IA'\ — -V

14 ) -zr- A »

dx J

<*> -^--ëfë-*)-

En ajoutant et retranchant l'une de l'autre les équations (2') et (4'), on trouve

d ,~ vx xd(\ — V) ^(a-*-X) = o, — -Ha(A-X) = o,

d'où

(6) À + V = C, A-Vc=g,

G et C étant deux constantes ; mais la seconde est nulle, puisque a — X' ne peut pas être infini pour x = o; d'où il suit que X et X' sont égaux et constants, du moins dans les limites de l'approximation que nous avons adoptée.

Si le fond du cylindre est encastré sur son pourtour, a et X' sont nuls.

L'équation (5') donne successivement, en remarquant que

DBS CHAUDIÈRES À VAPEUR. 23 1

-j~ ne peut pas être infini pour x = o, et que, pour cette va-

dy leur, -~— et jr sont nuls.

(Py __ \'i ( px dx*

dr Eei\iSc ° X )

6*' / px 2 w \

Dans le cas d'un encastrement on a

dr

-j- = o pour* = v,

d'où

La courbure changera de signe ou le fond deviendra con-

cave à partir de la circonférence de rayon - -^/3 = 0^77 v.

Le maximum de la tension élastique développée correspond à x = * , de sorte que le danger de rupture se trouve à l'encastrement, ce qui est conforme à l'expérience. Si l'on égale ce maximum à l'effort maximum T que l'on veut faire supporter à la matière, on trouve

tf\ étant l'épaisseur que doit avoir une enveloppe cylindrique de rayon v pour résister à la pression p dans les mêmes conditions que le fond plat.

On voit ainsi que, même pour des diamètres très-ordinaires, on devrait donner aux fonds plats des chaudières cylindriques des épaisseurs trop considérables pour qu'on puisse les réaliser.

Si nous continuons à admettre que la résistance transver-

sale est les { de la résistance à l'allongement ou à la compression, il faut que le maximum de G qui correspond a

x = %, soit inférieur à ~T ou que — <C{r, ou, en remplaçant

e, par sa valeur (7),

sou

condition qui sera toujours remplie dans la pratique; car, en supposant, par exemple, que l'on veuille faire travailler comme d'habitude le fer à 6 kilogrammes par millimètre carré, il suffirait que l'on eût

soit 900 atmosphères environ.

La flèche n'est autre chose que la valeur de j correspondant àx = v, et a pour valeur

57. Fonds sphériques. — Dans ce cas p# est constant et l'on a

1 1 d$9 ar= Pi sin(p, y = p f (i - cos*), ds = p 9 d<f, -__ = —,

p Po Po"?

d'où

(%") — - — L = àcos? — sinyty,

(3') 0=(j&-EÀ)tang ?t

v ' COSîpflfy \2Ee # J DT '

( 5 '^( sin ^S)=-M[(ï!- m ) sin?tang? - 3,tC0ST }

L'équation (5') est vérifiée par d<p = o et £& — EX = o,

DBS CHAUDIÈRES Â TAPEUR. 233

311 = o, ce qui est précisément la solution qui correspond à l'équilibre d'élasticité d'une enveloppe sphérique complète soumise à la pression intérieure p.

Comme on ne peut tirer aucun autre parti de l'équation (5"), nous examinerons plus loin la question à un autre point de vue.

58. Conditions de résistance d'une enveloppe cylindrique terminée par deux fonds identiques adaptés de la même manière et soumise à une pression intérieure. — Soient [fig- m)

R le rayon moyen du corps cylindrique:

Cx la génératrice moyenne de Tune des sections faites avant

la déformation par un plan passant par l'axe 00,; Ca la trace sur ce plan de l'équateur, c'est-à-dire du parallèle

du milieu de la pièce; a le centre de l'équateur.

Après la déformation, le lieu géométrique des lignes telles que Cx est une surface de révolution ayant pour axe 00,, dont le plan équatorial Ca est un plan de symétrie; le point C de Cx s'est éloigné du point a, mais la tangente en ce point de la génératrice déformée est normale à Oa.

Cela posé, concevons que l'on transporte la section déformée parallèlement à Ca, de manière à ramener la position Gnale du point matériel C à coïncider avec sa position primitive.

Soient alors Cm ce que devient la génératrice déformée; O'O', la position que prend l'axe 00,.

Prenons le point C pour origine des coordonnées et Ca pour axe des j.

Considérons un élément de volume déterminé par: i° deux plans méridiens Oa"'a", Od"a",, symétriques par rapport au plan yCx> dont la trace horizontale est représentée par Oe" ee' y et faisant entre eux l'angle dB; a° deux plans e'e", e\e\ perpendiculaires à Cx et distants de dx.

