t- i*-^/ d'où

(b) e'- < = aR>^(7'H- pyv) = a/ï(7'4- fiî>7),

ou, en supposant cp = y = — i

(a) e'=<= — ,- (i-f-fx).

On trouverait de même

Si maintenant, en négligeant le jeu latéral, oiï suppose a = 2e = 2e^f et que l'on admette pour les creux un jeu

TRÂNSFOailATIOll BU MOUTEMINT GIIGULAIRB GONTUfUi ETC. S']

de —9 soil à peu près ^-j on a 10 '^ *^ 3o

lao)'

17. Engrenage à lanterne. — Dans cet engrenage, le pignon qui porte le nom de lanterne est formé de deux plateaux circulaires ou tourteaux réunis près de leurs circonférences par une série de cylindres circulaires {fuseaux) équidistants, parallèles à Taxe de rotation, et dont les axes sont à une distance constante de ce dernier. Les dents de la roue [rouet), qui portent le nom d'alluchon, sont implantées dans la roue et sont ordinairement en bois, tandis que les fuseaux, qui s'usent plus facilement, sont en fonte ou en fer et rarement en bois.

Considérons d'abord l'engrenage extérieur : l'enveloppée étant une circonférence, on exécutera le tracé du profil des alluchons, d'après la méthode indiquée au n* 12, en remarquant que l'on ne devra prendre que la portion de l'enveloppe extérieure à la circonférence 0 pour éviter une forme concave pour les dents. On s'assurera facilement que le contact a lieu exclusivement après ou avant la ligne des centres, selon que ie rouet conduira ou sera conduit; mais, dans les deux cas, les rotations seront nécessairement de sens contraire.

Cet engrenage n'étant pas réciproque et nécessitant pour les fuseaux des diamètres relativement grands, ce qui donne lieu, par suite, à des frottements considérables, est peu employé.

58 QUATIIÈMB PARTIB. — GBAPITRB III.

Dans l'engrenage intérieur, on tracera Tépicycloïde engen drée par un point de la circonférence primitive du pignon dans celle de la roue, puis la courbe obtenue eif diminuant ses normales d'une longueur égale au rayon du fuseau. Les dents du rouet ainsi déterminées seront concaves, inconvénient 2 ajoutera ceuxqu'on a signalés plus haut. On remarquera que, s le rayon de la grande circonférence est double de celui de h petite, l'enveloppe des fuseaux se réduit à une droite, ce qui permet d'établir le rapport ~ entre les vitesses angulaires ai moyen de la disposition suivante, qui est assez curieuse La roue porte six flancs en ligne droite formant rainures dans autant de bras de la roue; le pignon est muni du trois galeu représentant les fuseaux glissant dans les rainures, et doni deux sont toujours en prise.

Une semblable disposition est également applicable à un nombre de galets supérieur à trois, mais la solution pratique devient moins simple.

(a). Minimum du nombre des fuseaux. —Supposons, comme cela a lieu habituellement, que la lanterne soit le pignon, ei proposons-nous de déterminer le minimum du nombre des fu seaux qu'elle peut porter pour que l'engrenage soit possible.

Conservons les notations des n°* 15 et 16, 9= — étan'

l'angle au centre de la lanterne correspondant au pas a, ia, i'c

Fig. 43.

les vides respectifs de la lanterne et du rouet. Soient [fig. 42 C, C les centres d'un fuseau dans les positions respective

TRÀMSFOBHATION DU MOUTBMBNT GIRCULAIIB GOMTIIIU, BTG. 5q

OÙ la menée a lieu à la ligne des centres, et où elle finit au point m.

La condition de continuité du mouvement exige que l'angle C'OC soit au plus égal à 9, et, en admettant l'égalité, on a

Pour qu'une dent du rouet puisse pénétrer dans Tintervalle des fuseaux C et C% il faut (15) que

tangwO'A^ tang- (i-t-'*') p.

Or le rayon des fuseaux a évidemment pour expression

mC = aR sin (f ( j ?

et, si mN est la perpendiculaire abaissée du point m sur 00', on a

//îN - RsinAOC'- /wC'cos^^^

=rRsin(3-/)-— aRsini^f cos(3— /)2

-4Rco8(3-/)^ cos(5--30 ïsin^i^^y;

et comme

.„ -,^ AOC

AN = wNtang »

tangmO'A = g,:^-^,

Tinégalité ci-dessus devient

4ixcos(3— 0? cos(5 — 3/) ^ 8in(r-i-/)^

(1) — ^tangp <f,

H-4fxsin(3 — /) 7 cos(5 — 3/) ? sin(i-+-/) | ^

Pour donner aux fuseaux une résistance suffisante, on fait en sorte qu'ils correspondent au moins à la moitié du pas; nous supposerons i = \, et, en négligeant d'abord le jeu, nous aurons /' = 1.

