AL "" HL - O'L

Ainsi le point J reste à une distance constante du centre 0% et, pour l'obtenir, il sufût de projeter sur 00' le point d'intersection de la circonférence (S') avec une demi-circonférence décrite sur O'L comme diamètre.

Soient S le sommet de l'arceau considéré ; M, N les points de rencontre des circonférences de centre 0' et de rayons 0' J, O'Â avec la droite O'S. Décrivons sur ÂJ comme diamètre une circonférence qui évidemment passera par le point C ; on a

nti Af <7> ^^^' (^ AO/w\ R' „.

arcC'J = AJ X C'AJ = -^ — ^l ) = —5 — ^ arcNA,

arcMJ =0'Jx1ï3^ = ^ = ^CT^NA,

d'où

arcG'J = arcMJ.

Il suit de là que le lieu des points C ou la développée de l'épicycloTde est elle-même une épicycloTde résultant du roulement de la circonférence AJ sur la circonférence O'J, et dont les sommets et les points de rebroussement correspondent respectivement aux points de rebroussement et aux sommets de l'épicycloîde proposée.

Lorsque la circonférence mobile est intérieure à la circonférence Qxe, l'enveloppe est une épicycloTde intérieure ou hypocycloîde qui jouit des mêmes propriétés que la courbe que nous venons d'étudier.

L'enveloppe devient une cycloïde si R' est inQni, c'est-à-dire si la circonférence (S') est remplacée par une ligne droite.

(6). Enveloppe d'une épicyclotâe. — Soient (Jig, 29)

P le centre d'une circonférence tangente en  extérieurement à (S') et intérieurement à (S);

• tràhsforhation du houyzmsnt girgclairb continu, btg. 27

m Al» ''^A', rbypocyc)oïde et Tépicycloîde décrites par un point m de cette circonférence roulant respectivement

sur (S) et (S');

Fig. ag.

Al, A', les positions correspondantes du point décrivant sur les deux circonférences.

II est clair que

arcAA| = arcA/n = arcAA'i,

et, comme la normale en m passe par le point A, on a ce théorème:

V enveloppe d'une épicjrclotde est l'hypocyclolde décrite par un point du même cercle générateur roulant dans l'intérieur de la circonférence mobile, et inversement.

(c). Enveloppe d'un rayon. — Soient {Jig. 3o)

OAi, dans une position quelconque, le rayon dont on veut

terminer l'enveloppe; A', le point de la circonférence (S') correspondant au point Ai

de S; A le point de contact actuel des deux circonférences; m le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur OAi, et qui

est le point de Tenveloppe correspondant & la disposition

de la figure.

Le point m se trouve sur la circonférence décrite sur OA

a8 QDATIlltalB PARTIB. — CHAPITftB III.

comme diamètre ayant son centre en P ; mais on a

AP/w = 2A0/7t, d'où AP/w.P/w = AO/w.aP/w = AOm.OA.

Il suit de là que l'arc A m est égal à l'arc A Ai et, par suite, à

Fig. 3o.

Tare AA'( : donc le lieu cherché est lépicjrclolde engendrée par un point d'une circonférence décrite sur un rayon de la circonférence mobile.

On déduit de là et du théorème énoncé à l'article précédent que V hjrpocjrclotde décrite par un point de la circonférence d'un diamètre moitié de celui de la circonférence mobile est un rayon de cette dernière; car le rayon OAt, enveloppe des positions de l'épicycloTdeA'i m, n'est autre chose que l'hypocyclolde engendrée par le point m de la circonférence P roulant dans l'intérieur de (S). Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette propriété ( ' ).

Si le rayon OA est inflni ou si la circonférence 0 devient une droite, la normale A m est tangente en A à ( S' ), et, commet

(*) C'est sur cette même propriété qu'est basé le mécanisme connu sous le nom d*engrenage de Delahire, qui a pour objet de transformer un mouTement de rotation continu en mouvement rectiligne alternatif. Les deux circonférences correspondant k deux roues dentées engrènent Tune dans l'autre, dont l'une est fixe et l'autre mobile. L'axe de cette dernière est maintenue dans un coussinet engagé dans une maniTelle tournant autour de l'axe de figure de la roue

TftAKSFORMATlON DU MOUTBHBIIT CIRGULAIEB COlITlNUy ETC. 29

elle est égale à kk\, l'enveloppe est la développante de la circonférence 0'.

