MACHINÉS ÉLÉV ATOMES

La soupape à ailettes (Jtg. 34) se compose d'un segment sphérique en bronze dont la base repose sur le siège pour produire la fermeture au repos. Elle porte quatre ailettes pris-

maliques dont la section normale a la forme d'une croix à branches égales; elles glissent à frottement doux dans un cylindre creux qui termine le .tuyau aboutissant à la soupape et servent ainsi de guides.

La soupape conique (Jig. 35) est munie d'une- tige traver-

Fi B . 33.

sant une bride disposée en dessous, et qui se termine par une tète destinée à limiter le déplacement de la soupape. La soupape à boulet(fig. 36) est une sphère creuse qui s'ap-

puie sur le bord d'une ouverture circulaire au-dessus de laquelle est disposée une cloche à jour destinée à limiter son déplacement.

Pour vérifier facilement l'état des soupapes et en rendre rapides les réparations, les tuyaux présentent un renflement aux points où elles se trouvent; ce renflement, appelé chapelle, porte une ouverture fermée par une plaque boulonnée.

Les pompes de la catégorie dont nous nous occupons se divisent en trois classes : les pompes aspirantes, les pompes foulantes, les pompes aspirantes et foulantes.

24. Pompe aspirante. — Sur la face supérieure [fig. 37 ) du piston P on dispose une soupape (quelquefois deux) recouvrant

une ouverture qui traverse la pièce. Le fond du cylindre est muni d'un clapet ( soupape d'aspiration on dormante) recou-

DES MACHINES ÉLÉTAT0IBE8. 65

vrant l'orifice supérieur du tuyau d'aspiration T qui plonge, d'autre part, dans le réservoir d'où le liquide, soit de l'eau pour fixer les idées, doit s'élever; vers le haut du corps de pompe, est adapté un tuyau latéral par lequel s'écoule l'eau fournie par la machine.

Il est facile de comprendre le jeu de la pompe. Supposons que T ne renferme pas d'eau au-dessus du niveau du réservoir d'alimentation et que le piston se trouve au bas de sa course ; si l'on élève ce piston, il tendra à se produire un vide au-dessous de lui; le clapet s'ouvrira, et l'eau s'élèvera dans T jusqu'au moment où P sera arrivé au sommet de sa course. En faisant descendre le piston, il comprimera l'air placé au-dessous de lui, ce qui produira la fermeture du clapet en même temps que la soupape du piston s'ouvrira pour laisser échapper cet air; pendant toute la descente du piston, le niveau de l'eau restera stationnairedans le tuyau. Après la double oscillation suivante, la hauteur de la colonne d'eau aura subi un accroissement dans T, tandis qu'une nouvelle quantité d'air aura été expulsée, et ainsi de suite jusqu'au moment où la pompe sera amorcée, ou que tout l'air aura été remplacé par de l'eau dans T. A partir delà, l'eau du réservoir sera appelée dans chaque oscillation ascendante et versée au dehors, et dans l'oscillation suivante elle ne fera que passer de la partie inférieure du piston à la partie, supérieure. On devrait théoriquement pouvoir élever l'eau à la hauteur de io m , 33 de la colonne d'eau qui fait équilibre à la pression atmosphérique lorsque la hauteur de la colonne barométrique est de o m , 76; mais on a reconnu par expérience que l'on ne pouvait guère espérer que 8 mètres et rarement 9 mètres, en raison de ce que les joints se laissent toujours traverser par de l'air, quelle que soit leur perfection, et d'autres causes que [nous mettrons plus loin en évidence.

Nous avons maintenant à résoudre les deux questions suivantes :

i* Déterminer le nombre de coups de piston qu'il faut donner pour expulser Vair de la pompe.

Dans ce qui suit nous négligerons l'espace nuisible, c'estiv. * 5

à-dire le vide compris entre le piston à fond de course et le fond inférieur du cylindre.

Soient

A la hauteur de ce fond au-dessus du niveau du réservoir;

z* la hauteur à laquelle s'est élevée l'eau dans le tuyau d'aspiration, supposé rectiligne et vertical, après la k iime oscillation ascendante;

a la section du tuyau;

H le poids spécifique de l'eau; *

p a r= Hé la pression atmosphérique ;

d, le poids spécifique de Taira cette pression;

•iÇ le volume engendré par le piston.

