MOUVEMENT ONDULATOIRE D^UN TRAIN DE WAGONS, ETC

Posons à cel effet

Zj = X, — .r, — flp

nous aurons

et les équations (i) deviendront

M, -^^ (3, -h 3, -h. . .H- V,-+- Xj = - k^Z^-'k^b,,

fp

Posons, en vue de faire disparaître les X\ ^.,

w/,, Wj,..., /«,,, étant des constantes qui sont délerminées par les équations

366 QOATRlfeHB PARTIB. — CHANTIB T.

Les équations (3) deviennent alors

M, ^, (r, ■+-•.. H- Ti) = ^,ri - ^-jr,.

^i-i :7;5 (/i-t -*- Jl) = ^i-aJi-a — ^i-i Ti^x I

On satisfera à ces équations en posant

y^ = a, Ac0S/i(/-l- «), ^•, = a,Ac0S/i(f-l-«),

r/-, = «i-tAC0S/l(/-4-«), X== AC0S/I(/-H£),

/?,, £fj, . . . , <?.!, A, /i, t étant des constantes, et, en substituant, on trouve

l — M,/f'(a, -h a, -t-. . .H- cr,.., -h i) = — X-,a,),

En éliminant entre ces équations les /— -i coefficients a^,..., a^|, on obtiendra une équation du i^^^ degré en /i', et qui admet nécessairement la racine /z'= o, comme on le reconnaît à Tinspection des équations (7), qui sont vérifiées par w = o, a, = o, . . . , ot^^, = o.

A chaque racine positive de cette équation correspondront un système d^intégrales de la forme (6) et des valeurs déterminées pour «,,..., »..„ et à une racine négative ou imaginaire la somme de deux exponentielles multtpliées respectivement par des constantes.

Comme, dans tous les cas, Téquation finale en n^ est du degré < — i, nous n'obtiendrons que i — i intégrales particulières renfermant chacune deux arbitraires, soit en tout 2(2 — i) arbitraires, de sorte qu*en faisant leurs sommes pour ^1 , jr, , . • • , J^o nous n'obtiendrons pas les intégrales générales des équations (5).

Mais, si Ton observe que ces équations sont vérifiées par r, =0,

HODTBHBMT ONDULATOIRE d'uN TRAIN DB WAGONS, ETC. 867

j^, = o, . . . , jTi», = 0, ^. = B -t- B'/, B et B' étant deux nouvelles aititraires, les intégrales cherchées seront

J, = 2 a, A COSn (t-\-€)j J'i= 2a,Ac08/i(f H-s),

^V. = 2a,.,Acos/i(r"+-«), Xi= 2Acos/i(^-hi) -4-B = B'/, d*où

-i-2A{a -*- a, -+-... -^a^., -h i) cos/i{f -i-e) -4-B-hB'/,

X, = ffj H- Ûj-H ....

On peut supposer B = o en choisissant en conséquence Torigine des x, qui est restée indéterminée jusqu'ici ; on peut faire aussi abstraction du terme B7, qui correspond à un mouvement de translation de tout le système; de sorte que Ton a, en définitive,

X, = ^, -+-...-+- e7^, -h /Wj -t- ... -+- m. [—' t*

-4- 2 A(a, -i- . . . -h a., -H 1) COS/i(/ -f- 1),

Dorénavant nous ferons abstraction des résistances, et nous poserons en conséquence

d'où

X, =tf, H-. ..-+-^., 4-2 A(a, -»-.. .-H a,., H-l) C0S/l(/-Hê),

i. = — 2 A/i(a, -h a, -h . . . -h a,, H- 1) sinn{i -h «),

-^ = — 2 A/?(aj-ha3-t-. . .-f-a^, -h i)sin/i(r-4-8),

Les constantes A , i se détermineront par les conditions que i — i dos coordonnées x,, x„. . . et leurs dérivées par rapport au temps aient des valeurs données à une époque déterminée.

Considérons en particulier une des oscillations ; nous pourrons supposer

que nt est un multiple impair de -y en choisissant eQ conséquence

368 QUATRltlHÈ PARTIE. •— GUAPITRE V. — tfOUTEHENT, ETC.

l'origine du temps, et nous aurons, en appelant U^ la vitesse initiale da

,u"'# véhicule,

-j-l = U,(aj -^- . . . -+- a,, -+- I ) COS/7/,

, -7- = U, cos/i/.

Admctlons que le mouvement ondulatoire soit produit par un choc sur le 1'*'"'* véhicule; les / — 1''"'% 1 -- 2'^"", . . . véhicules posséderont la vitesse U, au bout des temps donnés respectivement par

COS/î/, , = »

COS/î/^, =

«,3H-«i-,-^-ai.,-^ i

et qui sont ceux au bout desquels le mouvement aura été communiqué à ces véhicules.

MESURE DU TRAVAIL DfiVELOPPfi PAR LBS MOTEURS, ETC. 36g