit rester plein pendant toute la marche. Cette disposition a l'avantage de rendre facile la visite et les réparations du système, avantage qui s'ajoute à celui que présente la turbine Fontaine au point de vue du pivot. Mais elle offre un grave inconvénient, la présence presque constante d'un homme chargé de régler le vannage pour obtenir un régime normal, quelle que soit la variation du travail résistant utile.
Lajig, 7.1 représente l'élévation du tuyau vu du côté de sa
Fi e . *<■
vanne inférieure et lajîg-. 11 la coupe perpendiculaire au plan de celte vanne passant par l'axe de la turbine.
SB l'eau cohue moteur. 43
Aux notations adoptées plus haut nous ajouterons les sui-
vantes :
Soient
vitesse de l'eau dans le tuyau, au-dessous de la turbine, nédîaiement après la zone des tourbillonnements;
Fi C . u.
p, la pression correspondante;
û, la section de ce tuyau;
v„ Q, la vitesse dans la section contractée de l'eau à la sortie du tuyau et l'aire de celle section;
Ma hauteur de la circonférence inférieure de la roue au-dessus du niveau du bief d'aval.
Nous avons, comme au n° 16,
(b) tyl = ç* -h a? r* — 2&>rPC0Sa,
et pour le carré de la vitesse perdue à l'entrée du distributeur
(c) P*H- w'H-f- w 1 — 2*wcOS(P — a) — 2&>/vCOSa -f- awwcosp.
La vitesse absolue de l'eau à sa sortie du récepteur a respectivement pour composantes verticale et horizontale
w'sinp', wr-f-w'cosP',
d'où, pour le carré de la vitesse perdue dans le tuyau,
( (c, — n/sin £')-+- (wr-i-n/cosp') 2
( = <>J ■+-«/'— 2p ( «/ sinf -h w 2 H+îw r^'cosp'.
Au delà des tourbillonnements le carré de la vitesse relative w t de l'eau par rapport à la roue est
(e) w\ = cj + w , / ,î .
Le principe des forces vives dans le mouvement relatif donne
«---"• -^tû
*g II
v*-\-v] -h(\>'-h «/--f- aw 2 r— 2wcos((3 — «) — a^w^sinp' 2wr(rr'COs{3 H- <*>' cos6' — v cosa)
ou
iv\ -+• w 2 -f- w' 2 +2w 3 /' 2 - 2pwcos((3 — a) — aCjtv'sînS'-H 2 &>r [w cos ft -f- «/cos PQ
«t-û+fe
Nous avons aussi
En ajoutant membre à membre les équations [a), (/), (g) et
de l'eau COMME MOTEUR. /\5
remarquant que H = h -t- A, -t- A„ on trouve
!V* -h V \ -h v\ -+■ W 1 H- ^' 2 -h 2»V~ 2PWC0S(P — a) — 2<VP / sin£'+2wr(«'COsp-f-w / cosp / ) = a gH;
mais on a
p 1 £1 1 = ^ 2 £1 2 = «sra>sina = mrew sin(3 = /isn?w'sin(i' = Q,
d'où
. sinfr'
sina
,sinfi' w = W ~Hâ >
, n ère sinp'
par suite
tv' 2 { I + Sin' P' I — , h
■pT— - .
r Lsin 2 a sin 2 ^
ex -"••'"(srà)
2 cos((3 — a)
inire~\ \
sinasin^ -h 2«'W(sin£'cot(3 -hcos|3') = 2gH — awV,
Cette équation fera connaître «>', par suite le débit qui diminuera, comme on le voit, quand la vitesse angulaire augmentera. Si donc le travail utile vient à éprouver une diminution, la vitesse angulaire augmentera d'abord; mais le débit et par conséquent le travail transmis diminueront, de sorte que la vitesse angulaire finira par décroître, etc. On voit ainsi qu'au bout de quelques instants la vitesse reprendra sensiblement sa vitesse normale, et la turbine se réglera à peu près d'ellemême.
Mais, pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que la pression p { soit positive; elle se déduira de la formule (g 1 ), et, en exprimant qu'elle est nulle, on obtiendra une équation qui fera connaître la valeur maximum que l'on peut donner au débouché du tuyau.
