CALCUL DBS RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC
Of d les distances de ce plan aux milieux A, A' des portions des axes des tourillons comprises dans les coussinets;
i, V les distances aux mêmes points du plan perpendiculaire à Taxe déterminé par la direction Q;
R le rayon de la roue tangentiellement à laquelle agit la force P;
r le rayon du cylindre ;
p celui des tourillons;
9 Tangle que forment les direciions de P et Q.
Le mode de répartition des réactions normales de chaque coussinet sur le tourillon qu'il reçoit est inconnu; mais, comme la largeur du coussinet est relativement faible, on peui, sans grande erreur, supposer que leur résultante passe par le milieu A ou A' de la portion du tourillon renfermée dans le coussinet. Désignons par N, N' les réactions normales des coussinets en A, A'.
La force Q se décompose en deux autres parallèles à sa di-
reciion Q -r t7> Qi~T"I7» comprises dans les plans (Sj, (S')
perpendiculaires à Taxe en A, A' ; la force P se décompose
de la même manière en deux forces parallèles P ■ : »
P — - — j5 comprises dans ces mêmes plans. Mais la première d'entre elles, par exemple, peut être considérée comme la
résultante des forces verticale et horizontale P , coso,
fi* ^ ; sîn©. Il suit de là que la résultante des forces com-
prises dans le plan (S), qui passe nécessairement par le milieu de Tarête de contact du tourillon et du coussinet, a pour expression
p yj{ P«'cos«P H- y^h' )' -4- P-fl" sin>
en remarquant que b + b'= a-h a' ; le moment du frottement est par suite
iG.
On obtiendrait de même, pour le moment du frottement relatif à l'autre tourillon,
— N'/p = ' ^ . /(Pflcos«p-t-0^)'H-P'«'smY
L'équation des moments est par suite
IPR Qr '^^ [/lP«' cosî» -4- ^b'Y-^- PV sin»»
(a-^«')v/i-r-y' -h y/ (Pfl cos^ -h {iby -^ P*«* sin'f ] = o.
.S! les forces P et Q sont parallèles ou si f =: o, l'équation précédente devient
PR-Q;.-- /L.(P-^Q) = o,
et fera connaître l'effort P qu'il faut exercer tangentiellemeni à la roue pour faire équilibre à la résistance utile Q et aux frottements des tourillons.
Mais, si f n'est pas nul, en faisant disparaître les radicaux, l'équation (i) est du quatrième degré en P, de sorte que la solution du problème est assez compliquée; maison peut la simplifier en remplaçant, par approximation, en vertu d'un théorème dû à Poncelet, chacun des radicaux par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il renferme (' ), ce qui sera généralement possible, car une discussion simple permettra généralement de voir a priori quelle doit être la plus grande de ces deux racines. Supposons, par exemple, que dans chaque radical le premier carré soit supérieur au second; nous aurons, pour déterminer P, l'équation
[%) PR-Qr=--^L= [o,96(Pcos«p-hQ)-+-o,4oPsin(p],
en commettant une erreur relative au plus égale à ^^ du terme dû au frottement, qui est déjà relativement petit.
On peut encore opérer autrement en négligeant devant l'unité le carré du frottement, qui est toujours une petite frac-
(*) Voir la Note placée à la fin du Chapitre.
CALCUL DBS AfiSISTANCEfi PASSIVES DAMS LES HAGOINES, ETC. 24^
Uon. En supposant /= o , l'équation (i) donne, comme pre-
roière approximation, P = Q g ; en portant cette valeur sous les radicaux, on trouve
P^ Qr-+-
Enfin, si dans l'équation (i) on suppose a = â' = fr = fr% r=:R, elle devient celle de la poulie, dont nous nous occuperons plus loin d*une manière spéciale, en tenant compte en même temps du frottement et de la roideur des cordes.
95. Du frottement des épaulements et des pivots. — Soient Q la résultante des efforts longitudinaux qui agissent sur un arbre; r„ r« les rayons extérieur et intérieur d*un épaulement; dans le cas d'un pivot, on supposera r« = o.
Comme on ne connaît pas le mode de répartition des pressions de l'épaulement sur le palier, on fait une hypothèse qui consiste à supposer que ces pressions sont uniformément réparties sur la surface de contact.
Mais alors on retombe sur le problème résolu au n^ 147 de la deuxième Partie, et Ton a pour le moment du frottement
3 ^^ Jil^rTj - 3 ^-f^ r. - r,
Si Ton appelle r' le rayon de la circonférence moyenne
de la zone de contact; / la largeur r, — r^ de cette zone, on reconnaît sans peine que le facteur de Q/ou le bms du levier moyen du frottement prend la forme
et l'on voit que l'on pourra prendre cette longueur égale à r' toutes les fois que / sera petit par rapport à ce rayon.
96. Du frottement dans les articulations.— Soient (yfg.i34 ) BA» AB' deux pièces articulées en A;
Fig. 134.
p le rayon de l'articulation;
S, S' les centres instantanés deBA, AB', tous deux situés sur la normale à l'élément que décrit le centre de l'articulation ;
G)y &)' les vitesses angulaires correspondantes.
Concevon&que Ton imprime à tout le système une rotation, autour de S, égale et contraire à o), de manière à ramener BA au repos; !a pièce AB' tournera alors autour du point fixe A avec la rotation ta! — u, et le glissement élémentaire de l'articulation sera dz p (w' — w) rf/, en prenant le signe ± selon que Ton aura &)'> o. Si F est la résultante des forces qui agissent sur AB% le travail élémentaire du frottement sera
p (w' — w) dt.
Appliquons ces considérations à Texcentrique circulaire en nous reportant aux n" 34 et 35, dont nous conserverons les notations, et à la fg, 78.
Nous avons trouvé pour la vitesse angulaire instantanée de la bielle
or on a
