CHAPITRE VIL
TRANSFORMATION D'UN MOUVEMENT RECTIUGNE ALTERNATU EN CIRCULAIRE ALTERNATIF.
55. Système du balancier et du parallélogramme de Watt — La disposition dont nous allons nous occuper {fig. g8) \ pour objet de transmettre au balancier le mouvemenl alter
Fig. 98.
natif du piston dans certaines machines à vapeur, notammen celles dites de Watt^ de Cornwal et de Woolf. Soient (^g*. 98)
OA, Taxe de figure du balancier dans sa position horizontale 0 la projection de Taxe horizontal de rotation sur le plai
vertical passant par OAo; 0A„ OA2 les positions extrêmes de Taxe du balancier, symé
triquement placées par rapport à O'Ao,*
TRANSFORMATION d'uN MOUYEMENT REGTILIGMB ALTERNATIF^ ETC. l4S
yy' la verticale suivant laquelle doit se mouvoir la tige du piston.
On s'arrange de manière que la droite^' passe à égale dislance du point Aa et de la corde A.Aa de l'arc total décrit par l'extrémité du balancier. La tige du piston est reliée, par une articulation, au sommet Bo d'un parallélogramme à sommets articulés, formé par les trois tiges A^Bo, B.Co, CaD» et par Taxe
Fig- 99-
'— —vT
de figure OAo du balancier, et dont A,B,C,D,, A,BjCjD, sont les positions extrêmes et ABCD une position quelconque. On voit facilement que A, Aa = B, Bj est la course du piston. Le sommet B étant assujetti à parcourir la droite yy'y la figure du parallélogramme est à chaque instant complètement déterminée, et le point G décrit une courbe qu'il est facile de construire par points. L'épure montre que celte courbe diffère peu d'un cercle passant par les trois points Co, Ci, Ca et qui, en vertu de l'égalité des trapèzes B» Bi Ci Co> B» Bs Cs Ca, a son m. 10
l46 QUATBIÈME PARTIE. — CHAPITRE VU.
centre situé à un certain point 0' de l'horizontale BoCo. Si l'on admet, pour un instant, que ces deux lignes se confondent, il suffira, pour assurer le mouvement rectiligne du point B, d'assujettir le point C à se mouvoir sur le cercle CoCiC», ce qu'on réalisera au moyen d'une tige ou contre-balancier 0' CyaTi\cu\ée d'une part à ce dernier point et de l'autre au centre 0', supposé fixe, du cercle ci-dessus; mais, comme ce cercle ne se confond pas rigoureusement avec la courbe qui serait tracée par le point C, le point B ne décrit pas exactement la droite yy^ mais une courbe très-allongée, dite à longue inflexion, qui diffère très-peu de la verticale, comme nous le reconnaîtrons plus loin, ce qui par cela même ne donne lieu à aucun inconvénient sérieux dans la pratique.
Théorie géométrique. — On peut construire très-facilement par points la courbe à longue inflexion, en remarquant que, si Ton mène la parallèle OH à CD jusqu'à sa rencontre H avec BC prolongé, le point H, situé à une distance constante de C, se meut constamment sur la circonférence décrite du point 0 comme centre avec un rayon égal à CD. Les extrémités de l'arc qu'il parcourt sont les points d'intersection H» et H, de cette circonférence avec les directions BoCo et BiC, ou B2C2, le second de ces points se trouvant évidemment sur la direction de BoCo. On voit ainsi que la courbe décrite par le point B fait partie du lieu géométrique engendré par un point déterminé d'une droite dont deux autres points C et IL s'appuient constamment sur deux circonférences données.
On aura donc autant de points que Ton voudra de cette courbe en marquant trois points b, c, h sur l'arête d'une bande de papier, tels que Ton ait bc = BC, ck = CH, puis en faisant mouvoir cette bande sur la figure de manière que les points h et c restent constamment sur les arcs respectifs H, H„ C, Cj; les positions successives que prendra le point b appartiendront à la courbe à longue inflexion.
