TRANSFORMATION DU MOUYEMBNT CIRCULAIRE CONTINU, ETC

Od Toit ainsi que le rapport des vitesses angulaires extrêmes, ou la raison de Tengrenage, est égal au rapport du produit des rayons ou du nombre des dents des pignons à celui des rayons ou des nombres des dents des roues.

Dans de semblables mécanismes, il arrive quelquefois, comme dans la minuterie des chronomètres, que deux arbres soient concentriques, Tun creux, appelé canon, tournant à frottement doux sur l'autre.

Les vitesses extrêmes (en employant uniquement des engrenages extérieurs, comme nous le supposerons toujours dans ce qui suit) seront de même sens ou de sens contraire, selon que le nombre des axes intermédiaires sera impair ou pair. Pour établir une distinction entre ces deux cas, nous affecterons e du signe -+- dans la première, et du signe — dans le second, ce qui revient à poser

On représente généralement un équipage d'engrenages de la manière suivante, en plaçant sur la même ligne horizontale les nombres des dents des organes qui engrènent ensemble, et sur la même verticale ceux qui correspondent à un axe commun

Exemple :

Une horloge à seconde peut être représentée par le diagramme suivant :

Roue d'échappement. . . 3o — 6 Aiguille des secondes,

Roue moyenne 45 — 6

Roue motrice 48 — 25 — 6

25 Aiguille des minutes, 72 » des heures,

le mouvement étant communiqué de la roue motrice à la

roue d'échappement par deux pignons de 6 dents et deu roues, dont Tune a 4^ et l'autre 48 dents. L'aiguille des se condes est adaptée à la roue d'échappement, qui est réglé* en raison d'un tour par minute, et l'on voit, d'après le tableai précédent, que la roue motrice fera un tour par heure; caroi

a pour la raison

Si l'on voulait employer des pignons de 8 ou de i4 dent! ou ailes au lieu de pignons de six ailes, qui sont assez défectueux, on remplacerait la partie du diagramme ci-dessus, relative à ces organes, par le suivant

3o — 8 ou 30 — 12

64 io5

Il résulte de ce qui précède que l'on obtiendra facilement la raison d'un train donné; mais le problème inverse, consistant à déterminer un équipage, correspondant à une raison donnée, exige quelques développements, dans lesquels nous allons entrer après avoir traité le cas particulier suivant.

19. Problème de Young. — Cette question, qui a plutôt un caractère de curiosité que d'utilité, a pour objet de déterminer les éléments de l'équipage qui, pour une raison donnée e, correspond à un minimum du total des dents lorsque les pignons sont tous identiques entre eux ainsi que les roues.

Si l'on pose

on a

d'où, en prenant les logarithmes hyperboliques.

Ce qu'il faut rendre minimum, c'est l'expression

A(/i4-N)=Nl.sly!^,

TRANSFORMATION BU MOUTBMENT GIRCULAIEl CONTINU, ETC. 65

dont la dérivée, égalée à zéro, donne Téquation , I

d'où, par approximation.

Si Ton prend ^=3, 60, celte valeur s'exprime par le rapport de 18 à 5 ou de 36 à 10, nombres qui sont très-convenablés comme modules d'une roue et d'un pignon. On trouve, en faisant varier A-,

Pour k= 1 2 3 4 5

Si donc le rapport proposé est une de ces valeurs, on pourra employer l'équipage de Young, composé d'un nombre de pignons de 36 dents et de pignons de 10 dents déterminé par la valeur correspondante de k.

20. Méthode générale pour fixer les éléments d'un train dont la raison est donnée. — Pour établir un système de rouages, on voit qu'il est indispensable de mettre e sous la forme du quotient de deux produits de même nombre de facteurs que l'on puisse grouper deux à deux, du numérateur au dénominateur, de manière que le rapport de ce couple ne descende jamais au-dessous de v.

Pour faire cette décomposition d'une manière simple et suffisamment approximative, lorsque les deux termes de la raison sont très-grands, on réduit e en fraction continue et Ton cherche parmi les réduites successives celle qui convient le mieux au but que l'on se propose.

On sait que deux réduites consécutives. sont l'une plus grande, l'autre plus petite que la fraction génératrice, que leur différence est égale à l'unité divisée par le produit de leurs dénominateurs, et enfin qu'une réduite jouit de la propriété d'exprimer une approximation par le quotient des plus petits nombres entiers; mais il est moins important d'avoir de petits nombres pour les deux termes de la fraction qui représente approximativement e que d'obtenir des nombres décompoiil. 5

sables en facteurs. Aussi, lorsqu'on ne trouve pas parmi les réduites une fraction satisfaisante, il faut avoir recours à des fractions moins simples, parmi lesquelles on en trouvera souvent de plus avantageuses pour l'objet que Ton se propose.

ce Soit, à cet effet, - une fraction, dont les termes sontindé-

terminés, supposée très-peu différente d'une autre fraction -r dont ^ est Tavant-dernière réduite; on a

aq —hp —1^

et, en posant

ay — bx = X-,

k devra être très-petit par rapport à 6 j, par l'hypothèse que

la différence -r = -, — doit être très-petite. Cette dernière

équation, en vertu de la formule précédente, aura pour solution en nombres entiers

X=kq, x=hp',

par conséquent sa solution la plus générale en nombres entiers sera (5) j^=X7-+-M«, j7 = ^/?-4-Mâ,

M étant un entier quelconque positif ou négatif.

On donnera à M et à A* des valeurs croissantes positives ou négatives, et l'on s'arrêtera à celles qui fourniront pour ^ et^ des nombres dont la décomposition en facteurs permettra de satisfaire à la question proposée, après s'être assuré que l'erreur commise est admissible.

21. Applications : i° Horloge à secondes, — On suppose que la roue d'échappement fait un tour par minute, que le nombre des axes est réduit à trois, ce qui est un minimum, et enfin que chaque pignon ne possède que six ailes, ce qui est encore un minimum. On a

6o RR, 2i6o 45.48