Les circonférences des parallèles, après la déformation, restant normales aux plans méridiens, il n'y a pas de composantes de glissement dans les faces d'à", a", d\. Le glissement dans la face e'e" étant nécessairement compris dans le plan

méridien, la composante de glissement correspondante est parallèle à C/.

Soient maintenant, par unité de surface,

G — (0 -+- rfG) les composantes de glissement parallèles à Cr

dans les faces e'e", e\ e\ ; B la composante de dilatation normale à Tune ou l'autre des

faces d'd\d\d\\ p la pression intérieure exercée sur l'enveloppe.

Fig. in.

Nous supposons que le rapport = de l'épaisseur e au rayon moyen est assez petit pour que l'on puisse considérer la pièce

comme étanl uniquement sollicitée par la pression p agissant sur la surface cylindrique moyenne de l'enveloppe.

En projetant sur Cj les forces qui sollicitent l'élément de volume d t d"à x d\e , e"ë x e\, on obtient

— RedBdG — BedxdB -+- pK. dQdx = o, d'où

dx v

La traction longitudinale T t exercée sur e' V et e\t\ est la même que si le cylindre était indéfini, et a pour valeur

7rR-/> R/;

Les moments des couples élastiques développés dans les sections d'd", d l d f i sont

l'A (tX l

l'A \dx* dx* ]

Des forces qui sollicitent l'élément, la composante G -h dG donne seule un moment du second ordre par rapport au milieu e de e'e". En exprimant que la somme de ce moment

GeRdQdx

et des deux précédents est nulle, on trouve

(a) E i-^=-GR.

v ' 12 dxr

Cette équation, différèniiée par rapport à x 9 en ayant égard à la relation (i), donne la suivante .

qui est satisfaite par

y = o, pK = Btf,

valeurs qui correspondent au cas d'une enveloppe cylindrique indéfinie.

Soient K, A, h' les points où l'ordonnée du point m rencontre Car, 00„ O'O',; on a

h' m — hK = h' h h- km — (km -+- mK) = hh! — mK = $R — y,

en désignant par <$R le déplacement réel du sommet C de Cm ou la variation éprouvée par le rayon de l'équateur.

L'allongement relatif éprouvé par la ligne ded t est le même que celui du rayon du parallèle auquel elle appartient, et a pour expression

h' m — hK £R — y hK ~~ R ' d'où

(4) B = E^pr,

et l'équation (3) devient En posant

désignant par M, M', N, N', quatre constantes arbitraires et exceptionnellement, pour éviter toute confusion, pare la base du système de logarithmes népériens, l'intégrale de cette équation est

j = JR— *1 — htf a4f (McosaxH-Nsinax)-+-tf- ax (M'cosaa?-+-N'sinax),

et renferme cinq arbitraires, parmi lesquelles se trouve dR. On a d'abord

dy j=o, ^=o pour x = o,

ce qui donne

Ee '

Comme la courbe Cm est normale en a à Ca, il n'y a pas de

glissement dans la section correspondante, ou 6 = pour xz=o 9 ou encore, d'après l'équation (2) ,

(7) ^ = ' p0Ur Jr=0 »

ce qui se traduit par la relation

M'-M + N + N' = o, d'où

2 \ Ee /

et l'équation (5) devient

(8)7 = iT^ — ^RV-2^(g« + g- ax )]cos«^-+-N(e ax --s- ajr )sinaa:,

et l'on n'a plus qu'à établir, en faisant entrer en ligne de compte les conditions relatives aux extrémités, les deux relations qui doivent permettre de déterminer N et dR.

59. Relation qui doit exister entre les épaisseurs du corps cylindrique d'une chaudière et les fonds sphériques qui la terminent pour que les tensions élastiques développées dans ces derniers soient les mêmes que s'ils faisaient partie d'une enveloppe sphérique complète, — La partie sphérique de chaque fond se raccorde par une surface canal d'un très-petit rayon avec un anneau cylindrique dont le rayon extérieur est égal au rayon intérieur du corps de la chaudière, auquel il est fixé par des rivets.

La Jig. 112 représente la moitié d'une section méridienne faite à Tune des extrémités de la chaudière.

