ÂS

AS =- -^ = -^» sinABO =-. c sinô, cosO cosO

BK = LcosABO = L{i-i6»sin*0),

en négligeant la quatrième puissance de l'obliquité; d'où

,- Lff-ii'sin^ô)

As = r ' ?

cosô

CALCUL DBS KÉ8ISTAKCBS PASSIYBS DANS LB8 11 AGHIIfBSy BTG. ^47

par suile

w'= «eco80(i-h^e'sin*ô).

On aura alors, pour le travail élémentaire dû au froUement, ,

^ • ^ (i — « cosô — T *• sin'ô cosô) »rf/

ou, comme (ùdt = dO,

(i) -ML= (i-t cosô -i«»8in»0 cosô) rfO.

Supposons en particulier que l'obliquité soit assez faible pour en négliger le cube, et que le mouvement soit déterminé par une force constante P appliquée en B, et dont le sens change après chaque demi-révolution; F sera la résultante de P et de la réaction normale N des patins sur les glissières, en négligeant le frottement correspondant; décomposons la force P en deux autres. Tune normale à OB qui détruira N, el l'autre dirigée suivant AB, et qui ne sera autre chose que F; mais cette dernière a pour expression

= P(i^ie»sin^G),

cosÂfiO <le sorte que le travail élémentaire (i) devient

Jj— ( I -- 8 ces 0 -^ i i» sin' B)dB.

Pour une demi-révolution le travail sera l'intégrale de cette expression prise entre les limites 6 = 0, 0 =:i:.

i^yA 4/

97. Du frottement dans les engrenages cylindriques. — Nous ne considérerons que le cas d'un engrenage extérieur; celui d'un engrenage intérieur s'en déduira en changeant le signe du plus grand des rayons des circonférences primitives.

24B QUATRIÈME PARTIB. — GHAPITIB I?.

Soient (/gr.i 35)

0', 0 les centres de la roue menante et de la roue conduite,

la rotation de cette dernière étant censée avoir Heu de la

gauche vers la droite ; W, R les rayons des circonférences primitives de ces roues; A le point de contact de ces circonférences; m le point de contact des profils ma' de la roue 0% et ma de

la roue 0.

p la normale m A; (p son inclinaison sur mO; ds l'arc décrit dans le temps dl par un point de Tune ou l'autre

(les circonférences primitives ;

Fig. i35.

P, Q les efforts» respectivement équivalents à la puissance et

à la résistance utile, tangents aux circonférences 0, CK ; N la réaction normale de la dent ma sur ma' ; N' la réaction égale et contraire de ma' sur ma; /le coefficient de frottement.

LesfrottementsN/,N'/ étant directement opposés, il sufBt de trouver la direction de l'un pour obtenir celle de l'autre. Le glissement p( G» + &>') de ma sur mc^ ayant lieu vers la

CALCUL DBS BÉSISTÀHGBS PASSIVES DANS LBS MAGHIRES, ETC. ^49

gauche, les direciions de 'S'f, N/ sont respeciivemeni dirigées vers la droite et vers la gauche, comme l'indique d'ailleurs la Qgure.

Soient H et H' les projections de 0' et 0 sur les directions de N et N', on a

0'H'=R'sin7, OH =R8in.p;

H'/w = R' cos<ï> -+- py H/n = R cos«p — p.

Mais on a, pour exprimer que les forces, qui sollicitent les roues 0 etO' considérées comme libres autour de leurs axes respectifs, se font équilibre,

PR = N.O'H'-+-N/.H'ot, 0R=N'.OH-f-N'/.H/ii,

ou, en se rappelant que N = N',

d*où

P = N fsiiKp -+- fUo&^ -h Ç\\ 0 =r N Uin? -t-/ Uosf - ^ j Jî

8ill?-h/^COS7-+-^j

sin<p-h/^co8f— Ij

Si / était nul on aurait P = Q ; la force tangente à la circonférence primitive 0' équivalente au frottement est donc F=P — Q, etl'ona

Soient

A, le point de la circonférence primitive 0' qui doit succéder à A sur la ligne des centres au bout du temps <//; A,/ii| la normale abaissée de ce point sur ma! ; I la projection de A sur cette normale.

On a

kk^^dsy k^\ = dp,

25o QUATAIÈMB PARTIE. —- CHAPITRE IT.

et dans le triangle Ai AI

(I) ds==^.

Le travail élémentaire ¥ds du frottement a, par suite» pour expression

sinç sin<?-f-/^cosy — ^j et le travail total, en supposant constante la résistance Q,

?ds^

^ ^ J sinf sin<p-h/lcosç>— ^j

Le profil des dents de la roue 0 pouvant êlre défini par une équation de la forme ^ =:F(<p), la détermination de 6/ se ramène à une quadrature; l'intégration peut s'effectuer pour les engrenages à flancs, à développante de cercle et à lanterne ('); mais nous nous l)ornerons à donner la solution approchée admise dans la pratique.

Si nous négligeons le carré de/, qui est ordinairement inférieur à 7~j, on a

Cette formule montre déjà que 6/, pour l'étendue du contact d'un couple de dents, sera d'autant plus faible que p restera plus petit. Il y a donc avantage, en vue de diminuer le travail absorbé par le frottement, à réduire à peu de chose l'étendue du contact entre deux dents; dans ces conditions, 9 s'écartant très-peu de sa valeur 9* qui correspond au moment où le contact a lieu sur la ligne des centres, l'équation (1) peut, par approximation, être remplacée par la suivante :

dp = sincpor/j, d'où p = sinf^j.

(*) Voir, à ce sujet, mon Mémoire sur le frottement des engrenages coniques et de la vis sans fin {Journal de V École Polytechnique, XXXIII* Gtfaier).

CALCUL DBS RÉ8I9TÀNGB9 PAS81YB8 DANS LBS VACHIKBS, BTC. ^5l

et l'équation (3) par d'où

expression dans laquelle s est censé représenter le pas de Tengrenage. Le travail utile étant ^k=:Qj, l'expression précédente peut se mettre sous la forme suivante :

Soient n, n! les nombres de dents des roues 0' et 0; on a

d'où

Telle est la formule que l'on emploie dans les applications pour apprécier le travail absorbé par le frottement.

Cette formule (6) s'applique également dans le cas d'un engrenage intérieur, en changeant de signe le plus grand des nombres n et n'.