TRANSFORMATION 1>*UN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC
Pour que la moyenne valeur de OE, pour 9 = o et <p = i8o«, soit indépendante de u^ il faut que
et l'on a par suite
OE = « -1-6 4- /' — rcosîp -+- w ( iH — j -sin<p
La longueur u ne variera pas sensiblement avec f pour une position déterminée du point C, si le point D décrit un arc de cercle dont la corde soit horizontale; mais alors C se trouvera sur un lieu géométrique dont il convient de déterminer la nature.
DE
L'abscisse du point D est, en appelant 1 le rapport -rr-rr'
Or/ = OE — r/E = OE - iJiE
= ûf -H b-¥l' — rcosff-i-u ( ï-^-- ) - siny
dont la moyenne valeur entre <p = o et 9 = i8o«,
sera l'abscisse du point C. Son ordonnée sera, en posant
CD = r.
d'où, par l'élimination de u.
iW
équation d'une parabole dont l'axe est horizontal^ dont le paramètre est ^l'i et dont les coordonnées du sommet sont
Cette parabole pourrait être remplacée dans sa partie utile nr. 9
l3o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
par un arc de cercle de rayon /'i; mais» dans la pratique, on prend CF inférieur à la longueur de ce rayon.
52. Coulisse d* Heusinger de ff^aldegg. — Ceile coulisse BH (yîg. 93 et 94), dont la concavité se trouve du côté de l'axe O, est mobile autour de son milieu I, tandis que son extré-
Fig. 93.
mité inférieure B est articulée à celle de la barre BA d'un excentrique OA ; OA' est une manivelle perpendiculaire à OA,
Fig. 94.
et A'B' sa bielle; l'extrémité B' de cette bielle est assujettie à parcourir une glissière horizontale dont la direction passe par
TRANSFORMATION d'UN MOUTBMBMT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l3t
le point 0. La tige verticale B'D est fixée invariablement à la petite tête B' de la bielle A'B'; DK est une autre tige articulée en D à B'D et à une troisième tige RH terminée en H par un coulisseau qui s'engage dans la coulisse. On peut rapprocher ou éloigner à volonté H de I au moyen d'un système de relevage identique à ceux des trois dernières coulisses que nous avons étudiées. Sur le prolongementi au delà de R, de DR, se trouve Tarticulaiion £ de la tige oscillante dont le mouvement horizontal est guidé en conséquence.
Si nous supposons que, pour la position moyenne de la coulisse, dont la flèche est d'ailleurs supposée très-faible, la tangente en I soit verticale, toute corde partant du point I s'écartera peu de cette direction, ou la corde de l'arc décrit par un point de la coulisse pendant une révolution de Tarbre sera horizontale et pourra être considérée comme se confondant avec son arc.
L'application de l'analyse à celte coulisse conduisant à des calculs inextricables, nous nous contenterons de l'approximation géométrique suivante, en supposant, pour plus de simplicité, que les tiges ÂB, A' B' soient assez longues pour que Ton puisse en négliger les obliquités.
Soient
r = OA, R = OA' les longueurs de l'excentricité et de la manivelle ; cp l'angle formé par OA' avec le prolongement de OB'; 2c la corde de la coulisse; u la corde IH; (ù la vitesse angulaire autour du point 0.
La vitesse du point B étant
— wrcosy,
celle de H est
wrcosy-'
Concevons maintenant que l'on imprime à tout le système une vitesse égale et contraire à celle cjRsinf de la tige DB' :
l32 QUATBIÈMB PARTIE. — GHAPITBE Tl.
la vitesse du point H deviendra
w( r-cosç — R sin^j.
Le point D étant ainsi supposé fixe, le centre instantané de KH se trouvera à l'intersection S de KD prolongé et de la verticale du point H; la vitesse du point K sera par suite
(ra -, . \SK
w ( — coscp — R smç j gg-;
celle du point £
[ru ^ . \ SK DE
,(^.cosç-Rsm^)gjj5g,
et sa composante horizontale
(ru
coscp-Rsmyjgg— ,
h étant la hauteur verticale de E au-dessus de D.
Si maintenant nous restituons la vitesse de B'D supprimée par la pensée, la vitesse réelle de la tige oscillante sera
r/OE' (ru „ . \SK A
-^ = ^ (V ""«^ - ^ '^" V SH DK -^ ^^ '^'^^^
E' étant la projection de E sur OB'.
