COS/77G

gin mO = : :

par suite.

(acos0-T- psinO)"*

f 2"' JÊd i.a.3.../> ^ r / \ r /^

Dans cette formule il conviendra de grouper les termes également distants des extrêmes avant de remplacer les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sinus et cosinus, etdistinguer, par conséquent, chacun des cas où m est pair ou impair; les Ar, B» se déduiront ensuite d'un calcul plus ou moins laborieux; mais, comme il nous suffit d'avoir le moment moteur, nous laisserons de côté la recherche précédente considérée dans toute sa généralité.

Admettons donc maintenant que le point H correspond à un encastrement perpendiculaire au rayon OM, que l'on peut faire tourner à volonté autour du point 0; soient / la longueur de la lame et R le rayon OH, qui sont des données de la question; f la valeur de 6 correspondant au point H; nous aurons pour ce point

/= Rsinf ;

4o4 QUATRiftHI PABTIB. — CHAPITRI II.

par suite,

(i3)( -^[A,co9(/î-M)f-hB.sin(/?H-i)t— AjJ

D«:« ' ^4 • A,/ sinaç»\ B, . ,

"^^2, |;,-i7[A,sin{/i-i)ç-+-B.C08(/?-i)?-BJ

\ -+- ;j-^ [A.sin ( /? + i) ? - B, C08(/i -^ i)? -+- B.]'J

concluions auxquelles correspondent, en fonction de 9, des valeurs de a, p, c qu'il s'agirait maintenant de trouver; mais, considéré à ce point de vue général, le problème paraît présenter des difflcultés insurmontables : c'est pourquoi nous nous bornerons à calculer ces quantités dans te cas où 9 est un multiple de 27r, ce qui nous suffira pour nous rendre compte de la manière dont varie le moment moteur avec le nombre de tours du barillet.

Dans cette hypothèse, les formules (i 3) se réduisent aux suivantes :

La formule (la) ne donne un terme indépendant des imaginaires ou de sin et cosd que si m est pair; et, en posant m = a 9, ce terme est

d'où

(•" »— 2:(;)"TSrar"-f'--

DU MOTBUR. 4<)5

Le développement (la) ne renfermera des termes en e*^ et er^^ qu'autant que m sera impair, et ces deux termes seront ceux du milieu. Supposons donc

et successivement p = q* Z' = 9 + i; nous obtiendrons, pour l'ensemble des deux termes ci-dessus,

ou 9 en faisant disparaître les exponentielles au moyen des valeurs de sind et cosd.

d'où l'on déduit, en se reportant au développement (10) et effectuant les réductions,

JA| = -^}i+2. \l) (i.-i.3..V/)'ÎI.2lt(r/^i)]^*'^^'^'i'

/r - fi)' . V' /^'A^'"' 3.5...(47-n) f , , e^wt

C^.-- Pli*^^, \^i; (i.a,3...r/)[i,2.3...li7-f.i)]^*"^P M'

Comme Ai est le produit de — a par une somme de termes positifs, on ne peut satisfaire à la troisième des conditions (i4) qu'en supposant a = o ou Y = o. Les deux premières des mêmes conditions donnent

comme on a ordinairement

on voit que ce rapport est très-petit. Nous pouvons conclure de là que p est une petite fraction.

En négligeant d'abord la seconde puissance de p, on a

. ^, ô- ^B 4(R-R,) i,= i, p=— aBj = -^ •

4o6 QUATRlftMB PARTIE. — CHAPITRI 11.

En portant cette valeur de ^ dans les termes du second ordre, on trouve

et enfin

'^=?hK"-^"')']-

L'équation (6) donne maintenant et enfin Téquatlon (3' )

<■•) --i-ihic^-yi-si-

Soit 9» la valeur de f lorsque le ressort est complètement désarmé. Posons

le moment OÏL pourra se mettre sous la forme

(19) aTL = R(A>!;-^B);

A et B étant des quantités censées connues.

On voit que le moment moteur croit à peu près proportionnellement au nombre de tours du barillet, ce qui est conforme aux résultats de l'observation avec lesquels la formule précédente cadre on ne peut mieux.

La pression sur l'axe du barillet, qui se réduit à Y, étant de l'ordre |3, ne peut donner lieu qu'à un frottement insignifiant.

IM. Du profil de la fusée, — Dans ce qui suit, nous conserverons les notations du numéro précédent.

Soient en projection sur le plan de la grande base de la fusée

0 l'axe de la fusée;

Ox une droite fixe tracée dans le plan ci-dessus;

DO MOTEUH. 4<^7

0/ sa perpendiculaire dans le même plan; r le rayon vecteur de la courbe formée par la retraite hélicoïdale de la fusée ; fà l'angle qu'il forme avec la droite fixe Ox. *

Nous supposerons que la position de Taxe Ox correspond h (ù = o pour 4^=0.

La condition qui doit être remplie est la suivante :

(A^^B)r=BR,

en admettant que le rayon de la grande base de la fusée soit égal au rayon du barillet; mais on a aussi la relation

et» en éliminant ^ entre cette équation et la précédente, intégrant ensuite et posant Ar= ^— i on trouve

l'Ci>

ce qui est l'équation d'une spirale dont le rayon vecteur va en décroissant indéfiniment jusqu'à zéro lorsque &> croît de zéro jusqu'à l'infini.

Pour déterminer la forme de la méridienne de la surface de révolution qui doit limiter la fusée avant qu'elle ne soit entaillée, nous nous placerons dans les conditions les plus simples qui sont celles qui se prêtent le mieux au tracé pratique de la retraite, et nous poserons, comme pour Thélice,

en désignant par e une constante, et prenant l'axe de la fusée pour axe des z.

La constante e se déterminera par l'épaisseur de la chaîne ou par la hauteur supposée donnée de la fusée.

En éliminant &> entre les équations (i) et (2) et remarquant

que r = ^x^-hy^t on trouve, pour l'équation de la surface,

4o8 QUATRIÈIIB PARTIE. — CHAPITIB II. — DU MOTBUR,

et, pour celle de la méridienne^

qui représente une courbe convexe vers Taxe des z» qu'elle a pour asymptote.

Si Ton se donne la hauteur d de la chaîne. Il suffira de

prendre e un peu supérieur à — 9 et Ton devra pouvoir en dé-

duire la hauteur m de la fusée et inversement. A cet effet, appelons X la longueur utilisée de la chaîne, qui se déduit du diamètre extérieur du barillet et du nombre n de tours qu'il doit faire entre les deux arrêts. On a, en remarquant que» en vertu

de réquation ('2), - est l'angle total que décrit la fusée.

mais ^ est une petite fraction qui est négligeable; de plus, g

est généralement inférieur à |; par suite, -j- n'atteint pas ^;

de sorte que Ton peut négliger la seconde puissance du second terme sous le radical, ce qui donne

Telle est la relation qu'il fallait établir.

DD «tCANHHR DB TKANBIISSIOII.