LE
On déduit de là
mais on a
d'oùy au degré d'approximation convenu,
(i) r-t-r'=a(ô — /a) = ar,, ''
r« étant le rayon relatif au contact des roues avec un railway rectiligne. Il suit de là que l'on peut supposer
EE' = a/.
Soient (3 l'angle formé par AA' avec IF» qui est du même ordre de grandeur que a et e/etiQ l'inclinaison IJ^ de AFsor l'horizontale Mx.
On a
JAA^=a^p, tangp=^ OU p=^^!^ = ?::iJ^.
(2) îQ = JAA' -M = a -h p -+- €.
STABILITÉ DIS HACHIIIBS. 34?
Le véhicule, se mouvant de telle manière que l'angle A'AiO reste constant» est animé d'un mouvement de rotation autour
de la verticale 0 avec la vitesse angulaire — (au carré de e près),
V étant la vitesse des points du mobile qui se projettent sur Tare de cercle moyen de la voie.
On reconnaît sans peine que, par suite de la symétrie et du degré d'approximation adopté» les équations d'équilibre qu'il nous reste à établir sont absolument les mêmes que si le vé* hicule se trouvait réduit à sa section déterminée par le plan vertical CiC {Jig. i64), en lui attribuant la masse totale M, et que si les deux systèmes de roues et d'essieux» dont nous
représenterons par — la masse et par - le moment d'inertie,
^ jé
étaient remplacés par un système unique de même forme dont l'axe serait projeté suivant CiC, de masse M' et d'un moment d'inertie égal à V.
Ainsi, dans la^?^. i65, nous supposerons dorénavant que A, A' sont les points dont Ci, C sont les projections horizontales dans \^fign 164.
Soient N' la réaction normale à FF du rail fictif sur lequel A' est censé s'appuyer; H la hauteur du centre de gravité gé* néral G du véhicule au-dessus de IF.
La composante de la force centrifuge suivant IF est, en vertu du degré d'approximation adopté,
et son moment par rapport à A,
en donnant à ce moment le signe —, parce qu'il tend au renversement du véhicule à l'extérieur, et négligeant rt^ — r devant H.
La pesanteur donne la Composante
(a') %8ilii} = M^(a+ p h- «) = M/5:(a-+- « -f- ^— h suivant IF,
348 QOATBIÈIIB PAftTlB. — CHAPITKB ▼•
et le moment par rapport h A
Mg.EL-4-M^(HH-r)(p-+-«)
La réaction N' donne la composante
( a") — aN' ainaoc =: — aNa, suivant IF,
et le moment
(P") -N'.EE'cosa-+.N'(r-r)6ina = — 2N7.
La rotation &> des essieux ou plutôt de Taxe fictif développe des forces centrifuges composées dont il convient de tenir compte. Dans ce calcul, nous supposerons £ = 0, ce qui ne modifiera en rien le degré d'approximation adopté. Nous remarquerons d'abord que deux points d'une même circonférence matérielle du système tournant, situés sur une même verticale, donnent lieu à des forces centrifuges composées égales et contraires formant un couple dont le moment est — mVû)/x aw j, 2j^ étant la corde qui joint les deux points; d'où il suit que le couple résultant a pour moment
Le rapport — aura des valeurs différentes selon que l'une
ou Tautre des roues roulera, ou qu'elles glisseront toutes deux; mais dans tous les cas il différera peu de Tunité, c'est-à-dire de -la valeur correspondant à une voie droite; comme le moment ci-dessus est une petite fraction de celui de la force centrifuge, nous pourrons sans inconvénient le considérer comme égal a
En égalant à zéro les sommes des expressions {a)f{o^ )» (af)
STABILITÉ BBS aACHIlIBS. 34g
cide(P). ((Î'),(P"),(P''). ona
Si, après avoir résolu ces équations par rapport âN' et r, on obtient pour la seconde inconnue une valeur inférieure au rayon n correspondant à la naissance du rebord, la solution sera admissible; mais, s'il n'en est pas ainsi, cela indiquera que le rebord s'appuiera contre le rail qui donnera lieu à une réaction transversale que l'on devrait introduire dans la première des équations (S)» dont on n'aura plus ainsi à s'occuper; on n'aura alors qu'à considérer la seconde de ces équations dans laquelle on fera r = n.
Dans cette dernière hypothèse» qui sera réalisée pour de grandes valeurs de V, la condition de stabilité N'>> o s'exprimera par
Soient ne la largeur de la jante; A la surélévation du rail extérieur; on a
par suite
On satisfera a fortiori à cette condition si l'on satisfait à la suivante :
9g l Mr.(H-+-r,)J H -h r/
Cette formule, transformée en égalité, donnant à la vitesse V une valeur égale ou supérieure, la plus grande valeur qu'elle peut atteindre fera connaître le dévers h.