Si J est Tiniersection, avec la verticale de H, de la parallèle menée par D à KH et si Ton remarque que rf<p = oa rf/, l'équation précédente devient
r/OF/ m h
On peut intégrer approximativement cette équation en remplaçant H J par sa valeur \ qui correspond à la position moyenne de la coulisse, ce qui donne
(i) OE' = — v siiKp — R I I — -r J cosy H- const.
Quant au mode de suspension qu'il convient d'adopter, nous nous reporterons aux considérations que nous javons exposées plus haut*
TRANSFORMATION B'uN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l33
§ IV. — Coulisse des machines des bâtiments à vapeur,
53. De la coulisse ordinaire des machines oscillantes. — Le mouvement alternatif, et relatif par rapport au cylindre, de la tige destinée à produire la distribution est généralement obtenu en employant la disposition suivante (Jig. gS ) :
Fig. 95.
OA' est un excentrique monté sur l'arbre 0, et dont la barre A'B' imprime un mouvement alternatif vertical translaioire à un châssis guidé en conséquence, et dont le plan est perpendiculaire à l'axe de rotation. Un maneton m adapté à ce châssis s'engage dans une coulisse dont le plan est perpendi*
]34 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Yl.
culaire à TaxeO, et qui ne peut se déplacer que parallèlement à la tige du piston au moyen de guides disposés suivant les génératrices du cylindre, et c'est à cette coulisse qu'est fixée la tige de distribution.
Soient
OA = R la longueur de la manivelle; 0' l'axe de rotation du cylindre; a la longueur 00' ;
e, (3 les angles AOO', AO'O;
0', le point du plan mobile de la coulisse qui se trouvait en O'
lorsque l'on avait 6 = o ; a l'angle dit d'avance que forme OA' avec la perpendiculaire
en 0 à OA ; r=OA', / = A'B'les longueurs de l'excentricité et de la barre
d'excentrique; h la distance mB'j X, y les coordonnées 0'^ m et mm' du point m par rapport aux
axes rectangulaires 0', A et 0', j.
Nous avons établi plus haut {WS) les formules suivantes :
sin6 = -- ( I -4- -ji — ôâ cosô ) ,
cosp= I —
R'sin^Ô
La relation indépendante de 6, qui existe entre x et j, sera réquation de la courbe qui doit affecter la coulisse pour que la transformation de mouvement proposée soit possible.
On a
X = 0'/7ï'- O'O; = O'/w.cosp — O'Co, y = O'/w.sinp
et, en négligeant l'obliquité de la barre d'excentrique ou les
termes de l'ordre —^9 qui sont toujours très-petits,
O'/w = O'B'— B'm = « — OB'— /i == « — A — /h- rsin(0 -+- a). D'autre part, la vitesse du point B' est
rcos(0-f-a)~,
TRANSFORMATION D'uN MOUTBMENT GIRCULAIRII CONTINU, ETC. l35
et celle de 0'., qui en est la composante suivant O'A,
rcos(ô-+-a) COsp-T-,
de sorte que Ton a
O'O'o = /• / ces (ô H- a) COS P d^
= r sin(0-+-a)cosp — sinaH- / sin(ô -t- a) sinl^^rW .
Il vient, par suite, eu négligeant Tinlégrale de cette expres-
sion, qui est de Tordre de — — vrit ' ^ a' -4- R'
( X = (a — / — A) cosp -+- r sina,
( j= (a — /— /i)sinp — rsin(0-+-a)sinp.
Si Ton néglige le second terme de y, qui est relativement petit, on a
a: — rsina = (rt — /— /i)cosp, j = (a — / — A)sinp,
d'où
(3) (x - r sina)^ H-jr'= (« - / - h)\
équation qui représente un cercle dont le rayon est égal à la distance moyenne du maneton à Taxe 0' et dont le centre se trouve situé à la hauteur rsina au-dessus de cet axe pour 6 = o. Si Ton voulait pousser l'approximation plus loin, il faudrait remplacer, dans l'équation
/j- — rsina Y y^
Q en fonction de y par sa valeur approchée déduite de la relation
4) -, — 7 = smp =--==•
Mais la courbe définie par l'équation finale n'est pas admissible, puisque sa forme dépend de l'angle a, tandis que la coulisse doit se prêter à la marche en arrière, ce qui exige que l'on déplace l'excentrique de i8o degrés par rapport à la manivelle ou que a soit augmenté de i8o degrés.
l36 QUATRIÈME PARTIE. ~ CHAPITBE YI.
Le mode de transformation dont nous nous occupons est donc vicieux en principe, et ce n'est qu'au moyen d'un jeu convenable dans la coulisse et d'une faible amplitude du mouvement oscillatoire qu'il peut recevoir son application.
