I -t-fl = A
(*) Les limites entre lesquelles n est généralement compris dans la pratique sont 3o et 8o«
DES TOLANTS. 167
la force vive des pièces tournantes et du volant est
Aw».
Od peut maintenant considérer A comme l'inconnue de la question, puisque sa détermination entraîne celle de L
La force vive des pièces oscillantes sera de la forme B(p(9}(u% B étant l'équivalent d*un moment d'inertie, qui est une quantité connue, et (p(d) une fonction également connue, ne renfermant que des constantes sans dimension.
Nous supposerons que la force motrice et les résistances utiles, par suite ^, sont des fonctions continues ou discontinues de 9.
On a, d'après le principe des forces vives, en faisant abstraction des résistances passives, comme nous en sommes convenus,
(2) ^'[A4-Bç(ô)]-!^[A+By(o)]^e.
Le mouvement de la machine devant être périodique, il faut qu'au bout d'un nombre déterminé i de tours 6 ait la même valeur pour 6 = 2111 et 9 = o, ce qui détermine une certaine relation entre les forces qui agissent sur la machine.
67. Première approximation du calcul d'un volant, — Lorsqu'une pièce oscillante, telle qu'un balancier de machine à vapeur, a une masse considérable, on s'arrange de manière que la vitesse maximum de chacun de ses éléments matériels soit relativement faible; de sorte que, dans tous les cas, le maximum de 69(0) est toujours une très-petite fraction du moment d'inertie A qu'il s'agit de calculer. On peut donc, dans une première approximation, négliger les termes en B dans l'équation (a), qui devient
Soient Gi, 6| la plus grande et la plus petite valeur de 6 dans la période de i révolutions; 9», 61 les valeurs correspon-
l68 QOATRikBB FAmni. — GHAPITRI II.
dantes de 6; nous aurons
d'où, par soustraction,
et, en vertu des relations (i),
En substituant cette valeur dans Tune ou l'autre des équa* lions (3), la première par exemple, en ayant égard à la valeur (i) de (ùu on déterminera la vitesse angulaire gi)«.
Si 6 est une fonction continue de 6, les angles 9i et d, seront donnés par l'équation
dB
Supposons que ded = oàd=:a, 6 soit une fonction continue/(0), et de 6= et h d=iiiK une autre fonction /(S). Traçons deux courbes Oa, cp^ ayant 6 pour abscisse, et respectivement/(0),/,(d) pour ordonnées, et soit m leur point
FIg. 107.
d'intersection qui correspond à l'abscisse a. Dans le cas de la Jlg' 107, le point maximum n de Oa se trouve en deçà, et le
BB8 TOLAHTS. 169
point minimum p de cp au delà de m; les valeurs de di et 0t seront, par suite» respectivement données par les équations
Dans le cas de làfig* 1089 où n et /» sont au deli de m. S, sera
Fig. 108.
évidemment l'ordonnée de m, c'est-à-dire que Ton aura 9t = «» et 9, sera donné par Kéquation /j(d) = o.
Si le cas de îa^g. 109 se présente , on aura 9i = a et /|(9) = o pour déterminer 9,, etc.
Fig. 109.
Ainsi donc» lorsque G sera une fonction discontinue de 9, il faudra se livrer à une discussion appuyée sur des tracés de courbes pour déterminer les valeurs qu'il faut attribuer à Oi et 9,.
Remarque. — Supposons» comme on le fait d'habitude dans cette première approximation» que l'on donne au volant le moment d'inertie A» supérieur à celui I» qui est nécessaire pour
<ùi — (k)i
assurer le degré de régularité proposé; l'écart relatif
170 QUATRiiMB PARTIB. — CHAPITRI II.
sera réduit à moins de -) et l'on se trouvera dans des condi-
tiens très-favorables. Pour le même motif, nous ferons encore abstraction des bras du volant, de sorte que, si P est le poids de l'anneau, p son rayon moyen, et si l'on remarque que l'épaisseur de l'anneau dans le sens du rayon est toujours une petite fraction de p, on a à très-peu près
En désignant par V la vitesse Qp du volant k sa circonférence moyenne, la formule (4) devient
(5) PV' = /i5'(S,-6.).