35o QUATAIÈMB PAftTU. — CHAPITftB ▼•
Revenons maintenant au cas où r<C n, et soit N la réaction normale du rail extérieur. On reconnaîtra facilement que la ;relation qui lie N aux autres éléments de la question s'obtiendra en changeant N' en N et a en — a dans la première des équations (3), ce qui donne
(4) hMg'l — a-t-i — j— ^ 1 -+- aN« = o.
Cette équation fera connaître N après avoir éliminé r au moyen de l'équation (3).
§ III. — De la stabilité des machines locomotives.
131. L'inertie des organes, relativement mobiles» d'une locomotive, produit ou tend à produire sur toute la masse des mouvements secondaires ou nuisibles, mais qui n'affectent que périodiquement le mouvement moyen de translation de cette masse.
Les composantes normales à la voie (censée horizontale pour plus de simplicité), dues a l'inertie de ces organes, ne peuvent donner lieu qu'à des oscillations três-faibles, puisqu'elles n'existeraient pas si la inatière des rails et des roues était absolument dure.
Les composantes horizontales produisent un mouvement oscillatoire auquel on donne, par suite d'une certaine analogie, le nom de tangage; mais ce mouvement a lui-même très-peu d'importance, puisqu'il se communique de la machine au tender et aux véhicules qu'elle remorque.
Le moment, dû à l'inertie, des mêmes organes par rapport à l'horizontale passant par le centre de gravité G de la partie relativement fixe de la locomotive, et perpendiculaire à la direction des rails, tend à produire un mouvement rotatoire périodique sur lequel l'attelage avec le tender, en raison même du système employé pour les attelages, a peu d'influence. Ce mouvement dit de galop n'a pas plus d'importance que le mouvement oscillatoire vertical et pour les mêmes causes.
Le moment par rapporta Thorizontale en G, parallèle à la di*
STÀBIUTÉ DBS MACHINES. 35 1
rection des rails» tend à donner lieu» autour de cette droite» i un mouvement dit de roulis, qui n'est pas plus important que le précédent» et pour les mêmes motifs.
EnOn le moment par rapport à la verticale de G donne lieu, autour de cette droite, à un] mouvement angulaire dit de lacet et qui peut acquérir une certaine valeur» en raison du jeu existant entre les cliamplgnons des rails et les rebords des roues; mais» si son amplitude est limitée en raison même de la disposition adoptée» et accessoirement par le frottement latéral de glissement auquel il donne lieu, comme il tend i produire des déraillements» à imprimer aux véhicules des secousses désagréables aux voyageurs et à détériorer» à la suite de chocs souvent répétés» les rebords des roues et les champignons des rails» on doit chercher à distribuer la masse des pièces mobiles de manière a réduire autant que possible le mouvement de lacet.
D'une manière secondaire» il faut chercher à réduire la tendancé aux quatre autres mouvements nuisibles» qui peuvent dans certaines circonstances produire des effets fâcheux, par exemple» dans le cas où» par suite de défectuosités delà voie, les points d'appui de la machine seraient mal assurés.
Dans ce qui suit» nous ferons abstraction du mouvement relatif des pièces de la distribution» dont la masse totale et l'inertie sont en effet très-petites par rapport à celles des autres pièces mobiles de la locomotive.
Pour si'mpliOer le langage» nous appellerons plan méridien de la locomotive le plan de séparation de deux machines Identiques» qui réunies constituent la locomotive elle-même. Ce l>lan renferme le centre de gravité de la partie flxe, des essieux et des roues de la locomotive.
Le plan moyen d'un organe mobile sera pour nous le plan paisisânt par son centre de gravité et parallèle au plan méridien.
Nous désignerons sous le nom A* attirail du piston^ A' attirail de la bielle d'accouplement de chaque machine partielle» l'assemblage du piston» de la bielle motrice et de sa manivelle d'une part» de la bielle d'accouplement et des manivelles qu'elle commande de l'autre.
352 QOATRlftMB PASTIB* — CBAPITKB T.
Les pièces composant chaque attirail seront supposées airoir le même plan moyen.
Les conditions que doit remplir une locomotive pour supprimer les causes des mouvements nuisibles» si toutefois elles sont compatibles, est que sa partie fixe soit animée d'un mouvement de translation dont la vitesse et raccélération soient les mêmes que celles du mouvement des roues à leur circonférence. Si donc on conçoit que l'on imprime à tout le système une vitesse et une accélération égales et de sens contraire a celles du mouvement précédent| la partie fixe devra se trouver réduite au repos, ce qui exige :
1° Que l'inertie de ces pièces ne donne aucune composante parallèle et perpendiculaire à la voie, ou que le centre de gravité de leur ensemble, par suite celui du système total, reste invariable, quelle que soit la position des manivelles. S'il en est ainsi, il n'y aura aucune tendance au tangage ni au mouvement oscillatoire normal à la voie;
2? Que le moment des forces d'inertie des pièces mobiles pris par rapport à chacun des trois axes rectangulaires, parallèle, transversal et normal à la voie passant par le centre de gravité ci-dessus soit nul, ou encore que le moment semblable relatif aux quantités de mouvement soit constant; on évitera ainsi les mouvements de roulis, de galop et de lacet.