(rf). Enveloppe d'une circonférence. — Proposons-nous de déterminer l'enveloppe d'une circonférence ayant son centre Ai CAg'.3i) sur le périmètre de (S), que nous suppose-

Fig. 3i.

rons extérieur à (S'), comme l'indique la Ogure; on verra sans peine que les raisonnements qui suivent ei les conséquences qu'on en déduit s'appliquent sans aucune restriction au cas où l'inverse aurait lieu. On obtiendra deux points m de l'enveloppe par rintersection de la droite AÂi avec la circonférence enveloppe, et, par suite, on construira cette enveloppe, en augmentant ou diminuant du rayon de la circonférence génératrice la normale de l'épicycloïde décrite par son centre, et dont A\ est un point de rebroussement.

L'enveloppe se composera ainsi dé deux courbes, l'une intérieure, qui seule nous servira plus loin, et l'autre extérieure. Ces courbes, étant toutes deux parallèles à l'épicycloïde Ai À', , auront la même développée que cette dernière.

fixe, et au moyen de laquelle on produit le mouvement. Si une tige verticale est articulée en un point de la circonférence de la roue mobile, elle obéira à un monrement oscillatoire dont l'amplitude sera le diamètre de la circonférence fixe, et pourra être utilisée par exemple pour faire fonctionner des pompes.

3o QnATaiftn part». — ghapitiib m.

Ces deux courbes auront chacune un point de rebroussement K situé sur la circonférence (S'), et qui sera déterminé par la condition que la normale Kn, abaissée de ce point sur l'épicycloTde, soit égale à A, m. En supposant que la circonférence mobile 0 se trouve en contact avec l'un des points K de la circonférence flxe 0\ on voit que la corde de l'arc Kn de la première circonférence est égale à Âi/n, et que par suite l'arc KÂ', est égal à l'arc A. I de 0, dont la corde est égale au rayon Ai m; de sorte que les deux points de rebroussement s'obtiendront en portant de part et d'autre de A'^, sur la circonférence 0% des arcs égaux à l'arc Ad.

{e). Enveloppe d'une développante de cercle. — Soit mK {Jig, 32) la développante d'un cercle OIK concentrique

Fig. 3a.

avec (S), et dont on se propose de trouver l'enveloppe. Le point de cette enveloppe est l'intersection m de la développée avec la tangente AI menée du point A à sa circonférence génératrice; mais cette droite est aussi tangente à une circonférence de centre 0^ et dont le rayon a pour valeur

OA

transforhàtior du moutshbkt girgulairb continu, etc. 3i

pv suite, l'enveloppe cherchée n'est autre chose que la développée de cette marne circonférence.

II est facile de voir que Ton arriverait à un pareil résultat si, au lieu de se placer dans le cas de la figure, on supposait que les circonférences (S) et (S') fussent intérieures l'une à l'autre.

On sait d'ailleurs que, pour construire une développante de cercle, il suffit de tracer sur la circonférence des points équidistants o, i, 2, 3,. . . , assez rapprochés pour que l'on puisse considérer les arcs interceptés comme rectîlignes, puis des points I, a, 3»... avec des rayons égaux à une fois, deux fois, trois fois,... l'équidistance, de décrire des arcs de cercle tangentiellement auxquels on tracera une courbe continue passant par le point o, et qui sera la courbe cherchée.

13. Généralités sur les engrenages. — Pour transformer un mouvement de rotation qui a lieu autour d'un axe en un autre autour d'un autre axe parallèle au premier, on s'arrange de manière que les deux corps (S) et (S'), qui tournent respectivement autour de ces axes, soient munis de saillies ou dents agissant de l'un de ces corps sur l'autre. Pour obtenir une stabilité convenable dans le mode d'action de (S) sur (S'), on donne à ces saillies une forme cylindrique dont les génératrices sont parallèles à la direction des axes, et l'on réalise ainsi ce qu'on appelle un engrenage cylindrique^ qui n'est autre chose qu'un couple de roues dentées.