Soient

Ox Taxe de la chaudière ;

2/ la longueur du corps cylindrique ;

cK la trace du plan perpendiculaire à cet axe qui renferme

l'extrémité ej du corps et la naissance aj du fond ; e = cj, e % = aj les épaisseurs du corps et du fond ; R = KZ le rayon moyen du corps ; le centre du fond ;

fgO le rayon aboutissant à la naissance de la partie sphérique; <f = fOx l'angle qu'il forme avec l'axe ; Oi = p. le rayon moyen du fond ;

m le point de rencontre de O/avec cK, qui est le centre de l'arc de raccordement Ht, dont nous appellerons y le rayon

d'où

7(1 — siDf) =R-

Soient nb l'extrémité de la couronne du fond et « l'intersection du prolongement de la droite nb avec la surface extérieure du corps.

Nous conserverons les autres notations employées plus haut.

Par sa faible longueur, son épaisseur, l'influence des rivets.

la couronne abcd peut être considérée comme n'éprouvant pas de flexion ; de sorte que Ton a

dy ,

^ = 0, pour .r-/,

et l'équation (8) donne par suite

f \ N - I f £Î! - Sr\ (g g? -+-g- df )sina/ — (c gf -g-^)cosa/ (io; JN a y e y(«« ; -f.i-« , )sina/-f-(t« , -f-t-«')cosa/ -

Si Ton s'arrange de manière que la dilatation en h, qui est sensiblement égale à celle qui a lieu en i, soit la même qu'au milieu de dn 9 le corps cylindrique et le fond ne se contrarieront pas à leur jonction, et comme, d'après la condition que nous nous sommes imposée, la tension élastique dans le fond

doit être T = ^-% nous sommes conduit à poser

£ J -° = E — . -- pour x = l:

d'où

(n) J *he 2\Er J l K ' J

( • -i-N(£ a ' — £- a/ )sina/,

et les équations (10) et (n) permettront de déterminer N et SK.

Elles sont satisfaites par les valeurs

N = o, *R = ^> si emre e et e on a la relation

qui est celle que nous avions en vue d'établir.

• L'ordonnée y étant nulle, on voit que l'enveloppe cylindrique se comporte comme si elle était infinie.

Le corps cylindrique est généralement en fera la houille; il en est de même des fonds, lorsqu'ils sont hémisphériques et formés de segments sphériques cloués les uns aux autres;

2ifo SIXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

mais, pour les fonds méplats qui sont emboutis, on emploie du fer au bois, qui est bien plus résistant que le fer puddlé. Pour établir une chaudière, on devra d'abord calculer* au moyen de la formule

T étant la tension élastique que Ton peut avec sécurité faire supporter d'une manière permanente à la tôle à la houille, et l'équation (12) fera connaître e .

Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que la projection de la surface ag sur le plan ayant cK pour trace est

Considérons maintenant l'anneau dont la section méridienne eslfgajeb, et exprimons que la somme des projections sur Ox des forces qui le sollicitent est nulle; nous aurons

ou, en remplaçant T et T, par leurs valeurs et éliminant e au moyen de l'équation (12),

S[-K~«i]-HA)'-^-A-

d'où, en négligeant ^ devant l'unité,

En portant cette valeur dans l'équation (9), on trouve

/ i . 7 Po Pl\ V a 4R RV

p. v rJr

Si le fond est un hémisphère, on a

DES CHAUDIÈRES A VAPEUR. 2/[l

et y = R — je 9 . Le fond doit donc se raccorder directement avec le fond cylindrique.

Le rayon y décroît quand le rapport Ç augmente et s'an-

nule pour une valeur de ce rapport un peu supérieure à 1,40. La compensation n'est donc possible que lorsque p est au plus égal à i,4o, limite pour laquelle elle est défectueuse» puisque le raccordement devrait avoir lieu par une arête vive.

60. Résistance d'un fond plat ajusté sur un cylindre creux. — Conservons les notations des n° 8 56 et 58; désignons de plus par e' y t" l'épaisseur et la saillie des oreilles du cylindre et par 2/ sa longueur. Considérons une section méridienne du système. Soient (^g*. n3) a, d les intersections de la généra-

Fig. n3.

trice intérieure du cylindre avec la trace de la face supérieure de la plaque et le prolongement de la trace de la face inférieure de l'oreille; b f c les intersections de ces traces avec la génécatrice extérieure de l'oreille et de la plaque.

Deux sections méridiennes faisant entre elles l'angle dO et les plans ab, cd détermineront un élément de volume dont nous allons déterminer les conditions d'équilibre.

La face intérieure ad de l'élément nous donnera, suivant le rayon moyen, la composante

— EÏ\,e dQ -+-/>«, c'dQ.

Les deux faces abcd donnent la résultante

Si nous désignons par G, la valeur de. la composante de glisiv. ,6