DU MÉCA1IIS31E D£ TRANSMISSION
sera une conslante pendant toute la durée du choc. Si donc
on désigne par ousy o)^ les vitesses angulaires -^9 avant et
après le choc, l'équation (7) donne, en intégrant pour toute la durée de la percussion,
X (i -4- a\ cotô, 4- .... -t- <.,cote,., -H ?'„COl0„H- ... -h p,, cotO,.,) /Q; R,r//.
On voit ainsi que l'effet du choc sur l'équipage est le même que si le 5'*"' engrenage, étant supposé complètement libre, avait pour moment d'inertie
2^(f*«- • • 1^.-. )'A„(f -4- a', cote, -4.. . .-»■ fj;,cotô„. . .)
[io]
X (i -h ol\ cotG, ■+- . . .-»-a^„,cot9„, -t- p'„cot0„-h ... -4- Pi,cot9,,)
eiipression que l'on pourra simplifier dans un grand nombre de cas, lorsque les pivots auront un diamètre assez petit pour
que Ton puisse négliger les rapports ^•
155. application aux engrenages à flancs. — Soient t]^., Xm les angles respectiTs que forme le flanc d'un pignon avec la ligne qui joint son centre à celui de la u*''^ roue, selon que le contact se trouve au delà ou en deçà de cette ligne; i]/'^,, x'„ les limites maximum de ces angles qui correspondent aussi aux arcs de retraite et d'approche. Le dernier de ces angles sera seul supposé suffisamment petit pour qu'on puisse, sans erreur sensible, le considérer comme égal à son sinus ou à sa tangente.
On a, selon l'un ou l'autre cas.
On reconnaît facilement que, au delà de la ligne des centres, on a
et que^ en deçà de la même ligne,
On peui donc écrire
accote, = (i-+-pJtang->„,
et l'équation (8) devient par suite
X [!-»-/( I -+- fA, ) Ung>!/, -^ ... -^/( I -+- p.^, ) tang^., (,,) I -/(!■+- f*a)tangx,-...-/(i-+-f*,.,)tangx,,J
X [i-+-/(i-+-f*,) lang^, -4-...-+-/(i-hf*„..) tang^J/.., -/(«-^-PJ tangx«-...-/(i-+- /*,.,) tangx,^,].
Nous supposerons dorénavant que q^ a été calculé comme on Ta indiqué plus haut, mais en négligeant le frottement/ et en supposant que le contact a constamment lieu sur la ligne des centres, hypothèse plausible, en raison de la petitesse de f . que Ton rend ainsi indépendant des arcs d'approche et de retraite.
Si Ton remarque que ij/',, ne dépasse généralement pas 4? ou
48 degrés, on peut sans grande erreur remplacer tang 4^. par
langtj.;,
(j^u; en posant
. I tangV„
et remarquant que, par hypothèse, on peut écrire x«= isingx«> il vient
X [i 4-/(i -t- w.) lang>^,-h. . .-4-/(i -4- f*..,) tang^^^, (^^) i -/(i + f*«)tangx,-...-/(i-^f*,.i)x^.]
DU MfiCANISUB DE TRANSMISSION. ^iS
Si l'on remplace y. par sa valeur calculée ainsi qu'on l'a dit plus haut, que l'on continue à négliger le carré du frottement, cette équation se met sous la forme
(«3) "^^^i^u^u-^KXuh
Ha, Ktt étant des fonctions des forces extérieures.
156. Discontinuité dans la loi du mouvement, — Supposons que l'angle 9» soit mesuré à partir de l'instant où la prise a lieu sur la ligne des centres entre le m'*"* pignon et la u'^'"' roue, et soit m. le nombre de dents qui se sont succédé^ depuis cet instant sur la ligne des centres jusqu'au contact que nous considérons actuellement. On a
pour
?«+.— 'W»(^M -+-/«) =fl*»
OU
Au delà de cette limite, ^{'u s'annule et x»» qui était nul, prend brusquement la valeur x„ et suit la loi exprimée par
cet angle devient nul pour
et alors on a pour
et ainsi de suite.
Le second membre de l'équation (8) est donc essentiellement discontinu, et si les forces Q'„ sont continues, les accé-
d^ o d^ Q„ lérations angulaires --— et --7— passeront brusquement d'une
valeur à une autre lorsque le contact cessera entre un couple
de dents pour être remplacé par la prise entre les dents du couple suivant.
La différence entre ces deux valeurs successives d'une même accélération angulaire pourra, dans certains moments, devenir comparable à chacune d'elles, dans un train composé d'uo nombre suffisant de rouages, lorsque les ares de retraite et d'approche auront des valeurs notables. On conçoit, en effet, qu'il puisse arriver que, à des époques périodiques, les arcs de retraite atteignent simultanément leur maximum; les termes en a„, qui seuls existaient, s'annulent subitement et sont remplacés par des termes en P'„, de signes contraires aux précédents, dont la valeur absolue atteint son maximum lorsque l'approche commence. On atténuera cette discontinuité en réduisant les arcs de retraite et d'approche, et même en supprimant ces derniers lorsque l'on pourra se contenter de faire commencer la prise à partir de la ligne des centres.