En laissant de côté cette imperfection, le mouvement alternatif du tiroir sera défini par la formule (i), qui devient, en remplaçant j3 par sa valeur en fonction de 9,
iO'O; = r[sin(Ô -+- a) — sina] H-{g5 5[sin(ô— a) — 2sin(0-4-a) — -IsinlSen-a)— ^sina]
OU encore
iO'(yo = r[sin(0-+-a)-sina] -f-T TTi ; rsin0cosa-f-3cosôsina-h^sin3ôcosa -hjCOsBôsina— |sina].
54-. Coulisse des machines oscillantes des bateaux à vapeur des lacs de la Suisse. — Dans les machines oscillantes de ces bateaux (^g*. 96), l'admission et l'échappement de la vapeur s'opèrent, respectivement pour l'une et l'autre face du piston, au moyen de deux tiroirs adaptés sur le cylindre, symétriquement situés par rapport au plan, parallèle à Taxe de rotation et passant par la tige du piston.
L'extrémité de la tige de chaque tiroir est articulée à l'une des extrémités d'un levier mobile autour d'un tourillon fixé au cylindre parallèlement à l'arbre moteur; l'autre extrémité est terminée par un coulisseau qui s'engage dans une coulisse perpendiculaire à l'arbre, maintenue latéralement par deux guides verticaux et à laquelle un excentrique, monté sur le même arbre, imprime un mouvement de translation alternatif. Le boulon d'articulation de chaque levier avec la tige du tiroir correspondant est nécessairement parallèle au tourillon du levier, et le bras de levier de cette articulation, ou sa distance au tourillon, est horizontal lorsque le cylindre prend la position verticale.
Pour éviter les flexions de la tige de chaque tiroir dues à la courbure de l'arc décrit par l'extrémité du levier, on emploie
TBAN8FORMÀTION d'uN MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU^ ETC. 187
une petite bielle intermédiaire^ on allonge un peu Tœil de la lige dans le sens de Taxe de la tige; néanmoins il convient de limiter les angles décrits à un nombre restreint de degrés.
Fig. 96.
D'après cette description, on voit que tous les organes de la distribution se meuvent parallèlement au plan de la coulisse, soit dans leur mouvement absolu, soit dans leur mouvement relatif par rapport au cylindre.
i38 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE YI.
Soienl (fig. 97 )
0 Taxe de Tarbre ;
0' celui du cylindre;
a la distance de ces axes ;
R = OA le rayon de la manivelle ;
Q Tangle qu'il forme avec OCV ;
rTexcenlriciié;
a Tangle constant qu'elle fait avec la perpendiculaire à OA;
(3 Tangle variable AOO' ;
Fig. 97-
D la position du tourillon de l'un des tiroirs correspondant aux angles (3 et 0;
r==:0'D le rayon de l'arc de cercle décrit par ce tourillon autour du point 0 ;
E la position du coulisse au;
T sa projection sur 00';
C la position du centre de la coulisse;
p = CE le rayon de la coulisse;
X l'angle fermé par 0' E avec le prolongement de O'D;
/' =DE la longueur de la tige qui relie le tourillon du liroii au coulisseau ;
TRANSFORMATION d'uN MOUYEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l3g
D«,Eo les positions des points D et E, x^ la valeur de x correspondant à 0 =zo; i^zrzXg—X^^ déplacement angulaire éprouvé par le levier ED I à partir de l'instant où la direction de la tige 0' A coïncidait I avec celle de 00', et qui a donné lieu au déplacement du I tiroir.
En négligeant Tobliquilé de la barre de l'excentrique, le Ichemin décrit par la coulisse à partir de la position correspondant à ^ = o est
r[sina — sin(Ô-i-a)].
Nous supposerons que pour ^ = o le centre de la coulisse coïncide avec le point 0', de telle sorte que Ton ait
O'C = r[sina— sin(Ô -f- a)] , o = O'.E..
En joignant les points 0' et E, la figure donne, en remarquant que Tangle DO'D» est égal à |3,
6T'=r»H-/'*H-2r/'cosx,
Dt'= p»-hÔx'h-20'C.CT= p^H- r'[sin(0 + a) - sinap
-+- 2r[sin(Ô H-a) — sina] CT, CT =nO'T — 0'G = ^[sin(Ô-^a)-sina]-h^cos(P-hA)-^-/'cos(x-ô-A),
i'oii, par l'élimination de O'E et de CT,
p'= T^-h /'*H-2r/'cosx-t-r'[sin{ô-+-a) — sina]'
-+-2r[sinl0-ha) — sina] [rcos(p-f- A) -f-/'cos(x — P — A)].
