SA» SA' , , , SA
d'où
,c\ j OL fi^ ntQOif^doL cotflrfa
(6) ds = SA -: — = R' — : = K ■ — -.
sin? sin^ sin^
ou encore, en vertu de la première des relations (4)»
cosasinç Les formules (3) et (6) donnent la suivante :
F^ = Q/(R'colV-+-Rcol'a) -.— -. ,. ^'"''^^' t-t—- — i'
•^ ^ i ' sinY(sin<p-»-/co8ç»cosa— ycotflsina)
et Ton a pour le travail total dû au frottement
G,= 0/(R'cotVH-R COt»«) r !-■ , Sinar/g^ .. . ^ ,
' ^-^ ^ ' Jq smçp(8m«p-+-ycosf cosa~/cotflSinx)
256 QUÂTaiÈMK PAETIB. — CHAPITRE IT.
formule dans laquelle on devra remplacer <f par son expression en fonction de a, qui définit la nature de l'engrenage.
L'intégration peut s'effectuer lorsque la surface SA m est un plan méridien ou une développante de cône; mais nous ne nous arrêterons pas à ce détail ( * ) qui offre peu d'intérêt. Mais, comme il est visible que le travail du frottement pour l'étendue d*un contact est d'autant plus petit que les dents sont plus courtes ou que a est plus petit, nous supposerons, comme cela a lieu d'ailleurs dans la pratique, cet angle assez faible pour qu'on puisse considérer son cosinus comme égal à l'unité. Alors les formules (5) et (7) deviennent
/(cos?-0
Or ce sont précisément les mêmes que celles qui se rapportent à un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient R' etR; nous n'avons donc qu'à nous reporter au numéro précédent, dont la formule (5) s'applique, par suite, aux engrenages coniques comme aux engrenages cylindriques.
99. Du frottement dans la vis sans fin. — Nous supposerons, pour fixer les idées, que les axes de la vis 00 et de la roue O'O' (fig. i38) sont horizontaux; que le pas de la roue est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible considérer le contact entre une dent et le filet comme ayant lieu, sur toute son étendue, dans le plan passant par 00 et perpendiculaire àO'O', et par conséquent sur une même hélice du filet; c'est seulement dans ce cas, d'ailleurs, que l'engrenage est sensiblement exact.
Soient (/g. 1 38)
R, R', r les rayons de la manivelle, de la roue et du cylindre de l'hélice sur laquelle le contact a lieu;
(*) Voir à ce sujet le Mémoire cité ci-dessus.
CALCUL DBS RtSISTAHCBS PASSIVES DANS LES HACHIIfBS, ETC. ^S'J
P la force motrice agissant sur la manivelle de la droite vers la gauche;
Q la Torce équivalente à la résistance utile, tangente à la circonférence de la roue;
'i), fil' les vitesses angulaires autour de la vis et de la roue;
/ rinclinaison de l'hélice sur la section droite du cylindre.
Fig. i38.
La relation entre P et Q devant varier très-peu avec la position du contact, en raison de Thypothèse que nous avons faite, nous rétablirons pour le cas où le contact a lieu en A, sur la perpendiculaire commune aux deux axes ; les actions normales égales et contraires N, N' du fliet sur la dent et de la dent sur le filet, de même que les frottements N/, N'/, se trouveront alors comprises dans le plan tangent horizontal au cylindre suivant la génératrice passant par A.
Le sens de N'/ étant Finverse de celui du glissement du filet sur la dent ou de la résultante des vitesses (ar, —tù'W, ce frottement est dirigé comme l'indique la flgure. La comr ni. 17
a58 QUATRlftHB PARTIE. — GHÀP1T1IB IT.
posante de N' et N'/, parallèle à O'OS ayant pour expression N'sîni -4-N'/cosi, on a pour l'équilibre de la vis
PR=N'(sin/H-/cos/)r.
La composante deN et N/, parallèle àOO, étant Ncosi—N/sin/, l'équation d'équilibre de la roue est
QR'=N(co8/-/sin/)R'; d'où
. . F sin/'-h/cos/ r
^'' Q"" cos/— /sini R'
ou encore, en appelant a l'angle <le Trottement,
(a) y = g tang(/-^a).
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que ce rapport soit positif ou que l'on ait
autrement il faudrait changer le sens de P pour maintenir Q en équilibre.
Le déplacement élémentaire de &>' R' dt, d'un point de la circonférence de la roue, détermine le déplacement (ù'K'coii.di
du filet, et celui de la manivelle est, par suite, tû'K' — coii^dt;
on a donc, par le rapport du travail utile au travail moteur,
Si l'on désigne par A le pas de la vis, on a
tang/ = )
" ai:/-
valeur que l'on pourra substituer, si l'on veut, dans les équations (i), (2), (3).
Ces mêmes équations s'appliquent encore au cas où la roue conduit la vis, en y changeant /en — / ou « en — a, et Ton
CALCUL DES RÉSISTÀHCBS PA8SITBS DANS LBS MACHINES, ETC. 2Sg
reconnatt alors que, pour que le mouvement soit possible, il faut que />«.
