I -r- AT

lorsqu'on néglige IMnerlie.

102, Courroies sans fin. — Soient {fig, \^o)

Fig. i4o.

0, 0' les centres de la poulie menante et de la poulie conduite, la droite 00' étant censée horizontale pour fixer les idées ;

R, R' leurs rayons;

a, a! les rayons des cercles de centres 0, 0% auxquels on peut supposer que la puissance P et la résistance Q sont tangentes ;

y, i les angles que forment les directions de ces deux forces considérées comme positives ou négatives, selon que P et Q sont situés à droite ou à gauche de la verticale;

A*. A', les points de tangence des poulies 0, 0' avec le brin conducteur, c'est-à*dire celui qui se dégage à chaque instant de 0' pour s'enrouler sur 0.

A„A\ les points de contact correspondants relatifs à l'autrebrin;

p, p' les diamètres des tourillons des poulies 0, 0' ;

/i le coefficient de frottement de ces tourillons sur leurs coussinets.

Nous supposerons qc^e la courroie est suffisamment tendue pour que l'on puisse considérer ses deux brins comme rectilignes et nous désignerons par X les angles qu'ils forment avec la ligne des centres 00' de part et d'autre de sa direction.

La poulie 0 est sollicitée par la force P, par les tensions T«,

^64 QUATaiÈHE PARTIE. — CHÀPITBE lY.

T, des brins A,A'«, A| A', qui agissent respectivement comme résistance et puissance, et que l'on peut supposer appliquées en Al, A; de sorte que Ton a pour l'équation relative à l'équilibre de cette poulie

Pa-h{T,-T,)R

Les tensions T«, Ti agissant respeciivement comme puissance et résistance sur la poulie 0% on a de même

(2 )j -h -T^Lr-- v/tQcos^-h(T, -T.)8inX]'-H[(T,-+- T,)co8ÀH-ycos^]' = o.

Il nous faut encore établir une autre équation pour que Ton puisse trouver les valeurs des inconnues P, T., T,.

A cet effet, nous remarquerons que l'on peut considérer la masse d'une courroie comme étant proportionnelle à sa longueur ramenée à l'état naturel ; cela tient à ce que, sous l'action d'une tension, la section transversale et la densité d'une courroie n'éprouvent pas de variations sensibles.

Soient, à cet effet, L la longueur de la courroie en place» qui reste la même à l'état de repos et k l'état de mouvement; S la tension uniforme correspondant à la mise en place, que l'on peut régler à volonté dans certaines limites, et qui est une donnée de la question.

Quoique, pendant le mouvement, la tension varie entre T» et Ti dans les portions de la courroie qui embrassent les poulies, on peut néanmoins, par approximation et en commettant une erreur d'autant plus faible que les axes seront plus éloignés, admettre que la moitié L a la tension T«, et l'autre moitié la tension T,.

La longueur de la courroie ramenée a l'état naturel est par

suite

k ayant la même signification qu'au numéro précédent; mais

CALCUL DES R<8I8TANCB8 PASSm» DANS LS8 MAOHINBS, BTG. 265

elle a aussi pour longueur

En égalant ces deux valeurs, il vient

IH-AT, 1 -t- ^1, l-T-ArS

ou, en négligeant les carrés des allongements relatirs, qui sont toujours de petites fractions,

Pour aciiever la solution du problème, il conviendra de remplacer approximativement, dans les équations (i) et (a), le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, et alors on n'aura plus qu'à résoudre trois équations du premier degré entre les inconnues T., Ti, P.

Soient/le coefficient de frottement de la courroie sur les poulies; f , (f' les angles au centre correspondant aux arcs embrassés par la courroie sur les poulies 0, 0'; en négligeant rélasticité et l'inertie delà courroie (100 et 101), il faut, pour qu'il n'y ait pas glissement, que les valeurs obtenues pour T«, T, satisfassent aux conditions

(4) î-•<er^^ ~<^»'.

Considérons en particulier le cas simple où les deux cordons sont sensiblement parallèles et où les efforts P, Q, étant perpendiculaires à la droite 00', sont respectivement tangents aux deux poulies 0 et 0'. On a

et les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :

266 QfJATRitaB PART». — CHÀPITRB IT.

d'où, en ayant égard à la relation (3),

(5) p-Q = .^^,(£^pr;rëi^^/Qrrë»V

Si Ton néglige le frottement, on aP = Q, et, à la seconde puissance près de/,

103, Du glissement partiel des courroies sur les poulies. — Comme l'a fait remarquer M. Kretz, pour que la tension passe de T« à Ti sur les portions de la courroie qui embrassent les poulies, il faut nécessairement que la courroie glisse sur chaque poulie avant d'être entraînée dans son mouvement.

