F'(ô'j^ "*-«rM)-^/'(6'.)^ôj
En augmentant Tindice d'une unité, on aura une expression semblable pour le maximum 6t, et il sera facile de trouver la valeur de la correction que Ton doit faire subir à une première valeur approchée du moment d'inertie A du volant, résulunt de l'hypothèse de c = o, lorsque l'on voudra tenir compte de la seconde puissance de l'obliquité.
Comme exemple, reprenons la question d'une manivelle simple à double effet du n'^GS; nous avons, pour la condition de périodicité,
4SR = aïrRQ;
par suite
6=:QRr~(,-co80)-Ô- ^«sin^el,
I, = «8inô',,
6, = Ç', — !L!i (1 4- jcosO', ) 8 sin'ô', .
Si nous écrivons l'expression des d de la même manière, en nous rappelant que les angles d*,, &^ sont supplémentaires (68), nous trouvons
Ç, - S', = S, - r,-H ^ e'cosô', sin'Ô', .
Nous voyons ainsi que, dans le cas actuel, l'obliquité de la bielle exige, pour arriver au degré de régularité voulu, une légère augmentation du moment d'inertie du volant. En effectuant les calculs numériques, la formule précédente prend la
forme
o,42ioRQ(i+i,i68s').
11 arrive rarement que e atteigne -, et dans ce cas limite la première valeur approchée de A devrait être augmentée de 0,08 environ de celte même valeur. Il n'est donc pas superOu, dans certains cas, de faire entrer en ligne de compte l'obliquité des bielles.
la.
l8o QUATRIÈME PAATIB. — CHAPITRE II.
72. Remarque relative à V établissement des volants. — M. Kretz a fait observer à juste titre que» lorsqu'il s'agit de faire fonctionner des machines outils» il ne suffit pas de limiter les écarts de vitesse à une certaine fraction de la vitesse moyenne : il faut encore, au double point de vue de la qualité et de la quantité de l'ouvrage produit par uniié de temps, et de la conservation de l'outil, que l'accélération de ce dernier ne dépasse pas une certaine limite; ce qui revient à assigner une limite maximum ^ à l'accélération an-
gulalre ^ •
En négligeant l'inertie des pièces oscillantes, et difiérentiani l'équation (2') du n"* 66, on obtient
d'où
dta dî
I d^ XdÔ
On déterminera la plus grande valeur A de ^9 et l'on devra
s'assurer que le moment d'inertie A, calculé comme on l'a indiqué plus haut, satisfait à la condition
73. Conditions de résistance à la rupture d'un volant, — ^fig* 1 1 1 représente une section faite dans un volant par son
Fig. III.
plan moyen perpendiculaire à l'axe de rotation 0.
DBS TOLinrs. i8i
Nous appellerons circonférence moyenne de l'anneau à l'étal naturel le Heu géométrique des centres de gravité de ses sections méridiennes, et nous désignerons son rayon par p,.
1^ Nous considérons d'abord le cas où le volant possède une vitesse angulaire Q, sensiblement constante.
Soient
OA,, 0A\ les axes de figure de deux bras consécutifs; a,, d^ leurs naissances respectives comprises dans l'angle A'.OA' ;
la et t les angles a,Oa',, aiOA. ='a',UÀ', ;
OA la bissectrice des angles A|0 A'. , aiOa\ ;
A', A A, la portion de la circonférence déformée déterminée par
les directions de OAi^ OA', ; p le rayon de courbure de la courbe Aai en un point M dont
les coordonnées polaires sont r := OM, AOM = 9 ;
<T la section méridienne de l'anneau ;
1 le moment d'inertie de cette section , par rapport à la perpendiculaire au plan de la figure passant par son centre de gravité;
ff' la section transversale des bras que nous supposerons constante jusqu'au moyeu;
Q, N les composantes élastiques développées dans les sections méridiennes aux naissances alfJ^ des bras» dirigées respectivement suivant le rayon et sa perpendiculaire;
E le moment d'inertie de la matière;
D son poids spécifique;
r Teffort maximum de compression ou de traction qu'on doit lui faire supporter par unité de surface.
T^ force centrifuge agissant sur aiAa\ faisant équilibre aux forces élastiques développées en ai,a\, il vient, en projetant sur OA,
aQco8oc-i- aNsina = I n'p^cosy.p.a^ = - -^li p; sina.
S Jo ^
Eq posant
l8a QUÂTAlftHB PABTIB. — CHAPITRE II.
l'équation précédente se met sous la forme
(a) Nf sina-f-Qcos«= o.
