DES MACHINES ÉLÉVATOIRES

de variation sensible, de sorte que Ton peut considérer V # comme étant la vitesse delà colonne descendante au moment où le choc a lieu.

Pendant le choc, qui est de très-courte durée, du même ordre de grandeur que celui des corps solides dénués d'élasticité, il se produit dans la région de la soupape s', et de part et d'autre de son siège, des tourbillonnements qui sont bientôt détruits, et, à la fin du choc, les molécules en contact des deux colonnes ont la même vitesse V t ; les choses se passent donc ici de la même manière que dans le choc des corps mous, et nous pouvons par suite appliquer au problème actuel le théorème de Carnot, qui donne

5LA(Vï-Vî) + 5L'A'Vï = -5(AL-*-A'L')(V i -V l )» >

d'où

(3) Vt " AL + A'L' V °'

Il résulte de cette formule que la perte de force vive sera

AL

d'autant plus petite que le rapport yy-p sera plus grand. Il

conviendra donc de prendre A' = A et de donner au tuyau T le plus grand développement horizontal que comportera la disposition des lieux.

A la suite du choc, le mouvement de l'eau se continuera dans le tuyau formé par la réunion de ï et T'; la vitesse, sous l'action de la pesanteur et des frottements, ira constamment en diminuant et finira par s'annuler. A cet instant la pression sera la même sur les deux faces de la soupape s qui s'abaissera sous l'action de son poids, auquel s'ajoutera l'effet, produit par le mouvement descendant que prendra le liquide dans T', en raison de la différence de hauteur H'— H. La fermeture s'effectuera donc bien très-rapidement et, un peu avant qu'elle soit complète, s s'ouvrira, et ainsi de suite.

Soient D, D' les diamètres des tuyaux T, T'; b le coefficien. de frottement du liquide dans ces tuyaux (II e Partie, p. 282). On a, pour l'équation du mouvement de l'eau dans T, lorsque

s' est fermé, ou du moins à très-peu près,

u'ïé + gïï-" Tt ~W y ou

(4) a'V'-t-aL — = *g{ll-r>),

en posant, pour abréger,

(5) *'=ii'-*--D—

La durée de là période d'ouverture de la soupape s ne sera autre chose que la valeur / résultant de l'intégration de cette équation entre les limites V — o, V = V», et l'on trouvera facilement

(6 ) 0- -Jj—logV^-g^-"^"^

a\/lgll \/lg(ïi — r.) — aV,

Pour que 6 soit réel, il faut que l'on ait ou, en vertu de la formule (2),

yj ll a "" '

ÎT^ >I " h£ ^A 2 8BL'

il 2 D

condition que nous supposerons remplie.

Soit p la pression dans la section de l'orifice de s' au bout du temps t après le choc, dans la période où cette soupape reste ouverte. On a pour le tuyau T

V* / %bLg\ L d\ „ P a -p -2# \ D / g dt n

et pour T', en tenant compte de la perte de force vive à l'entrée,

V» / 2A UVg K'\ L' A d\ P - Pa

2g \ A' D' A'V g k' dt n ~ j ~ n # ,

DES MACHINES ÊLÉVATOIRES. 87

Si nous posons

„ SbLg SbL'gÂ* 2 A

les équations précédentes ajoutées membre à membre donnent

*g g dt

La durée 0' de la période d'ouverture de la soupape s' sera la valeur de t résultant de l'intégration de cette équation entre les limites V ■= V,, V = o ; on trouve ainsi

(9) G'^v/^/itang-p,.

y 2 gh

Le débit du liquide par l'orifice de la soupape s dans le temps est, en ayant égard à l'équation (4),

(io) A f Vclt=ikL f

2 £(H->,)-a 2 V 2 ~ a a * v °2^(H-»j)-a J VJ

Le débit du liquide dans le temps 0', lorsque la soupape s' est ouverte, en vertu de l'équation (8),

II A 1 V^ = — 2A/ / , ûx7J = -r

Le travail dépensé s'obtiendra en multipliant l'expression (io) par H(H — yj), et le travail utile en multipliant (n) par n (H' — H), ce qui donne pour le coefficient d'effet utile

(I2) * «'H'-H ag(H'-H) + «"V î 2g(H-„)

[l2} P- La' 3 H-„ 10g 2g-(H'-H) I0 S 2 ^(H->i)-a a Vï

M. Morin, en partant de l'expérience, a été conduit à poser

pour i|- compris entre 2,5o et 1 1 ; au delà de cette dernière

limite, le rendement est si faible qu'il y a lieu de recourir aux pompes.