Le piston étant à fond de course après \ek ième coup, le volume occupé par l'air est a(h — z k ) et le poids de cet air

(a) **,(* ^jiZ-L*.

Lorsque le piston a exécuté sa k + i ièm * oscillation ascendante, le volume de l'air est devenu a{h — z*+, -f- Ç) , et son poids a pour expression

(b) ««.(A-v.h-Ç) En égalant les quantités (a) et (6), on trouve

d'où

A + t + Ç , I fh-hi-hty* 2,1 \ »

(<*) z k+l = ±y/(^ j -^-.(A-h.K-iÇ.

Il faut prendre là racine qui se réduit à z*, lorsqu'on suppose Ç = o, c'est-à-dire celle qui correspond au signe supérieur du radical. En remarquant que l'on az ( = o, on calculera successivement z x> z 3 ,.... Supposons que *„<A et z a+l ^> h; pour trouver la fraction du volume que doit engendrer le piston pour amener l'eau jusqu'à la soupape d'aspiration, lorsque l'on donnera le n -f- \ ièmê coup de piston, on supposera 3*+, = A

DES MACHINES ÉLÉVATOIBBS. 69

dans le premier membre de l'équation (c), k= n dans le second, et Ç, changeant de signiGcation, sera l'inconnue de la question.

2 Rendement de la pompe.

Soient

H la hauteur du niveau moyen du liquide dans le corps de pompe au-dessus du niveau du réservoir d'alimentation;

12 la section du corps de pompe ;

e l'épaisseur du piston;

2/ l'amplitude de ses oscillations;

y? la hauteur du liquide du corps de pompe au-dessus de la face supérieure du piston arrivé au point le plus bas;

x la distance de la face inférieure au milieu de sa course considérée comme positive en allant de bas en haut.

Nous admettrons, comme cela se fait habituellement, que la tige du piston est mise en mouvement par une manivelle à laquelle on imprime une vitesse angulaire constante w, ce qui nous donnera la relation

(i) X = — /C0Sft>l,

en prenant pour origine du temps l'instant où le piston est à fond de course.

Soient de plus

(2) V= — .- = w/sinw/

la vitesse du piston au bout du temps t;

N l'intégrale/pour toute la longueur du tuyau, de l'élément de son axe divisé par la seciion correspondante; la quantité analogue relative au volume du corps de pompe situé au-

dessous du piston est — tt — -,

p la pression, par unité de surface, que supporte la base inférieure du piston.

Le frottement du liquide dans le tuyau introduira, dans le second membre de l'équation du mouvement du liquide, un terme négatif proportionnel à V J ; la perte de force vive éprou-

vée par l'eau à son entrée dans le corps de pompe donnera un terme semblable ; en faisant passer ces deux termes dans le premier membre où se trouve déjà V*, nous obtiendrons, après réduction, un seul terme de la forme a'V*, a 2 étant un coefficient plus grand que l'unité, et que Ton sait calculer. Nous avons, par suite,

a'V'+-2 (n + ~) a g = a**iZ£ - a*[H-, -«-h (/ + *)]

,-I— C0S2W* /.- . I — COS«A a .

l P h a ( N -h / ) a&> a /cos&>*

2 V il J

(3) { X 7 = 2 8 ^"u — *£[H — *j — e -t- /(i — coswf)].

Pour que la pompe fonctionne comme nous l'avons supposé, il faut que la pression p soit positive, quel que soit /, ou que la hauteur H — yj — e du clapet d'aspiration au niveau du réservoir soit inférieure au minimum de

P* » • î w * /xt a * • * W '\^ W *J ,w*/ a .

~ — 2 /sur ( N -h — - sur — ) a — cosa>*— a 3 sin'al,

n 2 \ n 2 / g ig

que nous ne chercherons pas à calculer même par approximation; nous nous bornerons à faire remarquer que la différence

entre ^ = e et ce minimum croît avec la vitesse angulaire w,

c'est-à-dire avec la vitesse moyenne du piston.