Soient aOAo, A\0'af deux angles égaux à la valeur f, de 9 donnée par l'équation

on a

la courroie glissera de A« en a sur la poulie 0 et de a' en A'. sur l'autre poulie, et, en vertu de l'équation (5) du n^ 101, nous aurons, en considérant les vitesses V«, Vi en A« et a ou en A', , a\

(8) L=li^.

M. Kretz ('), en discutant cette formule, a attribué comme valeur moyenne du second membre de cette équation 0,978 pour les courroies ayant servi et 0,975 pour les courroies neuves, de sorte que, pour 100 tours de la partie motrice, l'autre ne fait que 98 tours environ, soit un ralentissement relatif de a pour 100.

De kt en a ou de A', en a! la tension T suit la loi

(«o) «? = — jY'

(*) Annales des Mines^ iS6a ; 1. 1, p. 76. — Becueil des Mémoires des Sa¥ants étrangers de V Académie des Sciences, l. XXII.

CALCUL DBS mÉ818TAHGB8 PA8SIVB8 SANS LBS VACHIlfESy ETC. 267

de sorte que la longueur naturelle de A, a est

R r'T. dï R| T. i-t-/T.

'"^ ^X^rSî^-jX/Tû

+ AT) /•""T, i + XT,

La longueur naturelle de A', a' est de môme

,,, R', T, n-XT,

La somme des longueurs naturelles des portions de la courroie soumises respectivement aux tensions Ti, Ti est, en appelant c/ la distance des axes, et en ayant égard à la relation (7),

/r/-t-(R^— R)sîn>

^^HR(„^^X^yj^R'(^:,X-y,)RV(R'-R)sin;

[c] ( (i-t-XT,)cosX

fi-{- R (îT -4- aX) co8>-f- R'(Tr — il) cos^-4- 2(R'— R)sin>

R-hR' , T.

(I-+-X-TJC08X

i-hAT,"^^T,

En exprimant que la somme des longueurs naturelles (a), [b], (c) est égale à la longueur naturelle correspondant à la tension 6, on trouve

^^^(U ii'\w'^« i±-ili ^/+(R^-R)sinX

rf-+-R (7r-+-îiX) cos>-i-R'(7r — il) co8>-i-(R'— R) sin> ces a ar/-i-R(7r-H-2X)cos>-f-R^(7r — a>)co8>-H-(R^— W)sin2>cosA R -h R' , T„

Telle est la véritable relation qui existe entre les tensions T»» T„ qui devrait être substituée à la formule approchée (3), à

^68 QUATElftlB PAETIB. — GBAFITIX IT.

laquelle elle se réduit quand la dislance des axes d est trèsgrande par rapport aux rayons R» R'. Mais nous devons faire remarquer que cette dernière formule est bien suffisante au point de vue des applications (*).

10&. Transmission par câbles. — On substitue des câbles en fil de fer aux courroies lorsque Ton veut transmettre des efforts considérables à de grandes distances, sans éprouver de pertes notables de travail.

Le câble, dont la tension est produite par son propre poids, ou est uniquement en fil de fer, ou est composé de torons en fil de fer avec âme en chanvre disposés autour d'une âme également en chanvre.

On a reconnu en pratique que la distance des axes de deux poulies consécutives ne doit pas être inférieure a 5o mètres; elle dépasse souvent i5o mètres. Le diamètre des poulies varie entre 2 et 5 mètres. La vitesse à leur circonférence atteint généralement 3o mètres et même 3a mètres.

Toutes les poulies d'une même transmission ont le même diamèlre.

Si trois axes de rotation consécutifs doivent être parallèles, la jante de la poulie intermédiaire présente une double gorge destinée à recevoir les deux câbles.

Si l'axe de la troisième poulie ne doit pas être parallèle aux deux autres, le mouvement est communiqué» au moyen d'un engrenage d'angle, par la seconde poulie à une troisième poulie montée sur le même bâti qu'elle, dont l'axe est parallèle au troisième axe de rotation correspondant à une quatrième poulie.

En employant plusieurs engrenages d'angle, on peut dévier

(') La largeur d'une courroie te détermine ordinairement par la formule empirique

dans laquelle /représente la largeur de la courroie en mètres, F la puissance à transmettre exprimée en cheTaux, V la vitesse de la courroie esUmée en mètres, fi un coefficient égal à o,i5 pour les arbres de couche et OiM pour les arbres verticaux.