Il existe cependant, à la source de la rivière de la Loue (Doubs), un bélier hydraulique dont le fonctionnement est assez régulier, et qui, sous une chute de 10 mètres, élève l'eau à une hauteur de 120 mètres pour alimenter les fontaines du village d'Ouhans.

Il faut éviter de recourber le tuyau d'ascension à la partie supérieure. Le réservoir d'air doit avoir une capacité égale ou un peu supérieure à celle du tuyau ascensionnel (').

(*) Des coups de bélier dans les conduites d'eau, — Emploi des réservoirs d'air pour les éviter, — Lorsque l'on ferme brusquement un robinet placé sur une conduite, la demi-force vive acquise par la masse liquide n'est détruite en partie qu'à la suite d'un choc contre les parois du tuyau et qui tend à les détruire, choc auquel on a donné le nom de coup de bélier, par une certaine analogie sur laquelle nous n'insisterons pas.

On évite le coup de bélier en plaçant un réservoir d'air sur la conduite à une

faible distance du robinet.

Soient (/îg. 48)

Fig. 48.

(A) le bassin d'alimentation d'une conduite;

R le réservoir d'air;

a 9 b 9t c 9 d 9 les niveaux du liquide dans (A) et R avant la fermeture du robinet;

DES MACHINES ËLÊYATOIBES. 89

31. Fi» d'Àrckimède. — Cetie machine, qui sert à élever les eaux à une faible hauteur, el que l'on emploie principalement pour les épuisements, est formée d'une enveloppe cylindrique reliée à un noyau central par des cloisons au nombre de 2, 3 ou 4> qui affectent la forme d'un hélicoïde gauche (fig. 4g). ayant pour axe celui de l'enveloppe. L'ap-

Fig- 4g.

pareil se place de manière que, l'axe étant incliné d'un tertain angle sur l'horizon, son extrémité inférieure plonge dans le bief d'alimentation. En lui imprimant un mouvement de rotation, l'eau s'introduit par l'extrémité inférieure des con-

a, n.' les sections de (A) et R;

h t la hauteur du premier niveau au-dessus du second;

V, la vitesse de l'eau;

V, le volume d'air compris dans R;

p, I* pression ;

D le diamètre de la conduite; .

L la longueur de la portion de cette conduite comprise entre (A) el r;

ab, cd ce que deviennent les niveaux dans (A), R au bout du temps I, après

la fermeture du robinet; V la vitesse dans la conduite A; U le volume d'air.

Nous pourrions traiter la question en suivant une marche analogue a celle que nous avons indiquée dans la question des réservoirs d'air appliqués am pompes à incendie; mais, comme nous arriverions à une équation que l'on ne

gO CINQUIÈME PARTIE. — CHANTEE IV.

dùiies hélicoïdes, glisse le long de leurs parois gauches, comme sur un plan incliné, s'élève graduellement et s'échappe par la partie supérieure dans un canal disposé à cet effet. A l'introduction de chaque masse d'eau succède celle d'une certaine quantité d'air.

Pour bien comprendre le jeu delà vis d'Archïmède, nous la supposerons d'abord réduite à un tube hélicoïdal de trèspetite section, dont l'axe est incliné de l'angle a sur l'horizon.

Soient (Jig. 5o) i l'inclinaison de la tangente à l'hélice, sur la section droite de son cylindre dont nous désignerons par r le rayon. Appelons w la vitesse angulaire de la vis. Cette vitesse étant toujours très-faible, on peut négliger la force centrifuge, de sorte que les deux surfaces libres de chaque masse liquide introduite, puis élevée, se trouveront à chaque in-

peut pas intégrer, nous procéderons par approximation de la manière suivante :

On a

\o\,a 9 b ab = vo\.c n d cd = U — U,

et les distances verticales de a Q b Q1 ab et de cd t c d sont, par suite,

La pression dans le réservoir au bout du temps t étant, d'après la loi de Mariotte,

P = -ÏT»

le travail négatif résultant de la compression de l'air dans le réservoir a pour valeur

(«) / /><*U= — PoUolog-jji

le travail développé par la pesanteur est

Gomme il est impossible de calculer le travail du frottement, nous supposerons par approximation que cette résistance est constante et correspond à la

moyenne valeur — de — -•

Ce travail a, par suite, pour valeur

2 Ja