D'après ce que nous avons dit plus haut, $x ^^'^ ^^re un petit angle, et nous pourrons en négliger les puissances supérieures à la seconde, en considérant, si l'on veut, cet écart
r r comme étant du même ordre de grandeur que ^ et =•
Nous poserons donc
cosx = cos(xo- ^X) = cosxo (i - -f- ) ■^- ^XSinx., cos(x- ?-A) = cos(x«- P - A) (i- ^) - ^Xsinxo-
l4o QUàTRIÈMB partie. — CHAPITRE YI.
L'égalité précédente peut se décomposer dans les deux suivantes :
(l) p'=r*H-/'*-f-2R7'cosx«,
I-h2/'rsinx,<îx — ''rcosxo^x'^-'^[s>n(ô-+-a) — sina]* -t-2r[sm(0H-a)— sina][r(cosp-hA)-+-/'cos(Xo — P — A) H-rsin(x«-P-A)^x] = o.
En ne conservant d'abord que les termes du premier ordre en r et Sx* ^^ dernière de ces équations donne
,,. ;^ r[sin(e-4-a) — sina][rcos(p-hA)-4-/^cos(Xa— B-A)] ^^^ ^^-'~' r'/'sinxo '
et, en portant cette valeur dans les termes du second ordre d€ la même équation, on trouve
a/Tsinxo^X = —'^r [sin(0 -+- a) — sina]
[rcOS(p-f-A)-f-/'COS(Xo-p— A)]* jr- /û ^ .
^ ri'sin'X^ ^-r'[sin(Ô-f-a)-s
(4) { (i~cosxo[rcos(p-4-A)4-rcos(Xa-P~A)]
1 r/'sin^Xo
rsinxo
Si la valeur (3) était suffisamment approchée, le coefficien r cos(A -h (3) -f- /' cos(xo — (3 — A) ne variant qu'entre des U mites assez rapprochées, la loi du mouvement relatif du tiroi par rapport au cylindre ne serait pas très-différente de cell qui résulte de l'emploi d'un simple excentrique, monté su l'arbre d'une machine à cylindre fixe. On est donc naturelle ment conduit à chercher s'il ne serait pas possible de profite de l'indétermination de quelques-unes des quantités qui en trent dans ce coefficient de [sin(0H-a) — sina]' de l'équa tion (4) pour annuler ce coefficient ou le transformer en ui terme du troisième ordre.
Nous poserons donc
l I-COSXo
[rcos(^-4-A)-f-/^cos(x,- p-A)]»
l/'sm^'xo
TRANSFORMATION b'oN MOUTEMENT CIRCULAIRE CONTINU, ETC. l4l
Avant de faire usage de cette équation, dans laquelle il nous sera permis de négliger les termes du premier ordre en r, nous allons déterminer la condition qu'il faut remplir pour que le mouvement des coulisseaux soit possible dans une seule coulisse ou pour qu'ils ne tendent pas à passer Tun devant l'autre.
Si l'on désigne par y l'ordonnée du point E par rapport à
00', on a
7 = r sin( p -t- A) - /'sin(xo - P - A).
En changeant (3 en — (3, on aura l'ordonnée de l'auiracouiisseau changée de signe, puisque son sens positif est l'inverse de celui de X' ^^ ^^^^ donc que la somme de ces deux expressions soit positive ou que
r sinA — /'sin(;^ — A) > o ou
rsinA— /'sin(xo — A) -f- /'sin(Xo — ^) -- -^^'cos(Xo — A)^X>o-
On satisfera à cette inégalité en posant
(6) rsinA-/'sin(Xo-A) = /'cos(Xo-^)H,
H étant une constante du même ordre de grandeur que 0%, et que l'on pourra prendre égale à la valeur absolue du minimum de cette variation ou à une valeur un peu plus grande. La formule (3) se réduit alors à
^y = — ^,, . fsinfO h- a) — sina]
X jcosp [r cosA -+- /'co3(xo — A)l — /' sinp cos(Xa — ^)H I ou, en éliminant /' au moyen de l'équation (6),
/ V % ^ r o HcOSfy.— A)C0S(6-f.A)'lr • /a x • ^
7 ^y=— — - COS0H ^^ . î^- ^ rsm(ÔH-a — sma].
^^' ^ rsmAL smxo J
En prenant
H = =-r— r I H ^ (i H- sma),
rsmAL smXo J^
on sera sûr que H sera supérieur au maximum — 5x, d'où l'on
