I — 2^C0SC = 2JI— I
d'où
s ' acos*-
par suite,
ff„ = a^— 1= tang'-
Soit 0/n = p le rayon vecteur du cercle de rayon A correspondant à l'angle polaire mOar = 0; la figure donne
tp = 2^ cos[0 — (0, H- fi )] = — ^ [cos0cos(O, -H- e) -^ sinô 8in(0, -h c)];
cos*- •
d'où, par èomparaison avec la formule (6),
8in(ô, H-i) û cos(0,-+-s)
cos'-
GALCOL DBS BiSISTANGBS PA88IVBS BARS LES MAGHIHBSi BTG.
Dans le cas où A-, est infini, on a
et
a = i — lang*-» p = âtang-j
formules qui ont permis de former le tableau suivant (* ] :
Gt
em
Si l'on sait seulement que / est plus grand que .r, on pourra prendre
V/j*-HX' = 0,96/ H- 0,40X,
en commettant une erreur relative au plus égale à ^ ('].
(') Poncelet, qui le premier a traité cette question, est parvenu aux for* moles (7) et (8'), mais non pas aux formules (8), parce qu'il est parti d'autres considérations que les nôtres.
(*) Approximation linéaire de ^x'-t^^'+z' . Proposons-nous de substituer au
radical ^x*-^j*-¥-z* le triaôme a^-f-^x-f-yz dans des conditions telles que, en considérant j:, r, z comme les composantes suivant trois axes rectangulaires Ojt, OXf Ox d'une force F, Terreur commise soit aussi petite que possible lorsque la direction de cette force doit être comprise dans l'angle trièdre formé par trois droites données 0F«, OP., OF,. L'erreur relative
y/' -4- j* -H «* VX* -*- Jf* -*- **
n'eil «itre elios« que la diiSérence entre les rayons tectears de deux sphères,
in. 29
QUàTAIÈKB PIRTIB. — CHAPITRE lY.
ajr-i-px
En continuant à poser - = tangO, on trouve
asinô-h bco86'
l'ane (A.), dont l'équation est
et qui passe par l'origine, et l'autre (a) ayant pour centre cette origine, et dont le rayon est l'unité.
Le moyen qui paraît le plus avantageux, pour atteindre le but proposé, consiste à exprimer que la valeur de e est négative et est la même pour les droites 0F„ 0F|, 0F„ et que, prise positivement, elle est égale au maximum de Terreur relative.
La question ainsi posée, soient C le centre du petit cercle de la sphère (a), déterminé par les droites ci-dessus désignées; 1, /t, y les angles formés par oC avec ojr» ^^* ^'f ^^ ^^' '<">^ ^^* données de la question, de même que l'angle if du cône [s) ayant o pour sommet et le cercle précité pour base.
Il est visible que le centre O de la sphère (A) doit se trouver sur oC, et que la position de la somme géométrique F, au lieu d'être limitée par l'angle trièdre, peut occuper une position quelconque dans l'intérieur de (<).
Soient (/!g. i63)
Fig. i63.
ox' la trace sur xoy du plan mené par os et oC ;
A„ a, les intersections de oG avec (A) et (a);
Aj, A, les points de (A); a,, a^ les points de [a] respectivement «iloéstor les
CàLCOL DBS EÉ818TANCBS PASSITB8 BANS LBS MAGHIMBS, BTG. 330
équation d'une droite qui sera nécessairement parallèle à la coitie ii,<7, qui coupera le rayon Oa, en un certain point I.
Si Ton appelle a la distance 01 et as Tangle 0,-0,, la condition (5) donne
I — fl = 1 , d'où a = I — tang* - >
cosï ° a •
géDéntrices du cdne (i) comprises dans le plan xoG, et qui sont le plus petit et le plus grand angle aTec ox^\ Jl =r aO = OA, le rayon de (A).
On doit d'abord aroir
«, = A,fl.=
= A.fl„
ce qui se traduit
par l'égaUté
i^eosc,
d'où
L'erreur relative
maiimum est
par suite
Kd)
: aJR, — I ss
tong« 5»
et l'on a pour l'équation de (A)
Cr — ^ cosA)»-+- (jr— ^ cos/*)»-+-(z — a cosv)« = ^
(«) X* H- r' -t- «' {y COSA -H * COS/A -t- Z COSy) =s 0.
acos*-
De la comparaison entre les formules (a) et(0) on déduit, pour les valeurs des coeiBcients cherchés,
, .^ COSJI ^ COStt coa^y
cos* - cos* - cos^ -
Supposons, par exemple, que F puisse occuper une position quelconque dans l'angle trièdre formé par les axes coordonnés; les angles ji, /t, y, t sont égaux.
et leur cosinus a pour valeur W ^ ; de sorte que l'on a
Dans le cas de deux variables étudié plus haut, les sphères sont remplacées par deux cercles; mais il se déduit ùu précédent en y supposant v = 90<>.
aa.
34o QUATRIÈME PAETIB. — GHÀPITEB IT.
et ToQ a, d'après la figure,
par suite
8in(ô, -4-f) o cos(6, -ht)
a= LA Ly p=: y J :-
I — tang* - I -h tang' -
quant à Terreur relative max imum
elle a la même valeur que dans la question précédente.
En posant-^ = sinO, on a
asinô-h B
cos9
En exprimant que les valeurs de e pour 0 = d, et 0 = 0, s(mt égales, on trouve
sin?^:^
(a\ «--s (cosO,-co89J a
VïlJ ^ sine, cose,- sine, 008 ô,"" ^ «,-».'
Le maximum ou le minimum de e correspond à
sin -! 2
(lo) 8in93= — ë-ZT'
cos-2 •
et, en exprimant qu'il est égal et de signe contraire à la valeur e^ de t pour 0 = 9„ on trouve
ô — 9 acos-2 J
(II) p =
C08 -^ i H- /oo89^ coe9.
CALCUL BX8 RtSISTAMOSS PA881TBS DAKS tJBê BACBIRBS» BTC. 34'
par smte
(la) a=
-1 i | ^OOSO, C508Ô,
PB +9 0 +0 COS-' ■ %cos-
^■•■" 0 — fl '~ ënfrë " "^^
COS -^ 1 COS -î -h VC08 0, cobO,
/ — ïï ô ®ï ^- ®l
VC089, cosOj — COS - — - ~" "" 0^+^^6 V ~^~*
COS -^ -i -H VCOSÔ, COSO-
Dans le cas de k^ = o^ ^^=i ou 9, = o, 9, = 3o", on trouve
^« = o,oao9, app roximatîon dont on pourra se contenter dans bien des ciroonstanees ( * )
On a, en continuant à poser - = sin9,
~~asin9-f-p
Les formules (9) et (10] s'appliquent encore ici, mais la condition (5) donne pour a et p des valeurs différentes des précédentes, et Ton trouve
lco8"'^°i •coee.coeej *
a COS ^-^ (cm ■' ^ "» ^ V^«>»<'. coBÔ, )
(*) Poncelet a aussi traité cette question; mais il n'est paa parvenu à nos résaltati, parce qu'il a pris un autre point de départ.
34^ QUATEiftJIB PAETIB. — CHAPITKB Y.