La pression p' sur la base supérieure du piston différant peu de

p' — p a -+-n(vi — l-i-x)=p a -ï- n[n — /(i-+-cos«/)], l'équation (3) donne, par l'élimination de p a ,

Le travail moteur développé dans l'oscillation considérée est Q f (p'—p)dx,et, en ayant égard aux formules(i)et(a),

DES MACHINES ÉLÉYATOIRES. 69

on trouve

(5) a£[p'-p)dz=n[l^{**+i) + *{R-e)l]a.

Dans sa descente, le piston ne fait que déplacer l'eau qui se trouve au-dessous de lui, à travers sa soupape, pour la faire arriver de l'autre côté; le travail dépensé est, par suite, la demi-force vive totale du liquide à travers l'ouverture de cette soupape.

La vitesse à travers cet orifice, dont nous désignerons l'aire

VQ par <r, étant — > la demi-force vive perdue dans le temps dt

est

— V 3 -r dt.

En intégrant cette expression entre les valeurs de t correspondant à x = — /, x = /, on trouve

En négligeant le frottement du piston contre le corps de pompe, le travail moteur dépensé dans la double oscillation est la somme des expressions (5) et (6) ou

Or avec ce travail on n'a élevé que le volume liquide 2/Qà la hauteur H; c'est-à-dire que l'on n'a produit que le travail mile

(8) S H =2im/H.

Le rendement est, par suite,

: -fl + 3 7ff(, I+a+ ?)

On voit, d'après cela, que fx sera d'autant plus grand que w, a seront plus faibles et a plus grand, ou que le mouvement de

70 CIRQUIEVE F11T1E. — CHAPITRE [V.

la pompe sera moins rapide etque les sections des ouvertures des soupapes et du luyau d'aspiration seront plus grandes.

25. Pompe foulante. — Dans la pompe foulante {jig. 38), le piston est plein. Le corps de pompe plonge dans le réservoir

d'alimentation et son fond est muni d'une soupape dormante S comme dans la pompe précédente. Un clapet dit de refoulement S", s'ouvrant. du dedans au dehors, établit une communication entre la partie inférieure du corps de pompe et le luyau ascensionnel T\ Quand on élève le piston, la soupape S s'ouvre et laisse entrer l'eau dans le cylindre, tandis que, par suite d'une diminution de pression à l'intérieur, S" se ferme. Dans l'oscillation suivante, c'est l'inverse qui a lieu, S se ferme et S' s'ouvre pour laisser passer le liquide qui est refoulé dans le tuyau T'. La Jig. 3g représente une pompe foulante dite à piston plongeur, en raison de la forme du piston dont nous avons donné

des machines éléïatoises. 71

plus haut (23) la description. La pompe est munie d'un double clapet d'aspiration.

Dans l'oscillation ascendante, il y a bien une aspiration, mais assez faible pour que l'on puisse en faire abstraction; si l'on voulait toutefois calculer le travail qu'elle exige, il suffirait de se reporter à la formule (3) du numéro précédent et d'y supposer a = 1, N — o, 17 = 0, t=o, et d'y remplacer H par la hauteur h du niveau du réservoir au-dessus du fond du corps de pompe. On n'aura plus alors qu'à déterminer l'inié-

çrale D. j (/»„ — p)dx.

Occupons-nous maintenant du refoulement.

Soient

H' la hauteur à laquelle on doit élever l'eau au-dessus du fond

du corps de pompe; Q.' la section contractée de son débouché; N' l'équivalent de N pour le tuyau T'.

Nous conserverons d'ailleurs les autres notations du numéro précédent.

La vitesse dans cette section étant -^-^ la perte de charges due aux frottements et aux changements brusques de sections sera de la forme eU\ Si Ton pose a'* = ^ ■ + e — i, Tequation du mouvement du liquide sera

d'où Ton déduira le travail

Pa dx=S-

af l P=*

on trouve ainsi

En négligeant la faible hauteur du niveau du réservoir audessus du fond du corps de pompe, le travail utile est

£„= aim/H';

d'où, pour le coefficient d'effet utile,

26. Pompe aspirante et foulante. — Si l'on adapte un tuyau d'aspiration ï à l'ouverture S de la pompe ci-dessus, disposée en conséquence au-dessus du niveau du réservoir d'alimentation, on aura une pompe aspirante et foulante, dont, d'après ce qui précède, il est facile de trouver le travail développé dans deux oscillations successives, et par suite le rendement.