Pour donner autant de généralité que possible au problème que nous nous proposons de résoudre, nous considérerons une machine fictive, telle que sa partie mobile comprenne comme cas particuliers les différentes dispositions usitées. Mais, tout en supposant que la manivelle motrice puisse être distincte de la manivelle d'accouplement de la roue montée sur le même arbre, comme cela a lieu pour les machines coaplées â cylindres intérieurs, nous supposerons que toutes les manivelles d'accouplement lui sont parallèles et ont la même longueur.
Soient (Jlg. i66)
/ = AB la longueur de la bielle motrice; B sa masse ;
6 la disunce A6 de son centre de gravité b au bouton A de la manivelle;
STABILITÉ DBS UAGHINES.
P la masse du piston et de sa tige;
Bp = ph distance de son centre de gravité p à Tarticulation B;
r, fjL le rayon et la masse delà manivelle motrice OA;
a la distance Oa de son centre de gravité à Taxe de rotation 0;
r^^lji' le rayon et la masse des n manivelles d'accouplement supposées identiques CD, CD\. . ., situées d'un même côté du plan méridien, et dont Tune coïncide en projection avec OA;
(f la distance de leurs centres de gravité à leurs axes de rotalion respectifs C, C, ; . . ;
D, D' leurs articulations avec la bielle d'accouplement; il est évident que le centre de gravité.général de ces n manivelles est le même que celui d'une manivelle hypothétique C|D, identique aux précédentes, tournant autour d'un axe Ci dont la position est complètement déterminée, mais dont la masse serait ny/ ; '
(/la distance OCi;
B' la masse de la bielle d'accouplement;
b'z.- AF = OE la distance de son centre de gravité F au bouton de la mmivelle d'accouplement projeté en A.
Ib les moments d'inertie de la masse B par rapport à la perpendiculaire à son plan moyen passant par son centre de gravité;
i = BOC rinclinaison de la direction de la tige du cylindre sur la voie ;
354 QUÀTRlftMB PARTIE. — CHAPITRE Y.
9 = AOB l'angle que forment les manivelles avec la direction ci-dessus;
(3 Tangle aigu formé par la bielle motrice avec la même direction ;
G -i — 9 P' les angles semblables aux deux précédents pour la
position contemporaine de l'autre système mobile; e, ef les distances au plan méridien des attirails d'un piston et d'une bielle d'accouplement.
Nous prendrons pour origine des trois axes rectangulaires Qx, Qy, Qzj respectivement parallèle, perpendiculaire et transversal à la voie, le milieu Q de l'axe projeté en 0; le plan xy définit ainsi le plan méridien.
132. Conditions relatives aux oscillations normales et au tangage. — D'après la figure on a
(a) 8inp=jsinô, OB = rcos0-H /cosp.
Les ordonnées des points p elb parallèles à Taxe des /sont respectivement
— (/> -HOB)sini=— (/?-hrcosO-f-/co8P)sini, — ^sin(i-i-P) — rsin(Ô — /')=— ^fsinicosp-h jsinOcosM — rsin(6-/).
La somme des moments des masses du système par rapport au plan xz est par suite
— B b (shii cosp -h ysinOcosM -Hrsin(ô — «) j — P(/;-hrcosô-+- /cosP)9in/-4-sin(Ô — i)(fta-i- nfi'a'-h BV),
OU, en réduisant,
l --(B^-hP/)cosPsin/4-sinôcosn — Br(i-+-- j -4- fia -h /i [*'«'-+- B> ( — cosOsin/[(B'- B-hP)r-f-/xfl-H7i/iV].
En ajoutant cette expression à elle-même, après y avoirrem-
STABILITÉ DBS UACU1NK9. 355
placé 6 par ô 4- - ei (3 par P', on aura la somme des moments
des pièces mobiles (à part les roues et les essieux dont He centre de gravité est fixe) par rapport au planpr. Or, pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales à la voie, il faut que cette somme soit constante, quel que soit 9, ce qui exige que les
coefficients des termes en sin 0, cos 9, cos (3 = i/ 1 — j^ sin* 9 , cosp' = i/ 1— j^ cos* 9 soient séparément nuls. On a ainsi
— Br f i-f- j\ -+-B'r-+- fia -h n'u.*a'= o, (B'~B-f-P)r-+-|x«-h/2>V= o.
