AH

COSf

et d'après la relation (4) les points H etH^ coïncident.

Jionc, pour trouver le centre de courbure de l'enveloppe^ on joindra les points 0 etC par une droite jusqu'à sa rencontre H avec la perpendiculaire en A à la normale en m, et l'intersection de cette normale avec la droite qui joint les points H et 0' sera le centre de courbure cherché.

Ce théorème permet de construire l'enveloppe par une succession d'arcs de cercle osculateurs; à cet effet, à partir de A portons des divisions équidistantes^ suffisamment rapprochées, I, a, 3,. . . sur (S), et i', a', 3',. . . sur (S'); déterminons les centres de courbure Ci, Cs,..., correspondant aux divisions ci-dessus (S) et aux points mi, m,,... de am; la position du point m étant supposée connue, on construira C et l'on décrira l'arc de cercle osculateur mm\^ limité à la normale C'i'; sur le prolongement de cette droite, et à partir de m'i, on portera une longueur m\ Di = i .Ci et le point Di permettra, de même que C pour C, de trouver le centre de courbure C, de l'enveloppe correspondant à m',, d'où un second arc de cercle osculateur qu'on limitera comme mm\ et ainsi de suite; mais cette construction, quoique basée sur un principe éminemment rationnel, est assez compliquée, et dans la pratique celle de Poncelet est bien préférable.

La construction du centre de courbure donnée ci-dessus s'applique à tous les cas, que les courbes (S) et (S') opposent leurs convexités, comme le suppose la figure, ou que le contraire ait lieu; mais, si l'on veut faire une application numérique de la formule (4)9 il faudra, dans ce dernier cas, considérer R comme négatif; et si le sens de la courbure de ma change, par rapport à celle de (S'), il faudra également remplacer p par — p dans la même formule, et le signe de p' donnera le sens de la courbure de l'enveloppe; enfin si le point m, au lieu de se trouver à l'extérieur de (S'), est à l'intérieur, il faudra changer le signe de p.

TRAHSFORMâTION du HOUTBMBNT CIRCCLàIRB COIITIICU9 ETC. 25

Nous allons étudier quelques cas particuliers lorsque les courbes (S), (S') sont des circonférences.

(a). Enveloppe d'un point. — Nous considérerons d'abord Je cas où les circonférences sont extérieures l'une à l'autre, et nous supposerons que le point générateur m se trouve sur la circonférence (S); nous construirons l'enveloppe comme nous l'avons indiqué plus haut. L'épicycloTde se composera d'arceaux successifs identiques^ en nombre fini ou infini, selon

que le rapport ^ sera commensurable ou non. Chaque arceau

sera aplati ou allongé, selon que R sera plus petit ou plus grand que R% correspondra à une révolution complète de la circonférence (S), et son sommet à une demi-révolution. Deux arceaux consécutifs se rencontreront sur la circonférence (S') et y formeront un point de rebroussement où la tangente sera le rayon correspondant de cette circonférence. Soient (Jig. 28} L, H les secondes extrémités des diamètres

Fîg. a8.

de la circonférence (S) partant des points À et m; menons les droites HL, HO'; cette dernière rencontrera la direction de Km en un point C qui, d'après le théorème de Savary, sera le centre de courbure au point m de l'épicycloTde. Si J est le point de rencontre avec 00' de la parallèle à AH menée par le

26 QOATRlftHB PARTIE. — CHAPITRE lU.

poinl C\ on a, d'après la figure»

AJ AC AO' d'où