Cette pompe est dite à simple effet, parce que l'eau ne s'élève dans le tuyau ascensionnel que pendant une oscillation descendante, et dans le tuyau d'aspiration pendant une oscillation ascendante. On supprime l'intermittence du mouvement du liquide dans l'un et l'autre tuyau en employant une pompe à double effet. Dans cette pompe, les tuyaux d'aspiration T et de refoulement T' (Jig. 4o) communiquent avec le

DBS MACHINES ÊLÊTÀT01RKS. 73

haut et le bas du corps de pompe; les soupapes S, S, des orifices de T s'ouvrent du dehors au dedans du cylindre et se

Fi B . 4°.

trouvent en regard des soupapes S", S* correspondant à T, qui s'ouvrent au contraire du dedans au dehors.

On voit, par exemple, que, dans une oscillation ascendante du piston, l'eau est aspirée à la partie inférieure du corps de pompe en même temps qu'il y a refoulement dans T' du liquide qui se trouve sur le piston.

La dispositionle plus généralement adoptée pourles pompes

Fi 8 .4'.

aspirantes et foulantes à double effet est représentée par la Jig. 4 1 . Les deux extrémités du corps de pompe communiquent

74 CINQUIEME PÀIÏT1E. — CHAP1TBB IV.

chacune, par un tuyau, avec une chapelle unique où sont placés les qualre clapets d'aspiration et de reroulement.

Pour l'établissement d'une pompe, il ne fautpas compter sur un rendement de plus de 5o pour 100, quoique cependant, dans certaines circonstances, on soit arrivé à 0,75.

27. Pompe Letestu. — Dans cette pompe, qui est à simple effet [fig. 42), le piston est remplacé par un cône métallique

criblé de trous, auquel est fixé dans l'intérieur, et par son sommet, un cône en cuir flexible qui dépasse le premier cône et dont les bords s'appliquent sur les parois du corps de pompe quand il est pressé au dedans.

Quand on enfonce le cône métallique, les soupapes d'aspiration se ferment, et l'eau passe par les trous du cône métallique, écarte le cuir du corps de pompe el se rend dans la partie supérieure de ce corps de pompe. Dans le mouvement inverse, l'eau soulevée presse les bords du cuir contre les parois du cylindre, et tout passage est intercepté.

Il n'est pas nécessaire d'aléser le cylindre : l'eau peut être chargée de gravier sans entraver la marche de la machine, et

DES MACHINES ÊLÉViTOIHES. 7$

enfin H ne se développe pas de frottement contre le cylindre dans la période d'ascension.

La Jîg. 43 représente une pompe du même système plon-

Flf. 1,3.

gée dans le réservoir d'alimentation; le refoulement a lieu lors de la descente du piston.

28. application des réservoirs d'air aux pompes foulantes. — Pompes à incendie.— Lorsqu'une pompe foulante à simple effet refoule de l'eau dans un bassin supérieur, par un tuyau d'une certaine longueur, le volume liquide n'étant pas fourni d'une manière continue, mais seulement dans une demi- oscillation du piston, le mouvement de l'eau contenue dans le tuyau se ralentit dans la demi-oscillation suivante, où le piston produit une aspiration ; dans la troisième demi-oscillation, il faut qu'il rende à la masse (luide du tuyau la vitesse qu'elle a perdue par l'effet de la pesanteur et du frottement. Il peut résulter de là des variations notables dans la résistance à vaincre, par suite des secousses dans la machine et des pertes de travail. On évite ces inconvénients en plaçant un réservoir d'air sur le tuyau d'ascension près du clapet de refoulement; l'eau refoulée s'emmagasine en partie dans le réservoir dont le volume liquide va néanmoins en diminuant; dans l'oscillation

7 fi CINQUIÈME PARTI B. — CBAPITBI 1T.

suivante, l'air, en se détendant, continue à faire monter l'eau dans le bassin.