CALCUL DBS RiStSTUIGBS PUSmS DÂH« LES MACHIHBS, ETC. 269

de la inéme manière la force motrice transmise à ane poulie ea auuni de parties égales ou ioégales. Le plus souvent les axes des deux poulies consécutives sont

Fi,, ijj

riR. ,h.

compris dans un même plan iiorizontat ; lorsqu'il n'en est pas aiusi, la transmission est oblique, M. Ritter, ingénieur des tra*

vaux de la Sarine ii Fribourg, a le premier employé, dans cer- Uines circODsunces, des cibles verticaux.

270 QUATEliOlB PARnE. — GHAF1TE8 IV.

On soutient le câble par des galets pour éviter qu'il vienne touctier le sol lorsqu'il est placé à une hauteur insuffisante.

Les Jig. i4i et i^TL représentent respectivement les proGIs des jantes d'une poulie à simple et d'une poulie à double gorge. Le type général des bâtis est représenté par h Jig. i43>

Il existe, notamment à Bellegarde, à Fribourg (Suisse) et à Schaffouse, de très-belles installations- de transmission par câbles.

Considérons le système formé par un câble et deux poulies consécutives dont le mouvement est uniforme; nous négligerons le frottement sur les coussinets et l'élasticité du câble.

Nous pouvons supposer que le câble est réduit à son aie et que les poulies sont remplacées par les circonférences de centres C^C,.

Fig. i4i.

Par suite de la permanence du mouvement, la vitesse est la même en chaque point du câble, de sorte que l'influence de l'inertie se réduit à celle de la force centrifuge.

Soient

Ox, 0/ deux axes rectangulaires respectivement horizontal et

vertical ; T la tension de l'un ou de l'autre des brins de câble au point

[x, x) où l'inclinaison de la tangente sur Ox est a ; s la longueur de l'arc du brin aboutissant au même point et

mesuré à partir d'une origine déterminée;

CALGtL DBS EÉSISTINCBS PAS81TV8 DANS LBS lAGHINESy ETC. 27 I

p le rayon de courbure du câble au poinl {x,y); V la vitesse et p le poids du mètre courant du câble.

Reportons-nous au n^ 86 de la deuxième Partie : en considérant un élément du brin et projetant les Torces qui le sollicitent sur la tangente et la normale, on trouve

-j- ^psmoL, - = ' — +-/?cosa.

Si Ton pose

ces équations prennent la forme

(2) Si^/'Sina, t-=;,COSa,

et ne sont autre chose que celles d'une cbatnetie dont le paramètre est indépendant de la vitesse V, comme les conditions qui servent à déterminer les constantes introduites par l'intégration.

On déduit de là

(4) 3 =/M(tanga-i-fl),

m ei a étant deux constantes; puis, en se rappelant que Jx = ds cosa, dy =r ds sin a,

(5) log ?.^'1±-^

tang

' " COSa

6 et c étant deux autres constantes.

Les huit constantes m, a, b^ c^. , .<, relatives aux deux brins, se détermineront par les conditions que ces brins sont tangents aux circonrérences C, Ci, que la somme de leurs longueurs ajoutées à celles des arcs embrassés par les poulies

27a QUATMfelB PARTIS. — CHAPITRE lY.

est une donnée de la question, et enfin que les forces qui sollicitent la poulie menée s'y font équilibre.

Mais ce calcul ne peut s'effectuer complètement que dans le cas le plus usuel où les axes des poulies soni compris dans un même plan horizontal et où l'inclinaison maximum de chaque brin ne dépasse pas une certaine limite.

Supposons que C soit la poulie menée, que le brin inférieur soit conduit et soient

R le rayon des poulies;

Q l'effort résistant censé tangent à la poulie C;

P la puissance supposée tangente à la poulie Ci, et qui, en raison des éléments que nous négligeons, est égale à Q;

d la distance CCi des axes;

A le point le plus bas du brin Inférieur;

e Tangle que forme la verticale avec le rayon mené au premier point de contact de ce brin avec la poulie C ou d ;

2X la longueur totale du câble.

Nous ferons passer l'axe 6y par le point A, c'est-à-dire à égale distance des centres C et Ci.

Si nous prenons A pour origine des arcs, a sera nul ei, comme b l'est aussi, les équations (4) et (5) se réduisent aux suivantes :

(4') f = /iitanga,