Pour calculer le coefficient d'effet utile, nous remarquerons que la perte de chute est due à la somme des carrés des vitesses (c) el(d), ajoutés à cj, de sorte que l'on aura
t p 1 + p;+cÎ + ip 1 +(1 i "-Mw 1 / j - 2MCC0S(P — a) j
) — ac,<f'sin^'-t- 2wr(<v cosfi -t- 'f'cosft'— ■ i>cpsa) )
expression dans laquelle on devra remplacer les vitesses par leurs valeurs déduites des équations (i) et (2).
Le rendement de cette turbine peut atteindre 0,72; le rapport de la vitesse à la circonférence extérieure de la roue, à la vitesse due à la chute totale, correspondant au maximum d'effet, parait égal à 0,70.
Généralement la roue porte dix-huit aubes; la plus courte distance des deux aubes consécutives est prise égale au -^ du diamètre extérieur, et la largeur de la roue au ~ du même diamètre.
18. Troisième catécohie. — Boue à injection extérieure de Poncelet. — Celte roue (./?g. s3) n'est en principe autre chose
que la roue à aubes courbes du même auteur et qui est placée horizontalement. L'eau arrive tangentiellemcnl à sa circonférence extérieure et s'échappe par son ouverture centrale.
de l'eau gomme moteur. 47
La roue ne doit pas être noyée, mais sa face inférieure doit être très-voisine du niveau du bief d'aval pour éviter inutilement une perte de chute.
Soient
v la vitesse de l'eau avant de pénétrer dans la roue ;
H la hauteur du centre de gravité de la section correspondante en contre-bas du niveau du bief d'amont;
p la pression en ce point, p a continuant à représenter la pression atmosphérique;
r, r' les rayons des circonférences extérieure et intérieure de la roue ;
a, (3 les inclinaisons respectives des aubes sur ces circonférences ;
w, w' la vitesse relative de l'eau à l'entrée de la roue, au delà des tourbillonnements, et à sa sortie du récepteur;
w la vitesse angulaire.
On a d'abord (a) ^ = Ztp? + H.
V ' 1g II
La vitesse relative de l'eau à l'entrée est c~«r; ses composantes suivant le premier élément de l'aube et suivant sa normale sont respectivement (o — cor) cosa, [v — wr) sina.
Le carré de la vitesse perdue à l'entrée est par suite
, t [[v — w/*) cosa — w] 2 -+-((> — w/') 2 sin 3 a
* ' ( = [v — w r)' 2 -h w' 1 — 2w(c — wr) cosa.
On a donc pour l'équation des forces vives dans le mouvement relatif
u/ 2 — (p — wr) 2 p — p a (v — w/*) 2 H-tv 2 — iw(v— wr)cosa w 2 (r 2 — r 12 )
2 II 1g Irg
OU
. ^-hw/ 2 — iw(v — wr) cosa p — p a w 2 (r 8 ~r! 2 )
En ajoutant entre elles les équations (a) et (6), on trouve
,. p 2 H- w 2 -f- h/ 2 — iw(v — wr) cosa __^ w 2 (r 2 — r 72 )^
Supposons que l'eau se meuve dans la roue comme si elle était guidée par deux aubes.
Soient
e la hauteur de la roue;
n l'épaisseur de la lame d'eau immédiatement avant l'entrée
dans le récepteur; e l'angle au centre correspondant à un canal.
On a pour déterminer e la relation
n = r(i — coss),
d'où, en remarquant que e est toujours un petit angle,
Nous avons maintenant
weirs\noL= w'esr^ sinp = ?£>î,
d'où
(i) w = :— *-, c= «Tsinpi/-
x ' r sma r y rn
L'équation (d) donne par suite
/•' 2 sin 2 3 ( -^— ,— h 1 /— cota ) -f- awr'sinG cota
D'après cette formule, on voit que la turbine comme celle de Jonval se règle d'elle-même par le fait de la force centrifuge, quand le travail résistant vient à diminuer.
Le carré de la vitesse de l'eau à la sortie étant
w' 2 -+- wV- 2&>rWcosp, la perte de chute est, en se reportant à l'expression (6),
«^+ w ,7 -h (v — «r) 2 -*- wV 2 — 'awrWcosp — %w{v — &>r)cosa.
de l'eau gomme moteur. 49
Le coefficient d'effet utile est, par suite,
w 2 -H w' 2 -h *>*-f- m 2 (r 2 -hr f2 ) — i « (rv-hrW cosS -h ra>cosa) — a wcosa
formule dans laquelle on devra remplacer les vitesses par leurs valeurs (i) et (2), après quoi on déterminera la valeur de (ù qui rend f* maximum.