Dans tes pompes à double effet, l'intermittence est insensible et n'est due qu'aux arrêts très-courts qui suivent chaque point mort; mais, comme la vitesse du piston est périodique, il convient, lorsqu'on veu t avoir une grande régularité dans le débit, d'établir également un réservoir d'air surle tuyau d'élévation : c'est ce qui a lieu notamment dans les pompes à incendie {fig- 44)> dont les deux pistons à simple effet, mais

Fr g . 44.

dont les mouvements sont in verses l'un de l'autre, constituent, à proprement parler, une pompe à double effet.

Le calcul des effets d'une pompe à incendie présente des difficultés de calcul inextricables, que nous croyons toutefois devoir faire ressortir.

Nous pouvons toujours représenter le déplacement de chaque piston par une expression de la forme

/(i-cos-0.

/ et « étant deux constantes.

Soient

p a la pression atmosphérique ; U. le volume du réservoir; II le poids spécifique de l'eau;

DES MACHINES ÉLÉVàTOIRES. 77

U, le volume de l'air qu'il renferme au moment où le piston est sur le point de descendre ;

p x la pression correspondante ;

12 la surface des pistons ;

A la hauteur à laquelle on doit élever l'eau;

p la pression dans le réservoir d'air au bout du temps t;

V la vitesse correspondante de l'eau dans le tuyau de refoulement;

a la section de ce tuyau ;

L'équation du mouvement de l'eau dans le tuyau sera de la forme

(«) AV'-hB^=^-A,

A et B étant deux constantes que l'on sait calculer. Si l'on admet qu'il s'établisse une compensation entre l'air introduit avec l'eau dans le réservoir et l'air qui est entraîné par l'eau qui se rend dans le tuyau, on a

(a) V aPa =\J lPl .

Le volume d'eau introduit dans le réservoir au bout du temps / étant

(3) on a

/(i — coswf)n — a f Ydt,

Ydt

U, ■+■ /(i — coswf) — a j

V aPa

Vdt

U,-*-/(i— coswf ) — / En posant (5) x= Ç Vdt,

l'équation (1) devient

(*\ a iË? +r^ - ?» r U « ,1 h

{*>) * dt 2 + D di * - n |u t -*-/(i -cos»0-«-* J

équation qui parait ne pouvoir être intégrée que par série ordonnée suivant les puissances ascendantes de t; mais admettons que l'intégrale ait été obtenue; elle renfermera deux constantes arbitraires, dont Tune s'éliminera par la condition x = o pour / = o.

Le volume d'air devant être le même pour 7 = oet pour

la valeur t = - qui correspond au moment où le second pis-

ton est au point le plus haut de sa course, on a la condition

\dt = o.

Si enfin on exprime que V a la même valeur pour t = o et

t= - y on obtiendra une dernière relation qui, jointe à Téqua-

Gt>

tion(7), permettra de déterminer l'arbitraire introduite par l'intégration ainsi que l'inconnue U, ; on déterminera alors le maximum et le minimum de la vitesse V, et, en exprimant que leur différence ne doit pas dépasser une fraction déterminée de leur demi-somme, on aura les éléments voulus pour calculer le volume U« qu'il convient de donner au réservoir d'air.

29. Pompe rotative. — Nous nous bornerons à étudier le type suivant des pompes de ce genre [fig. 45).

La pompe dont nous nous proposons d'étudier les effets mécaniques se compose d'une roue à aubes droites ou courbes,

DES MACHINES ÊLÉVATOIRES. 79

mobile autour d'un axe horizontal 0, à laquelle on imprime un mouvement de rotation. Cette roue est renfermée dans une enveloppe dont les parois latérales sont planes et ne déterminent qu'un faible jeu; ces parois sont percées chacune d'un orifice central, d'un diamètre égal à celui de la circonférence intérieure de la roue, où aboutissent deux tuyaux d'aspiration T, T. Sur son pourtour, l'enveloppe est limitée par une surface cylindrique en spirale d'Archimède, partant d'un point A de la circonférence extérieure de la roue et qui se termine en B sur la direction du rayon OA. L'enveloppe se raccorde suivant la section AB avec le tuyau d'ascension T'. La forme spiraloïde donnée à l'enveloppe a pour objet de rendre la section de l'espace, dans lequel l'eau se rend en sortant de la roue, proportionnelle à l'arc de la circonférence extérieure suivant lequel le débouché a lieu, ce qui rend égales les vitesses relatives de l'eau dans les aubes, et constante la vitesse dans l'espace ci-dessus.