68. Deuxième approximation. — Proposons-nous maintenant de calculer le moment d'inertie du volant en tenant compte delà première puissance de B. Supposons que l'on ait obtenu une première valeur approchée de A au moyen de la formule (4); soient A(i -+- jt), wJ -+- iwj les valeurs corrigées
de A et 6)J ; posons y = -r- et négligeons les termes du second
ordre en x, y et ioal. Au lieu de l'équation (2), nous aurons la suivante :
d'où
Nous ne considérerons que le cas qui se présente le plus généralement où 6t est le maximum d'une fonction de 0, et ^i le minimum de la même fonction ou d'une fonction différente,
de sorte que nous aurons ^f = o pour ô = 0î, 0 = ô|.
La valeur de 9 qui rendra minimum 6> sera donnée par l'équation
BBS YOLANTS. I7I
et sera de la forme 9 = 9| + SOt^ Sdt étant de l'ordre de y et jt;
mais on a
réquation ci-dessus devient par suite
et permettra de déterminer d0i; mais il nous est complètement inutile de connaître cette valeur, car le minimum du second membre de l'équation (6) sera le même que pour 9 = 9„ puisque 6 conserve la même valeur, aux termes du second ordre près. On a donc
mais la seconde des équations (3) peut se mettre sous la forme
d'où, par soustraction,
on a de même
^ = f ['-^y?(9.)] + ^7[T(9.)-?(o)]; d'où, en égalant ces deux valeurs de — -y
puis, en substituant à A sa valeur (4j»
173 QOATRIÈ» PâRTIB. — GHAPITRB H.
Des équations (3) on tire
d*oiiy en remplaçant (ù^ 6)1 par leurs valeurs (i), négligeant le carré de -9 qui est toujours une petite fraction, et ayant égard à la valeur (4) de A,
réquation (7) donne par suite
Dans les cas où le système oscillant est une simple bielle ou l'ensemble du balancier, parallélogramme, etc., de Watt, f(0), en négligeant l'obliquité de la bielle, est de la forme sin'9, et Ton a alors
69. Application aux manivelles dans Vhypothèse d*une puissance et d*une résistance constantes. — Nous négligerons l'obliquité de la bielle, qui sera ainsi censée se mouvoir pa-
Fig. iio.
rallèlement à une droite déterminée Ox (fig. 1 10) passant par le centre de rotation 0 de la manivelle
DBS TOIiAHTS. in3
Soient
R le rayon OA de la manivelle;
Q la résistance constante» supposée tangente à la circonférence de rayon OA ; S l'effort moteur, parallèle à 0^, agissant en A; A«, k\ les points morts extérieur et intérieur;
9 l'angle AO A».
I* Manivelle simple à simple effet. — Pendant la durée d'une révolution, la force S n'agit que de A« en A'«, de sorte que, pour exprimer que le mouvement est périodique ou que le uavail total est nul dans la période considérée, on a
SxaR = Qxa7rR, d'où S = 7rQ.
Oo a évidemment
6 = SR{i-cose)-QRG = QR[ïr(i-co9Ô)— e].
Le maximum et le minimum de S correspondent aux valeurs de 9 données par l'équation
J=QR(irsinô-i) = o,
d'où
sinO = -5 0, = Î.0 a; = l8°33'36^ G, = Î^OA.^ ir - G,.
On déduit de la formule (9) or = —y ; de sorte que l'on peut s'en tenir à la première approximation, puisqu'elle donne pour A une valeur un peu trop forte, ce qui est avantageux à la régularité en mouvement.
L'équation (5) donne maintenant, en vertu des valeurs cidessus,
(10) PV'= i7,a8o2 X atrRQw.