Nous pourrons substituer, *dans le raisonnement, aux corps (S) et (S' ) leurs sections faites par le plan de la figure, censé perpendiculaire aux axes, et considérées comme tournant autour des traces 0, 0' de ces axes.

On exige qu'un engrenage soit construit de telle manière que le rapport des vitesses angulaires ût>, (a' autour des points 0, O' reste constant, et, pour qu'il en soit ainsi, il est évident qu'il doit exister entre les profils de deux dents correspondantes une relation que nous déterminerons un peu plus loin.

La roue menante est celle qui reçoit directement ou indirectement l'action de la force motrice, et qui engendre le mouve-

32 QUATRifcHB PART». -- CHAPITRE III.

ment de la roue menée, laquelle correspond à la résistance uUle à vaincre.

Du profil des dents. — Les Jig. 33 et 34 sont respectivement relatives aux cas ou les vitesses angulaires &>, ^' sont de sens

contraire ou de même sens, en supposant, par exemple» que (ù ait lieu de la droite vers la gauche.

Le raisonnement suivant s'appliquera simultanément aux deux Ûgures, dont les points correspondants sont représentés par les mêmes lettres.

Soient, à un instant quelconque, ma, ma' les profils des dents de (S), (S') en contact au point m; concevons que l'on imprime à ces deux figures invariables et autour de 0' une rotation égale et contraire à &)', de manière à ramener (S') au repos; le centre instantané de (S) dans le mouvement résultant se trouvera en un point  de la direction de la ligne des centres déterminée par la relation

^ = -1 d'où OA.w=0'A.w', U A w

et comme — est constant par hypothèse, il en est de même

Gi>

de OA et O'A; d'où il suit que le lieu géométrique du centre instantané de (S) sera la circonférence de centre 0 et de rayon OA = R sur le plan mobile de cette figure, et la circonférence de centre 0' et de rayon 0' A = R' sur le plan fixe de

TAÀlfSFORlIATIOll DU HOUTBIUlfT CIRGULAIEB CONTINU, BTC. 33

(S')t et le mouvement relatif de (S) par rapport à (S') sera défini par le roulement de la circonférence OA sur la circonférence (y A.

Ces deux circonférences, appelées circonférences primitives de l'engrenage, sont extérieures ou intérieures l'une à l'autre selon que a>, («>' sont de sens contraire ou de même sens, d'où le nom d'engrenage extérieur dans le premier cas et d'engrenage intérieur dans le second,

Comme, dans le mouvement relatif ci-dessus de (S), la courbe mobile am ne cesse pas d'être tangente à la courbe fixe a' m, on a ce théorème : Dans un engrenage cylindrique, le profil des d^nts de l'une des roues est l'enveloppe des positions que prend le profil des dents de l'autre roue lorsque sa circonférence primitive roule sur celle de la première.

Si donc on se donne le profil de l'une des roues, on en déduira le tracé de l'autre profil par les méthodes indiquées au numéro précédent, et l'on voit que, dans le mouvement réel de l'engrenage, la normale au point de contact des deux dents en prise passe par le point de contact des circonférences primitives.

La portion du profil des dents extérieure à la circonférence primitive s'appelle la tête de la dent, pour la distinguer de l'autre qui en est \e flanc, et, d'après une remarque faite plus haut, le contact ne peut avoir lieu qu'entre un flanc et une tête.

Des pleins et des creux. — Pour maintenir constant, autant que possible dans la pratique, le rapport des vitesses angulaires, on s'arrange de manièr^que les dents de chacune des roues soient toutes identiques et également espacées. Les portions de la circonférence primitive déterminées par^une dent et un vide portent respectivement les noms de base des dents et d'intervalle; l'arc de cette circonférence compris entre les milieux de deux bases ou de deux intervalles consécutifs, que l'on appelle le pas^ doit être une partie aliquote de la circonférence entière.

Le pas doit nécessairement être de même pour les deux roues, et par suite une commune mesure entre les deux circonférences primitives; car, pour que le contact d'un couple