6o QUATRIÈMB PARTIE. — GBAPITRB III •

Si donc on pose

la formule (i) devient

2) --^ r-^ — r-^-- ^ tangôfxx.

Pour fx = o, on aura

cos5x C087X sinSiT^ ^x

OU, en évaluant x en degrés,

C085x C087:c 8in 3 x ^ 0,02617^:

et, de la même manière,

On trouve, après quelques tâtonnements :

Pour fA = o jr = 7,2i, d*où /i- 7,

Pour fx = j 07 = 6,43, // — 7,

Pourfx = f x=5,70, n= Sj

Pour |x = I a: = 4,86, // = ro,

ce qui conduit à poser

(4) 7i = 7H-3fx (').

Si maintenant on veut tenir compte du jeu latéral Si', en supposant qu'il soit supporté seulement par les alluchons, on

trouve que — va en croissant de 0,40 3/' à 0,720/' pour les

valeurs respectives de fxr=:o, ]ot==i, de sorte que la formule (4) corrigée peut être représentée par

(5) /i = {7 + 3fi)(i4-o,8^0.

(e). Relations entre le pas et les dimensions des alluchons, — En conservant les notations du numéro précédent et celle

( ' ) Savary a trouvé

TRÀNSFORMATIOll DU HOUTEMSNT CIBCULAimE CONTINU, ETC. 6l

des n""' 15 et 16, on a

0'm= Vâ)^' -+- R'' -h aÂ^.R' cosAOC' ,

AC' = 2R8in^^ = 2R8in(3-/)|,

/?iC' = aR8in(i— i) 2, (a) km = AC— /wC'= 4Rsm(i-+- /) | co8(5 - 3i) î,

[i) C080AC'=8iii(3 — /)|;

par suite, en supposant z = 1, <p z= — ,

r\i m I ^ • . *3 TT - 7 TT ~ ! 3 TT 7 TT . 5 JT

0'/H = R'4 /i4-i6f*'sm'7 - ces' 4 - h- Sasin^ -co8 4- sm-r -• Y *^ 4/1 4/1 *^4/i 4/1 4/1

Si nous supposons maintenant que, par suite des valeurs attribuées à n et fx, les derniers termes sous le radical soient assez petits pour que Ton puisse négliger les puissances supérieures à la première, et si nous remarquons que

r = O'/n — R', R' = — 5 nous aurons

,. ,, %na l .-Stt ,77r .3it 77r.5 7r\ (l /; = l 2fA 8in'-7 - C08*~ - H- Sin-r - COS 7 - SID 7 - ) •

' Tz \ ^ 4// 4/2 ^n ^ n ^nj

Remarquons également que Ton a

ou, d'après la formule (i) de l'article précédent, en supposant que l'angle mQ' k soit assez petit pour qu'on puisse le remplacer par sa tangente.

/ 2/1 5 TT 7 TT . 3 7r\

'Il 008 7 - COS 7 - Sin -7 - )

I 4- 4 fx sin 7 - 008 7 - 8in 7 - ^^ 4/1 4/1 4/1

formule dans laquelle on devra supposer 2e = a.

18. Des trains ou équipages d'engrenages. — Nous avons vu que le rapport du diamètre d'un pignon, rapporté à celui de Ja roue avec laquelle il engrène, ne devait pas dépasser une certaine limite, qui est \ pour les machines industrielles, et ~ pour les chronomètres, limite que nous représentons par v.

Supposons que Ton veuille transformer une rotation a)i autour de Oi en une autre plus grande tù» autour deO«, telle que le rapport

soit inférieur à v : pour y arriver, on montera sur Taxe Oi une roue que Ton fera engrener avec un pignon tournant autour d'un axe intermédiaire 0» et faisant corps avec une roue; on fera engrener cette dernière roue avec un pignon monté sur un second axe intermédiaire Os, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton arrive au dernier pignon tournant autour de O,. Le nombre *— 2 des axes intermédiaires, les rayons des pignons et des roues ou leurs nombres de dents devront être choisis de manière à satisfaire à la condition (i) et à celle qui résulte de la limite inférieure v pour le rapport du diamètre d'un pignon à celui de la roue correspondante. Soient, à cet effet,

R,,..., R,-, les rayons des roues successives, montées sur les axes 0,,. . ., 0,-,;

N,,. . ., N,, les nombres des dents de ces roues;

r„ Tj,. . ., rf-, les rayons des pignons tournant autour des axes 0„03,.-.,0,;

7i„ «a, . . . , n,, les rayons et les nombres des dents de ces pignons ;

û),,. . ., w, les vitesses angulaires de d,. . ., O3.

On a

d'où

. X w. nr,.,.r,,