sinacosa — sin*a

Ainsi donc, étant donnés la vitesse moyenne d'un volant à sa circonférence et son moment d'inertie calculé en vue d'obtenir un degré de régularité détermine, on devra donner à l'anneau et aux bras des sections, et des*formes à ces sections, telles que les conditions (i) et (2) soient satisfaites.

2^ Proposons-nous maintenant d'étudier l'influence que doit avoir, sur la résistance d'un volant, une variation plus ou moins rapide du mouvement, en faisant abstraction de la force centrifuge.

Nous nous occuperons spécialement de la flexion des bras supposés rectilignes, et nous négligerons l'angle e, ce qui est permis sans erreur sensible, comme l'indique la suite des calculs; nous conserverons les notations précédentes, aux exceptions suivantes près : i^ au lieu de représenter l'angle AïO^/i par 2a, nous le désignerons par a; 2.^ nous représenterons la vitesse angulaire variable par &>, en supposant qu'elle ait lieu de la gauche vers la droite ; 3^ les composantes des

DES YOLÂNTS. 189

actions élastiques dans les sections méridiennes en ^i et d^ n'ayant plus ici la même valeur, nous les représenterons par les mêmes lettres que plus haut, mais en accentuant celles qui sont relatives à la seconde de ces naissances.

En projetant sur les directions de N' et Q' et prenant les moments par rapport au point 0, on obtient, pour les conditions d'équilibre des forces qui sollicitent l'arc a,a'|,

N cosa — N'— Q sina ^P» 37 / ^^^ ^^ ~ ^»

Q cosa H- Q'h- n sina o-pj — / sinf d^ = o,

N — N' ^P J « TT = o.

g '^* di

Si l'on pose

ces équations prennent la forme

/ N'= N cosa — Q, sina, („) I Q'=-N8ina-Q,cosa -h -<Tp;^,

d'où

(/>) N(i — COSa)-«-0,8ina= -ffpja^.

On a pour l'équation relative à la flexion de a^J^

ElQ-^) = N,p.[i-C0s(a-y)]-hQp.8in(a-y)

ou, en désignant par C une constante,

[q\ __(i i ] = — NcOSfa — •) -hQ,8in(a — ®) -+- C.

P. \p eJ

L'angle aiOa\ restant égal à a, et les tangentes en Ot et a\

igO QUÀTRIÈIIE PAETII. - CHAPITRE II.

ayant la même inclinaison sur Oa,, 0€f^ après comme avant la déformation, on doit avoir

ou

(r) Nsina — Q,{i — cosa) — Ca = o,

En opérant comme plus haut» on tire de Téquation ( q )

«=â[-C-f-iN(?-«)8in(y-«)

— ~(? — a)C08(y — a) -+-Mco8(y — a) -+-M'8in(f — a) j,

M et H' étant deux constantes arbitraires.

Nous ferons remarquer maintenant que les éléments matériels de chaque bras n'étant sollicités que par des forces

en --fTj toutes très-sensiblement perpendiculaires à son axe

de figure, la dilatation de cet axe est uniforme et ne dépend que de Q + Q', résultante qui, d'après la nature même de la question, doit être très-faible, ce que, d'ailleurs, nous pourrons vérifier ultérieurement ; de sorte qu'il nous sera permis de négliger la dilatation dont il s'agit, ou de supposer que Il = o pour f = a, f == o, ce qui donne les conditions

(5) — C(i — C08a)-hiNasina-h ^acosa — M'sina = 0.

D'iiutre part, les tangentes en ai, (/, devant être également

du inclinées sur 0\ax, Oa'j, la dérivée -p doit avoir la même valeur pour 9 = a, 9 = 0, ce qui s'exprime par

i — (sina-t-acosa)

I — ~ (1 — cosa-hasina) — Csina-hM'(i — cosa) = o.

L'élimination de M! entre les équations {s) et (0 conduit i

DBS YOLAHTS. 191

h suivante :

/ \ N . Q, , . aC(i — C08«)

(«) — sma — — (i — cosa) ■ : î = o.

a a ^ 'a + sma

Il résulte de la comparaison des formules (r) et {u) que C est nul et que l'on a tout simplement

(v) N sina — Q^ (i — cosa) = o

De cette équation et de la formule {p) on tire

N = — cpla. -7-,

et enfin

^ n , . at dM

0 = |^p;(itaiig~-i), -^, 3 n rf«

N' = vp; a -7- )

a ^ ^^ dt

Ainsi donc l'effort Q + Q\ qui agit longitudinalement sur chaque bras, est nul, ou plutôt de Tordre des quantités que nous avons négligées, comme nous l'avons admis a priorL

Soient maintenant

r le moment de la section du bras par rapport à la perpendiculaire au plan de la flgure passant par son centre de gravité;

p le rayon de courbure du point de la Qbre moyenne déformée situé à la distance rde l'axe de rotation;

2e' l'épaisseur du bras.

On a

d'où pour le maximum de —

igi quâtrièhb pabtie. — chapitre ii. — des volants.

la tension ou compression élastique maximum développée est, par suite,

et doit être au plus égale à T; on satisfera a fortiori à cette condition si Ton satisfait à la suivante :

i' > 5 <^pî^ ^

e'^g r di'

En désignant par P le poids de l'anneau, par n le nombre des bras, et remarquant que Ton a à peu de chose près

a = — 9 l'inégalité ci-dessus peut se mettre sous la forme

suivante :

L>lîL±

e' = /igV dt '

qui est d'une application plus facile.

BBS RÉ6ULÀTBURS. igS