CHAPITRE ra

DES RÉGULATEURS

74. Il arrive dans la plupart des machines que, par suite d'eiigences particulières, le travail utile doit rester pendant un temps, plus ou moins long, tantôt au*dessous, tantôt audessus de la valeur pour laquelle la machine a été établie : c'est ce qui arrive, par exemple, si, la machine ayant pour objet de faire fonctionner à la fois plusieurs outils, on vient à en diminuer ou à en augmenter le nombre.

Pour éviter les effets nuisibles d'une trop grande augmentation ou diminution de vitesse , il faut réduire ou augmenter le travail utile et, par suite, Ténergie de la force motrice. Cette variation d'intensité, pour les moteurs inanimés, se produit à la main, ou automatiquement, à l'aide d'un mécanisme appelé régulateur, qui agit sur le dittrihuteur de la force motrice, la vanne d'upe chute d'eau, ou le robinet ou la valve d'une conduite de vapeur, par exemple, lorsqu'on emploie pour force motrice le poids de l'eau ou la pression de la vapeur. Pour simplifier le langage, nous supposerons dans ce qui suit qu'il s'agit d'une vanne.

Comme on le voit, le volant et le régulateur remplissent deux fonctions distinctes : le volant a pour objet de restreindre entre certaines limites les écarts de vitesse dus à la présence d'organes oscillants dans la machine, lorsque le travail est régulier, tandis que le régulateur a pour but de limiter les écarts de la vitesse moyenne quand le travail à effectuer est soumis à des irrégularités.

Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que des régulateurs le plus en usage.

194 QDÀTHifcXI FltTII. — GHAPIT» ni.

75. Régulateur à boulet ou à force centrifuge. — Ce régulateur, qui est le plus généralement employé, se compose [^g. lia) de deux boules K, A' de même poids, fixées aux

Fig. iiî.

il.. .\

extrémités de deux liges égales AB, A'B, qui sont articulées à charnières à l'extrémité supérieure B d'un arbre vei^ lical B\, dont le mouvement de rotation est transmis par l'arbre ou l'un des arbres de la machine au moyen d'engrenages ou de courroies. Deux tiges ou bielles égales CD, CD' sont articulées en G et C à AB, A' B à égale distance du sommet B, et à une douille DD', qui peut glisser le long de l'arbre BX. La douille, en s'élevanl ou s'abaissant par t'elTei de la force centrifuge qui s'exerce sur les boules, et d'une manière secondaire sur les tiges, agit sur la vanne de la force motrice par l'intermédiaire d'un système de tringles relié à la douille par une anlculaiion, et dont la disposition varie avec les circonstances.

Quelques constructeurs remplacent les boules par des lentilles dont les arêtes sont comprises dans des plans passani par les axes de figure des liges AB, A' B, et perpendiculaires à celui dans lequel sont compris ces axes et celui de l'arbre.

DBS ftÉGULATBOmS. igS

Cette disposition a pour objet de réduire la résistance de Tair; mais, comme un régulateur marche toujours lentement, l'avantage des lentilles sur les sphères est pour ainsi dire illusoire.

Supposons les quatre tiges réduites à leurs axes de figure, et les sphères et la douille à leurs centres A, A' et D.

Soient {Jig. ii3)

ABr=A'B=a, \

BC = BC ~ 6, > des longueurs données;

CD = CD ^ c )

1 Tintersection de AA' avec BX ; P le poids des boules ;

p l'effort que doit vaincre la douille, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, pour faire varier la position de la vanne; w la vitesse angulaire de l'arbre;

2 l'angle formé par AB ou A'B avec la verticale BX*

On a

AI = a sin a, BI = 6 cosa,

et le triangle BCD do n

BD = 6co8a -*- v/c' — 6'sin'a,

d'où

£/.BD = — 6 sma tfa - — •

V^c' — b* sin* a

Comme la masse des tiges est toujours relativement faible par rapport à celle des boules, nous en ferons abstraction. Les forces centrifuges des éléments matériels de chaque boule supposée homogène ont une résultante passant par le centre de gravité de la boule et qui n'est autre chose que la force centrifuge de ce centre où toute la masse était concentrée; cette résultante a pour expression

- (v*. AI = - tv^a sin a.

En exprimant que, pour le déplacement angulaire da^ la somme aes travaux virtuels du poids et de la force centrifuge des boules et de^ est nulle, on a

(i) aP— tf8ina£/.AlH-a-rf.BI:fcDrf.BD = o,

ig6 QUATllftHB PAITU. — GHAPITRB III.

d'où

/ \ P a j • ¥» • 1./ Acosa \ .

le signe — et le signe + se rapportant respectivement à la tendance à la levée et à l'abaissement de la vanne.

