V. la vitesse du train à partir du moment où l'on serre les

freins; < le chemin parcouru au bout du temps t; <i la valeur de s correspondant à l'arrêt ou à V = o.

On tire de l'équation (4)

iGNRcr

(/'7+/^sin7CO8.)-^(Q'-^^')|-(0'-^^')8in/^/j0'

16NR* (/-y -i-/| sinycost) + (0'+ y') g - (Q'-Hî')sini • + / Jo- j,

QL-tA' ^ il

* i6RN>(/'7-/-8in7COS»V^(QVy')|-(0'+î')8mi-i-/^Q'

332 QUATRlfenB PARTIE. — CHAPITRE IV.

Si Ton se donne s, N, V», i, cette équation permettra de calculer Q' et par suite le nombre de wagons que doit desservir un wagon-frein pour pouvoir s'arrêter à une distance déterminée sur une pente donnée, et enfin le nombre de wagons-freins que Ton doit établir dans un train se trouvant dans les conditions ci-dessus.

Soit/'' le coefficient du frottement de glissement des roues sur \m rails; pour que les roues du wagon-frein ne glissent pas, il faut que Pi<(Qi -f-Çi)/', ou, en vertu de l'équation (i), que

/t(,6R^Nsin(pco8£-+-Q,)<(0.-^y.)/'.

Si Ton ajoute cette inégalité à Téquation (4) pour éliminer N, on trouve

dt\ g g J

rfV et Ton voit que — -^» c'est-à-dire le ralentissement, atteindra

son maximum lorsque les roues glisseront sur les rails, ou que le maximum d'effet du frein sera produit lorsqu'il y aura glissement.

Supposons maintenant que l'on veuille calculer le nombre n de véhicules que doit desservir un wagon-frein serré à fond; pour plus de sécurité nous ferons abstraction des résistances passives autres que le frottement sur les rails, ainsi que de l'inertie des roues, et nous aurons ainsi

Si Qt + qi représente le poids moyen d'un wagon, nous poserons

CALCUL SES RÉSISTàMCBS PASSIVES DANS LES HACHIlfBS, ETC. 333

et nous aurons

d'où

Le temps au bout duquel le train s'arrêtera est

(•f-sin/)/

et le chemin parcouru correspondant

(£-sin/)'

d*oii, pour le nombre des wagons que doit desservir un wagonfrein,

— - -h smi

334 QUATRIÈME PARTII. — GHAPITEB IV.

NOTE

sua LA SUBSTITUTION PAR APPROXIMATION, BNTRB DES LIMITES DÉTERMINÉES DU RAPPORT DES VARIABLES, d'uNE FONCTION HOMOGÈNE DE DEUX VARIABLES A UNE AUTRE FONCTION HOMO- GÈNE DU MÊME DEGRÉ.

Soit F (x,/) une foDctîon homogène du degré m\ proposons-nous de déterminer les valeurs de deux coefficients arbitraires a, ^ d'une autre fonction homogène Fj(xy j) du même degré, de telle manière que les erreurs relatives

se trouvent partagées, dans les meilleures conditions, entre les limites supérieure X*, et inférieure h^ du rapport -• Nous pouvons poser

et nous avons par suite

Nous poserons

•^. =:.tang0,

ou, lorsque la valeur absolue de - ne pourra pas dépasser l'unité,

- = sinO.

Dans les deux cas e prendra la forme

CALCUL DBS EÉ8ISTANCIS PA8SITB8 DANS LES MACHINES, ETC. 335

Nous pouvons considérer e comme étant la différence du rayon vecteur de la courbe représentée par Téquation polaire '

et du rayon, égal à l'unité, de la circonférence ayant le pôle 0 pour centre. Soient G, et 9, les valeurs de 0 correspondant aux limites X-, et X-, du

rapport - •

Les termes dans lesquels nous avons posé la question, nous devons l'avouer, sont assez vagues et peu susceptibles d'une définition analytique. Pour les préciser il nous faut avoir recours à une espèce de sentiment sur la manière dont les erreurs relatives doivent être le mieux partagées en vue de rendre aussi petite que possible la plus grande valeur absolue de <?.

La solution suivante se présente naturellement à Tesprit :

Exprimer que les deux erreurs relatives pour — = X^, — = A-, sont

X je

égales et de même signe et égales et de signe contraire au maximum ou au minimum que prend la fonction e entre 0 = 9, tf/ 9 = 9^.

Soient

9j la valeur de 9 comprise entre 9, et 9, qui rend maximum ou minimum la fonction,7(9];

II,, a^y a^ les points de la circonférence de rayon égal à l'unité correspondant aux angles 9,, 9„ 9, ;

Âp Â,, A3 les points de la courbe représentée par Téquation (3), situés respectivement sur les mêmes rayons que les précédents.

Nous devrons exprimer que l'on a

(4) Ajfl, =A3flr„

et nous aurons ainsi deux relations qui nous permettront de déterminer les coefBcients a et p, ainsi que la valeur absolue e^ de la plus grande erreur relative représentée par it A, i?, .

Applications.

En posant

^ = tang9.

on a

p= asinO + ^cosO,

équation qui représente un cercle qui passe par l'origine 0. Pour que la condition (4) soit satisfaite, il faut que Oa^ soit {Jîg. i&i)

Fig. i6a.

la bissectrice de l'angle a,0^2 = 9.^—0,, angle que nous désignerons par as.

En appelante le rayon OC du cercle OÂ3, la condition (5) donne