On appelle cheval-vapeur un travail de yS kilogrammètres exécuté dans une seconde. Si N est le nombre de tours de
174 QtJATRlftU PARTI!. — CBAPITEI II.
l'arbre par minute, le travail effectué par seconde est, en kilogrammèlres,
et en chevaux
awRQN
En remplaçant, dans l'équation (10), QR par sa valeur tirée de cette relation, on arrive finalement à la formule pratique
(11) PV"=a43oo^.
2® Manivelle simple à double effet. — Lorsque A est arrivé en A',, S en conservant son intensité change de sens, de manière à rester une force motrice, de sorte que son travail est double de ce qu'il était précédemment pour une révolution entière. On a donc
S,4R = Q.aTfR, d'où S = -Q;
par suite,
6 = QRr^(i-cose)^0l.
rfG De l'équation ^ = ^ on tire
sinô = - j
d'où
0, = 39*32' a4', ô,= îr — Ô,.
L'équation (9) donne, comme dans le cas précédent, ar=r — y, de sorte qu'il suffit encore de s'en tenir à la première approximation.
En opérant comme plus haut, on trouve
(la) PV«=4645Îf.
Le moment d'inertie du volant, toutes choses égales d'ailleurs, est ainsi inférieur au -^ de ce qu'il doit être dans le cas du simple effet.
BBS YOLATITS. 1^5
3^ Manivelle double à angle droit et à double effet, — Supposons que l'angle 6 se rapporieà la manivelle OA; pour avoir les termes correspondants relatifs à la manivelle OB^ il faudra changer 9 en 9 + 90", et l'on a ainsi
6 =^ S (i — co80)R -h S (i -+- sin G) — QRÔ.
Le travail des deux forces S pour une révolution étant Px8R, on a, pour la condition de périodicité,
8RS=a7rRQ, d'où S = 7r5,
par suile,
OR
G= ^ r(^— cose-+-sinô)7r— 401.
L'équation
-Tg- =^ o ou sinO H- cosO z= 2.
donne
En se reportant au n® 67, il est facile de voir que dans le
cas actuel
ff{B) = sin^Ô-4-cos*0 = i,
ei l'équation (8) donne encore; comme plus haut, ^ = — y, de sorte que l'on n'a pas non plus à se préoccuper de la deuxième approximation, et l'on a
On pourrait multiplier ces exemples et reprendre notamment les précédents, en supposant que l!on établisse sur le prolongement de chaque manivelle de l'autre côté de l'axe de rotation un contre-poids maintenu à une distance constante de cet axe,
70. Calcul du volant d'une manivelle à double effet dans un cas particulier où la force motrice est variable, — Supposons que la force motrice S soit constante à partir de 9 = 0 jusqu'à une valeur déterminée a de l'angle 9; que de9=0eà9=7r
176 QUATRltU PART». — CHAPITIB II.
la force motrice suive la loi exprimée par S -"^ — '— et que la
même chose se reproduise dans Toscillation Inverse : nous nous trouverons dans les conditions d'une machine à vapeur à détente, en admettant que la détente ait lieu suivant la loi de Mariotle et que l'on néglige la contre-pression, ce qui ne peut être qu'avantageux au point de vue de la régularité du mouvement (65).
Nous aurons
6 = SR (i - cosO) — QRO, pour 0 < a,
ety en accentuant 6 pour éviter toute confusion.
QRO
6'=SR(i-C08a)-+-SR(i-C08a) f -?^i^ = SR(i-co8a)-+-SRlogi^^^^^-QRô, pour e = *.
^ ' ^1 — COSa ^ » r <^
Pour que le mouvement soit périodique il faut que 6' = o pour 9 = TT, ce qui donne
g^ wO
(i — COSa)( i-hlog )
On a, par suite,
g I — cosQ ô
27rQR ~ , \ / 1 a \ aw
aTtQR
2(1— cosa) ( 1+ log I