Soit (Vo la vitesse angulaire de l'arbre qui correspond à la vitesse de régime de la machine et à la valeur a* de a pour w=W9, il ne doit y avoir aucune tendance au déplacement de la vanne dans un sens ou dans l'autre» ou encore aucun effort ne doit s'exercer sur la douille; de sorte que la formule (2) donne, en y supposant w = Wt, a = a» et p == o,

Les vitesses angulaires maximum Wt et minimum Wt du régulateur correspondant à la tendance au déplacement de la vanne ont respectivement pour valeurs

'-.6»8in»aJ

Le rapport -^- étant toujours une petite fraction, on peut,

sans inconvénient, en négliger les puissances supérieures à la troisième, et écrire, en ayant égard à la relation (3),

r. j?^ /- . ^co8«« \ . p'^* (. , ^cos^> y]

L 4P«V v/«'-^'8in'«J 8P'«'V v/«'-^'8invJ

et l'on voit que l'on a, à la deuxième puissance près de ^9

BBS mfiOCLÀTBURS. 197

iv, — iv.= tVo — cv,, c*esl-à-dire que la douille ei la vanne seront sur le point de se déplacer pour des écarts de vitesse sensiblement égaux de part et d'autre de la vitesse de régime. La sensibilité du régulateur se mesure par V écart propor^

tionnel ^' — - que Ton se donne a priorij et qui doit être d'autant plus petit que Ton veut obtenir une plus grande régularité dans le mouvement. Désignant ce rapport par -% nous

aurons, à la troisième puissance près de -^^t

n aP

d'oii

(6) P = fg^ /.^ ^£g^g.— \

formule qui fait connaître le poids qu'il faut donner aux boules pour obtenir le degré voulu de sensibilité.

Il est facile de voir qu'aux termes du second ordre près on peut écrire

(7) ^^^«'•O-^i)' '*'. = *^*('-ii)-

76. Conditions relatives aux limites que Von assigne à la vitesse delà machine. — Supposons maintenant que, par suite d*une réduction du travail utile, w dépasse cvi, la vanne s'abaissera en même temps que cv croîtra; toutefois w ne dépassera pas une certaine limite w" correspondant à la fermeture complète de la vanne, et qui sera une conséquence du mode de liaison entre la vanne et la douille; mais, à l'inverse, on peut se proposer d'établir ce système de liaison de manière que w" soit donné a priori, et que l'on ait k remplir une condition semblable en se donnant la vitesse angulaire u/ correspondant a l'ouverture complète de la vanne.

Soient a!', al les valeurs inconnues de l'angle ABD correspondant aux vitesses angulaires w"^ ci/, et supposons que la résistance opposée au déplacement de la douille reste constante et égale à ^» pour toutes les valeurs de cet angle comprises entre

19^ QUATRltU PàRTIB. — CHAPIT&B IIK

a" et a\ Considérons le cas le plus usuel où BCDC' est un

losange, et négligeons le carré de -; nous aurons, en nous

reportant à Téquation (2),

w^ COSa" = w\ cosa^ = w\ COSO, fin- i J ,

(8) ^ et de même

f «''*coia'= wj COSa, f I— i y

Or la position de la vanne doit être donnée pour la valeur a de l'angle ABD; on devra donc établir la liaison entre la douille et la vanne de telle manière que, lors de l'ouverture et de la fermeture complète de la vanne» l'angle a soit égal aux valeurs de a^\ a! données par les équations (8), Dans le cas actuel, la formule (6) devient

et le poids des boules est ainsi indépendant de l'angle eu.

Soient yio == 2 0 cosa«, h** z^T.acosotfy h'==iacosoi! les valeurs de AD correspondant aux vitesses angulaires (v«, «/", w\

Les équations (8) prennent la forme simple

qui se prête facilement aux applications (*].

( * ) Disposition de Foucault, — Foucault a eu Tidée de chercher l'effet qae produiraient les boules placées sur les prolongements des bielles CD, CD,

lorsque BADC est un losange {/g. ii4] ; A, A' seraient, dans ce cas» assujettit

BBS RÉGCLATBUmS. I99

Pour éviter que les boules oscillent dans le mouvement

régulier de la machine, il faut donnera -une valeur su-

périeure à l'écart relatif des vitesses maximum et minimum, qui sert de base à l'établissement du volant (').

Soit A la valeur de AD correspondant à la vitesse angulaire w; on a, selon que cette vitesse est supérieure ou inférieure à (v«,

Si Cl), 6>iy oji sont les vitesses de l'arbre qui correspondent aux vitesses w, <Vs, cv, auxquelles elles sont proportionnelles, on peut écrire

Soit S, pour la vitesse w^ l'augmentation relative éprouvée par le débouché de la vanne correspondant aux vitesses angulaires Wi et (V,; Ç sera proportionnel k h — h^; nous pourrons

à se trouver sur un ellipsoïde substitué à la sphère du régulateur ordinaire. Posaat AD = A'D = a et conserTant les notations du texte, il est facile de recoDDattre que les formules (4) s'appliquent au cas actuel, en remplaçant Pa ^r P{i6 — a)f après y avoir supposé b = e. Cette disposition est loin d'offrir quoi que ce soit d'avantageux.

(*) Le mouvement oscillatoire des boules résultant d'une variation de la TÎtesse angulaire est un mouvement relatif par rapport au plan mobile AOA'; les forces centrifuges composées pour chaque boule ayant une résultante perpendiculaire à ce plan, on n'a qu'à introduire dans l'équation (1) le terme

~3l •— ^a, I étant le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe projeté en B. Au lieu de l'équation (a), on a la suivante :