Or, comme en retranchant Tune de l'autre les deux dernières de ces égalités on retombe sur la première, on voit qu'il suffit de satisfaire aux deux conditions
(l) BA-4-P/:=0,
(a) (B'— B-+-P)/--hfAûr-f-/?uV/ = o,
pour qu'il n'y ait pas d'oscillations normales.
Les moments par rapport au plan /z des masses B, P, a s'obtiendront en remplaçant dans les équations que nous avons obtenues ci-dessus relativement au plan xz, i par go®+ i, ceux des masses B',n^' parB'[6'-f-rcos(0 — /)], n'/x'[rf-f-rcos(0 — «)]. Or on peut faire abstraction de la somme Wl' '\' npf d qui est constante, de sorte qu'en définitive les conditions pour qu'il n'y ail pas d'oscillations horizontales s'obtiendront en remplaçant! par 1 + 90° dans celles qui sont relatives aux oscillations normales, ce qui conduit naturellement aux résultats ci-dessus.
Ainsi donc, si les conditions (i) et (2) sont satisfaites, il n'y aura ni oscillations normales, ni oscillations longitudinales; on pourra en général supprimer ces deux mouvements nuisibles en disposant, en conséquence, des contre-poids sur la grandeur et la position desquels nous reviendrons plus loin.
356 QUATIUÈHE PàRTIK. — CHAPITRE V.
Remarque.— Supposons que les conditions (i) et (a) ne soient pas satisfaites. La partie variable de la somme des moments des masses mobiles, par rapport à l'un ou l'autre des plans xy, zy^ sera de la forme
F cosS -H F'cos6'+ G cosO -h G'sinô
= Fi/i- -sin'O -hF'i/i— ^', cos»ô-»-Gcosô-+-G'siii9,
F, F', G, G' étant des constantes.
Soient M la masse de la partie fixe des roues et des essieux de la machine; Ç la distance de son centre de gravité à sa position moyenne estimée perpendiculairement au plan des moments. Si la machine est isolée, nous aurons
M'; = F W »~ p ^»n'0 "*■ ^' v/*"" V' ^^^'^ -^- G cosO -h G'sinô.
Dans le cas d'un mouvement uniforme correspondant à la vitesse angulaire o), on a d = u^ et l'équation précédente, qui donne Ç en fonction de /, déHnit complètement le mouvement oscillatoire dont il s'agit.
133* Conditions relatives aux mouvements de lacet et de roulis» — Les résultantes, estimées suivant Qj, des quantités de mouvement des masses B, P, ]tx, B', n/x' ne seront autre chose que les dérivées par rapport au temps t des termes correspondants de l'expression (fr). Si, pour abréger, nous désignons para)
dQ la vitesse angulaire -j- et si nous remarquons que la première
des formules («), élevée au carré, donne
^/cosS r' si n 9.0
dt '±1^ cos^
la somme des moments des quaniiiés de mouvement des pièces mobiles par rapport à une parallèle quelconque à ûx, comprise dans le plan méridien, sera
[^hr ( r sin/sinaO - .\
— B T ( -, s i-cosôcos« ) / \ 'il cosp y
-^ (B/'H- afl)cO3(0- /) -f- Pr ^smO -H- -^ ^^j SID/J H- «<?'cos(ô— /)(//f*V-4- B'r)
STàOILITÊ DBS UAGUINES. 3^7
OU» en développant,
»ff— 7;(B^ -HP/)sini — ^
a/'^ ' cosp
^ -h wcosOcos/ — Btfr(i4- j) -+- p/i<?-i-(/îfx'a'-h BV)6'' I -h w sin9sini[(Pr -h ua — Br)É?-h (nti'a'-h B'r)c'],
Or, en ajoutant cette expression à celle qui en résulte et y
changeant 9 en 0 -r - et (3 en p', on doit obtenir^ pourquoi n'y
ait pas de roulis, un résultat indépendant de 9, ce qui exige, comme il est facile de le reconnaître»
— B^n i-h - ) 4- ii.ae -h(niL'a'-h B'rjc'— o, (3) (Pr-f-pû- Br)e -h [nii'a-h B'r)e' = o,
conditions dont la première a déjà été obtenue plus haut et sur laquelle on retombe en faisant la différence des deux autres. Nous ne trouvons ainsi qu'une nouvelle condition exprimée par l'équation (3), et qui suffit avec la condition (i) pour qu'il n'y ait pas de roulis, et par suite de lacet, puisque, pour passer des équations relatives au premier de ces mouvements à celles du second, il sufQt d'y changer / en i + 90^
Pour qu'il n'y ail simultanément ni langage,, ni oscillations normales, ni lacet, ni roulis, il faut qu'il y ait compatibilité entre les équations (a) et (3). Or, si l'on retranche de la seconde la première multipliée par e', on trouve
condition qui peut être vérifiée, soit en posant
