tang
log j - 2 langi ^iH- i tang^^ j
i-tang-
tangî=~(i^^)
D'autre part» ^ est une petite fraction qui atteint rarement y^; de sorte que Ton a très-sensiblement
(7) /wi(n- Ji') = rf-f- Rt.
L'autre brin donne de même, en accentuant les lettres»
18) m'î' (i-h il") = d-'Ksf.
Nous avons maintenant
mtangf -+-/iî'lang«'-+- R(ir h- i'— «) = > ou
(9) OT6 f 14- ^ j -H m' s' ( i-i- L- J ^R(tr f- g' — e) = >.
Nous avons maintenant, pour la condition d'équilibre relative à la poulie C,
nt'p ^ mp -.
COSf' COSe "^
En éliminant m et m' dans les équations (9) et (10 )» au moyen des relations(7) et (8), on obtient les suivantes :
Lorsque le câble est au repos ou que Q est nul, e et e' ont m. ,8
la même valeur £«, qui est donnée par
et Ton peut mettre (ii) sous la forme
.'-i-i"rraej.
En posant
pd
Tequation (12) devient
et peut, comme première approximation» se réduire à la suivante :
Les équations (11'} et (12''] donnent
d'où Ton déduira e et e'. En se reportant ensuite à l'équation (12'), on obtiendra facilement une seconde approximation de ces valeurs, en ne négligeant plus que les termes du second ordre devant l'unité.
L'équation (8) donnant
la tension maximum du câble est
Soient a h somme des sections des fils qui composent le câble ;
CALCUL DBS RÉSISTÀNG£S PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 2n5
r Teffori maximum que Ton veut faire supporter aux fils par
unité superficielle de la section ; n le poids spécifique de la matière.
Nous aurons (16) ^ = n
OU
V (,/-.Rs')(i-+.ig'^) r g €' n
En substituant la valeur de ef dans cette formule, nous aurons une équation qui fera connaître q et par suite p et o-. Hais cette solution est presque impraticable. Il sera préférable de dresser des Tables faisant connaître les valeurs de £, e^ par suite celles de F, correspondant à une suite de valeurs données de Co, q et V.
Supposons maintenant que l'on place l'origine des coordonnées sur la droite CCi ; les ordonnées des brins supérieur et inférieur seront respectivement données par
r= Rcose'-H/w'(— î —,h
\cosa cosi y
Y --- — Rcosc -f- m l ^ I,
\cosa cosj/
et leurs flèches seront
•' \cos« / a ^ »i /»
f=m{ 1| = m — (i— -rS^«=).
Après avoir traité la question au point de vue où nous nous sommes placé, il sera facile de déterminer les corrections qu'on devra faire subir aux résultats obtenus pour tenir compte du frottement.
2']6 QUATRIÈME PAETII. — CHAPITBB IV.
§ II. — Frottement de roulement,
105. Nous avons vu que la résistance au mouvement éprouvée par un corps (S), qui roule sur un autre corps (S'), est due à ce que la réaction du second corps sur le premier passe à une petite distance en avant du point de contact géométrique des deux surfaces, mesurée sur le lieu géométrique des positions successives de ce point sur la surface de (S').
Cette distance, que nous continuerons à désigner par o, pour un cylindre de rayon R roulant sur un plan, serait, suivant Coulomb et M. Morin, indépendante deR et paraîtrait aller en diminuant quand la longueur du cylindre augmente. Parmi les résultats obtenus par M. Morin, nous citerons les suivants :
Chêne sur peuplier (longueur du rouleau o^^ioo).. ^ = 0,000876
Fer sur planches de chône brutes o,oioaoo
Houe à jante en fer sur chaussée en empierrement
à l'état ordinaire o,o4i4oo
Roue à jante en fer sur chaussée en empierrement
en parfait état o,oi5ooo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au pas o,oi85oo
Roue à jante en fer sur chaussée en pavé bien entretenu au trot o,o238oo
Roue en fonte sur fer non graissé o,oo35oo
» sur fer avec graissage continu 0,001 100
D'après Dupuit, S serait de la forme d= Ar^, k éunt un coefficient qui dépend uniquement de la nature des corps en contact, et Ton aurait :
Pour le bois roulant sur le fer A- = o ,001 1
Pour le fer roulant sur le bois humide 0,0010
Pour le fer roulant sur le fer 0,0070
Pour les roues sur les chaussées en empierrement. . o,o3oo
Mais les formules que nous allons établir sont indépendantes de toute hypothèse sur la dépendance qui peut exister entre i, le rayon et la longueur du cylindre.