Si Ton prend, par rapport au point H, les moments des forces qui agissent sur Ha., on a^ en appelant ^ l'angle formé avecOA par un rayon quelconque Om de rarca.Hy
El
Q - ^j =Np.[i-C08(a-y)]-HQp,8in(a-y)
La constante étant le moment du couple élastique développé dans la section normale en a^ ou a»» on tire de là, en désignant par Cp« une autre constante qui comprend la précédente,
[h) ?i (i - i) = -N. cos(a - (p) ^ Q8in{« - <p) ^ C.
L'influence du bras sur l'anneau en Aia. doit, à très-peu près, produire l'effet d'un encastrement; de sorte que, après comme avant la déformation, OA, Oai sont des normales qui font entre elles l'angle a. On a donc
en négligeant la dilatation de la circonférence moyenne; d'où la condition
(c) NjSina — Q(i — cosa)— Ca= o.
En posant r = p, (i+ u)^ nous aurons, d'après le n® 188 de la deuxième Partie^
L'équation (b) devient par suite
(d) ?^(^-^«)«N.C08(f-a)4-Q8iD(f-«)-C
BBS TOLAKTS. l83
et a pour intégrale
— - (f — a)c05(f — a) H- MC09(f — a)-+- M'8in(y— a) U
H et H' étant deux constantes arbitraires. Mais, comme OA, Oai sont deux normales après comme
avant la déformation, on doit avoir ^ = o pour f =: o, f = a, ce qui donne les conditions
(e) N, (sins-f- x cosa) — - (cosa — asina) -+- M9iDa + M'cosa = o,
Soient Ct la naissance du bras OA. extérieure à Tangle a a, F l'effort de traction exercé par ce bras sur l'anneau. Comme l'angle a,0at=a8 est toujours petit» on peut sans inconvénient en négliger le carré.
En exprimant que F fait équilibre aux deux forces — Q, aux deux forces— N développées dans les sections normales en a„ a», ainsi qu'à la force centrifuge de la portion de l'anneau limitée par ces sections, on a
Soient
r la distance k l'axe d'une section quelconque du bras ; i la dilatation dans cette section ; r* la valeur de r i la naissance.
Nous pourrons, sans*grande erreur, faire abstraction de la déformation du moyeu ou anneau central par lequel le volant est monté sur Tarbre. En considérant l'équilibre d'une tranche du brast d'épaisseur dvy on établit facilement Téquation
dr g
l84 QUATRIÈME PAITIB. — CHAPITRE lU
d'où» en désignant par K une constante. L'allongement total du bras sera, à peu de chose près,
comme cet allongement est égal à la valeur de p«a pour d = a, on a la relation
On déduit de là la valeur de K qui, reportée dans l'expressioo de d, donne
d'où, pour r — p„
Mais cette dernière valeur n*est autre chose que celle de -;',
on a donc
^ ^ û»[24«p; H- a' (api ^p.r, - r; )] j
En éliminant M, M' entre les formules {e), {«') et (g), on arrive à la suivante :
( r sina-»-acosa 2Îfp,,— rj . 1 N. [ + —Jî^ '«"«J
La pi» J 6/? P',<^
x[a4<T«f; -t-<r'{ipj — p,r, — r5)]8ina-f-Csma =o.
VBS yolânts* i85
L'élimination de C entre les équations (c) et (A) donne
N, sin'a (sina -h a cosa ) H — *!. , «a Sina
-+- ^l^' ^tF^- [a4«p; -^ <y'(apj -p.r. -rj)] asina - o,
et les équations (a) et (ij permettront de déterminer N. et Q;
mais» comme -7-^ ( i — *] et ~ sont toujours de petites (tbc-
<^pl\ pJ p.
tloDS, on peuty sans erreur sensible, réduire Téquation (1) à la suivante :
[ N, I 8in*a— -{sina h- acosa) -+"0 — (i — C08a)H — J sina (,i) ) L ^ J L aj
--laM i — - ) (a4 ^ r-H2— - J asina = o, ^g' \ eJ\ ^ Pi/
d*Oll
Sin a COS 2 >
1 — sinacosa — sin'a
** 1 — sinacosa — sin'a
parsuite, en vertu de réquation(c).
** h -sinacosa — sin'a
Il est facile de s*assurer que la fonction de a qui forme le dénominateur de ces trois expressions reste positive pour des valeurs de la variable croissant à partir de zéro.
On voit, d*après la formule (6), que le maximum de E ( )
l86 QUATBlta» PAETU. — GHÂPITIX II.
correspond à
tang(?-«)=^,
ou à f = o en vertu des valeurs de [j); ce maximum a pour valeur