Soient

e la largeur de la roue ;

&) sa vitesse angulaire;

r, r' les rayons de ses circonférences intérieure et extérieure ;

a, (3 les inclinaisons, sur la tangente à ces circonférences menées dans le sens du mouvement de rotation, des aubes qui sont censées opposer leur convexité à la direction de ce mouvement;

n le nombre des aubes ;

e l'angle au centre correspondant aux orifices d'entrée et de sortie des aubes ;

p a la pression atmosphérique ;

U la vitesse de l'eau sous la partie centrale de la pompe ;

p la pression correspondante ;

h la hauteur de l'axe au-dessus du niveau du réservoir d'alimentation ;

iv 9 w? la vitesse relative de l'eau entre les aubes, à l'entrée et à la sortie ;

h! la hauteur du débouché du tuyau T' au-dessus du centre de gravité de la section AB, que nous désignerons par Q ;

V la vitesse dans cette section, à laquelle est censée égale la vitesse dans tout l'espace spiraloïde ;

p' la pression correspondante;

Q.' la section du débouché du tuyau T;

V la vitesse dans cette section.

On a d'abord, en remarquant que le frottement dans le tuyau d'aspiration peut être négligé,

v ' ig n

Le carré de la vitesse relative de l'eau, immédiatement avant son entrée dans les aubes, a pour expression

(a) wV-hU 2 .

Comme on peut admettre, sans grande erreur, que la vitesse moyenne dans l'espace périphérique, au débouché de la roue, est perpendiculaire au rayon, la vitesse relative correspondante est

Le carré de la vitesse perdue à l'entrée de la roue est

L'équation des forces vives dans le mouvement relatif donne par suite

w' 1 - wr 1 — U* p— p' w 2 -*- U'-f-w^-hawrwcosa t a i (r fi — r 1 )

, . w n -h w 2 -\- 2wr«'C0Sa p — p' w*(r' a — r 7 )

En ajoutant entre elles les équations (1) et (a), on trouve

.-. U ï +w , H-w' 2 +2»r«'C0Sa /? fl -/?' ««(/^—jJ)

*g îl *g

Nous avons négligé la pesanteur en établissant l'équation (2); nous en tiendrons compte, en supposant que h représente maintenant la hauteur du centre de gravité de la section Âfi

DES MACHINES ÉfcÉYÀTOIRES. 8l

au-dessus du niveau de l'eau dans le réservoir d'alimentation. Enfin nous aurons, en considérant le mouvement dans le tuyau T',

a* étant un coefficient que Ton sait déterminer.

En ajoutant entre elles les équations (3) et (4) et remarquant que h -+- h' est la hauteur totale d'élévation H, on trouve

a'V"— V 2 -4-U 2 -h^ 2 -f-tv' 2 -+-2wrtvcosa „ w >( r " r ')

Si Q désigne le débit, on a

(6) Q = VU = V'a'= nreesmoLt*> e = nr* se &\n$ t*/ e = itr*l} 2 }

et l'équation (5) donne par suite

[a 2 i i i ( i t i Wm i« n

d'où Ton déduit la valeur qu'il convient de donner à w pour obtenir un débit déterminé ou réciproquement.

(8) Ï^H - "" 1 ïp h nyH'

d'où l'on déduira le coefficient d'effet utile u. = — ~ — > après

y avoir remplacé les vitesses du liquide par leurs valeurs (6). Il y aurait lieu ensuite de déterminer les valeurs qu'il convient de donner à a, (3 pour que p soit un maximum pour une valeur donnée de Q ou de w; mais nous ne nous occuperons pas de cette recherche, qui nous conduirait beaucoup trop loin.

30. Bélier hydraulique. — Cette machine, imaginée par Montgolfier, a pour objet d'utiliser la puissance d'une chute d'eau pour élever une portion de l'eau fournie par cette chute a un niveau supérieur à celui du bief d'amont.