100. Frottement d'une corde sur un cylindre. — Supposons ijig^i^) qu'une corde, censée réduite à son axe, glisse sur la section droite AmB d'un cylindre quelconque.
Fîç. 139.
Soient
Ti, Ti les tensions motrice et résistante des brins extrêmes de la corde, tangentes respectivement en A et B au cylindre ;
T la tension en un point quelconque m de la corde, compris entre A et B;
? l'angle mCA formé par les normales en m et A ;
mm', frim" deux éléments consécutifs de la corde égaux à dt, en partant du point m et se dirigeant vers B.
La tension en m' dirigée suivant m* m'* est T -f- --^- rfj, et fait
l'angle (/(p avec la direction de T; en exprimant que les forces T,
— (T-{--7-rf^j font équilibre à la réaction normale Nrf^ du
^•yllndre et au frottement N/rf*, on a, en projetant sur les directions de T et de Ne?*,
- — hN/--o, Nr-& — TJ^=o;
d'où, par l'élimination deN,
dï -h /T d^ = o,
a6o quâtrièkb pàrtii. — ghapiteb iv.
et enfin, en intégrant»
Si l'on désigne par f > l'angle formé par les normales en A et B, on a
et l'on voit qu'il n'y aara pas glissement ou tendance au glissement tant que l'on aura
Les formules que nous venons d'établir s'appliquent encore avec une grande approximation au cas où la corde fait plusieurs tours en spires jointives, à la condition de donner à f un accroissement de stt par spire, attendu que l'on peut, sans grande erreur, considérer une spire comme comprise dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Si n est le nombre entier ou fractionnaire de tours que fait la corde sur le cylindre, on a a=: 2 7rn et
Ainsi, pour une valeur donnée de T„ la résistance T. diminue très-rapidement quand n crott; c'est ce qui explique comment, en tenant par un bout un cftble faisant quelques tours sur un pieu vertical fixe, on peut, en exerçant un effort très-faible Ti, ralentir le mouvement et arrêter en peu de temps un bateau fortement chargé, animé d'une vitesse notable et auquel se trouve accrochée l'autre extrémité du câble.
101 . De la vitesse des différents points de la corde^ en tenant compte de son élasticité et de son inertie. — Soient rfo- un élément de longueur de corde à l'état naturel ; ds^, ds ce qu'il devient lorsqu'il est soumis aux tensions T«, T.
(' ) Nous sommes déjà arrivé à cette formule au n^ 93 de la deuxième Partie, nu changemeot près de a en ^, sans donner à la constante f la signification actuelle de coefficient de frottement; mais nous avons cru devoir, pour plus de clarté, reprendre directement la question au point de vue où nous devons maintenant nous placer.
CALCUL DBS RtSlSTANCBS PA8SIYB8 DAH8 LB8 1IACHINB8, ETC. 26 1
Sous TacUon de la tension T, dtr éprouvera un allongement relatif, proportionnel è cette tension; de sorte que» si nous désignons par k une constante, nous pourrons écrire
ds^^da (i-i- kT.), ds^dfx (i-k kl) ; d'où
ils = as^ j-nr •
• 1 -f ki^
S le brin Tt A se dégage de ds. du cylindre dans le temps dt^
dSm
sa vitesse sera Vt = -^ ^ mais, comme la masse de la portion
km de la corde est constante, et que la section et la densité
de la corde ne varient pas sensiblement, il faut qu'il passe
en m dans le même temps dt la longueur ds; la vitesse en ce
ds point est, par suite, V=: ^ ou
(5) V= V i-±-iI.
D'après M. Kretz (* ), on a, en désignant par A la section estimée en millimètres carrés,
k = -J-- pour les courroies ayant servi quelque temps.
k = -j-- pour les courroies neuves.
Comme on ne doit pas, en vue de la sécurité, faire supporter à une courroie de cuir une charge supérieure à o^*,a5 par millimètre carré, il faudra satisfaire à la condition
et l'on voit, par suite, que kT sera toujours une petite fraclion, dont on pourra négliger les puissances supérieures à la première.
En supposant la vitesse V« constante, et en désignant par p le rayon de courbure du cylindre au point m^ nous aurons res-
(') Annalet des Mines, 1S63, i'^^ Tolume.
^a QUATHIÈIIK PàATIB. — GHÀPITKB IT.
pectlvemeni, pour les composantes tangentielle et normale du point correspondant de la corde
di " i-h AT^ dif ds dt~ 1-^ AT, p dy '~ p di^^ yi ya
En appelant /i le poids de l'unité de longueur de la corde, il est facile de voir qu'au lieu des équations (i ] on a les suivantes :
ds "" g ? d^ Ndlf-T^/f -+-^ [i-H a/(T-TJ]rf5= o,
d'où, par rélimination de N,
Si nous posons
j/,=/(,-ii?ïi),
l'équation précédente devient, au degré d'approximation convenu,
d'où
(8) T = T-f-(To--T)^-A?,
et enfin
yji^/.T-f-^(T,~r)g-Ayi
La vitesse V diminue donc très-rapidement (mais d'autant moins que Vo est plus grand), quand <p augmente et atteint bientôt une valeur peu différente de la limite
CALCUL DES EÉ8ISTA1ICES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. d63
qui se réduit a