La vitesse angulaire -— t par suite --1-9 restera continue,
mais suivra une loi différente, lorsqu'un couple de dents passera de la retraite à rapproche et inversement.
Si les On sont constants en grandeur et en direction, les coefficients Htt et K« seront constants, et l'on pourra, après avoir remplacé vp« et x» par leurs valeurs (a) et (ft), intégrer l'équation (8) en la multipliant par c/^i, ce qui donnera la vitesse angulaire --Tj-i et l'on en déduira la valeur du temps par une quadrature. Mais il ne faudra appliquer la valeur finale ainsi obtenue qu'à des déplacements angulaires suffisamment petits pour que, dans leur intervalle, le contact d'un couple de dents, à l'approche ou à la retraite, ne vienne pas à cesser. On pourra ainsi obtenir les valeurs successives de / de proche en proche, et par suite celles de <p. en fonction de t au moyen d'une Table résultant du calcul précédent.
157. De Vinjluence du frottement sur le mécanisme d'une montre. — Proposons-nous de déterminer l'accélération que prend la roue d'échappement, par suite de la détente du ressort moteur, lorsque, après être partie du repos ou du léger recul qu'on lui fait subir , elle vient rencontrer l'échappe-
DU mécâkismb de tmansmission. 4^7
ment. Nous nous reporterons pour cet objet au n® 146, dont nous conserverons les notations en y supposant s =5.
Les engrenages n'étant jamais lubrifiés, nous pourrons prendre /= G, 20 pour les coefficients du frottement qu'ils développent entre eux.
Le coefficient de frottement /i des pivots en acier sur des trous en rubis n'ayant pas été déterminé, nous le prendrons égala o,i6, chiffre un peu supérieur à celui qui s'applique au cas d'un graissage peu entretenu, afin de tenir approximativement compte de la résistance due à la viscosité des huiles, et qui augmente à mesure qu'elles vieillissent, résistance sur laquelle on n'a aucune donnée expérimentale.
Pour ne pas compliquer inutilement nos calculs : i"* nous ferons abstraction de l'inertie, du barillet et du ressort moteur, en raison de leur très-faible vitesse par rapport à celle de la roue d'échappement; 2<» nous négligerons de la même manière l'Inertie du système des minutes et des heures; 3** nous devrons tenir compte de l'inertie de la première et de la seconde moyenne, qui, malgré une vitesse de rotation bien moins rapide, donne des termes du même ordre de grandeur que l'Inertie de la roue d'échappement, dont la masse cepen* dant est très-faible; 4"* nous considérerons comme négligeable le frottement du canon de l'aiguille des heures, attendu qu'il est réduit à peu près à son minimum, et, comme nous avons fait la même hypothèse relativement à l'inertie du système des aiguilles, il s'ensuit que la quote-part de la force motrice qui met en mouvement leur système peut sans inconvénient être supposée nulle ; 5" pour nous affranchir des irrégularités brusques signalées au n"* 147, et qui sont d'ailleurs atténuées notablement, relativement à l'unité, par le facteur/ dont elles sont affectées, nous remplacerons chaque groupe de termes, fonctions des arcs d'approche et de retraite, par la demisomme des valeurs extrêmes. Nous supposerons de plus, dans les mêmes termes, les coefficients (i + /x») égaux à -^^ ce qui revient à faire abstraction de chacun de ces coefficients en augmentant de j la valeur de / qui sera ainsi portée à 0,2:^. En opérant ainsi, on n'altérera pas d'une manière appréciable le résultat final.
428 QUATBIÈME PARTIE. — CBÀPITEB III.
Cela posé, la formule (12) du n° 155 donne
il) ^
En posant
X-, = o, 1 1 ( langf , -+- tangf, -+- tang^; n- Ung-yj, Â^= o, 1 1 ( tang y, -h tang.}/; -+- tang^l/'a - tangx'i ), /;, =: o , 1 1 { tang^y, -h lang-fj - tang x'3 - tang x', ), /•, = 0,11 (tangr)/', - tangx; - tangx'^ ~ tangx'*), X-, =- o, 1 1 (tangx', •+■ ^ngXï -^ tangXa -^ tangx'*).
La valeur de chacun de ces coefncients sera comprise entre celles qui correspondent aux cas extrêmes dans lesquels les pignons ont six et douze ailes, ce qui suppose d'une part v|;'=::45*, x'= i5<*, el de l'autre ij;'=3o% x'^^- On trouve ainsi que
Xj est compris
entre
0,484 et 0,254
moyenne
o,3oo et 0, 190
0,161 el 0,128
0,022 et 0,064
—0,088 et 0,000
On voit que, si l'on substitue aux valeurs exactes de ces coefficients leurs valeurs moyennes, on ne commettra que des erreurs dans les centièmes, et nous ne nous proposons pas d'obtenir une plus grande approximation.
La formule (i) devient par suite, en supprimant dorénavant l'accent de la lettre q pour plus de simplicité,
7/7^' (>»4A5-hi,2pîA,-+-i,i/*;fxJA3)
Pour calculer les 9tt> qui sont de très-petites quantités, nous négligerons, dans l'évaluation des pressions sur les axes, les frottements, nous supposerons que le contact des dents a lieu