Le centre instantané S de la droite BH se trouve évidemment au point d'intersection des directions des droites 0' C et OH, et l'on obtient géométriquement la normale, au point B, de la courbe à longue inflexion, en menant la droite BS.
TRANSFORMATION D*UN MOUYBMBMT REGTILI6NE ALTERNATIF^ ETC. l/{']
Le centre instantané T de O) est, de même, le point de rencontre deO'CetOA.
Cela posé, cherchons à déterminer la vitesse angulaire &> du balancier, connaissant la vitesse V du piston ou du point B.
La vitesse angulaire instantanée autour du point S étant
V se
^5 la vitesse du point C est V gg» et la vitesse angulaire
se on
insuntanée autour de T, V ^xxSB ^" ^ DT^^^^' ^^ ^^^' son du parallélisme des droites CD et OS. On déduit de là, pour la vitesse du point D, V ^jr> et pour la vitesse angulaire autour du point 0,
«=E5' d'où V = a)SB,
résultat très-simple qu'il est facile de traduire en langage ordinaire.
La droite qui joint les points 0 et B rencontre le côté CD en un point J, fixe sur ce côté pour tous les déplacements du balancier, qui décrit une courbe semblable à celle du point B et semblablement placée, et qui par conséquent se confond sensiblement avec la verticale. Cela résulte de ce que, les triangles ABO, DJO étant semblables, DJ est constant, et que OJ est proportionnel à OB. Le parallélogramme permet donc au balancier d'imprimer un mouvement vertical à une tige articulée au point J de CD, dont la vitesse est à V dans le rapport de OJ à OB.^ Cette tige sert ordinairement à mettre en jeu la pompe du condenseur dite à air, dans les machines de Watt, et le piston de la détente des machines de Woolf.
Théorie analytique. — Prenons le point Bo pour origine des coordonnées et les directions respectives de BoO'etdeBaj pour axes des x et j.
Soient
X et y les coordonnées du point B ; L = OA la longueur du balancier; r=:0'C celle du contre-balancier; r , / les longueurs des côtés AB, BC ;
l48 QUATRIÈMB PARTIB. — CHAPITRE TH.
9, \\>, (f' les angles qui forment respectivement O'C avecO'Ct,
BHavec H.B., OH avec H, H,; I la projection du point 0 sur la direction de B^Ct; b = Btl, c = Ol les coordonnées de ce point prises en valeur
absolue; ô l'angle A.OA,;
h la demi-course du pislon ou — ^— ^.
On a
• :^ ^ smo = -•
En projetant les lignes brisées O'CB, BHOI sur l'horizontale et la verticale, on trouve les relations
r — / — X = rcosy— /cosi|/, /= rsiny -f- /sini|/,
x-^ b = Lcosi|/ — r'cos<ï>', x= Lsinij/ — r'sin<j>' -hc;
d'où, par l'élimination de 9 et de 9',
ij* H- .r* — ilxsm^ — 2x (r — / H- /cos>!/) -+- (r — /)'-+- /'-f-2/(^—/)c0S^^ = /•', j*H- •^' — 27(Lsin^-hr:)-+-2x{^ — Lcos^^)
-I- L' — 2L6cos^— 2Lc8in>j/-4- /y*-+- c*= r'^.
Ces deux équations doivent être satisfaites par x = o, j 1=0, ce qui a lieu identiquement pour la première; mais, pour qu'il en soit de même pour la seconde, il faut que
(I) (L^by=r^^-c\
ce qui d'ailleurs est visible sur la figure. Les mêmes équations peuvent se mettre sous la forme
/'-h r'— 2//sin^^ — ix Ir—ilsm- ) — 4 (^ — 0 ^sin^ - — o,
y^-h x^^2f{c -h Lsini|/)-+- 2.Lcs\n^ ■+- 4L6sin* - = o.
Pour que ces équalions soient vérifiées par x = o^ y = ±:LsinS, \\> =±d, il faut que l'on ait
(1) L(L-2/)cos'-=r(r~/);
TRANSFORMATION d'uN MOUYBMBNT RBGTILIGNB ALTBRNATIP, BTG. l49
d'où
/>H L(L-a/)cos»-
et
(3) ^=Lcos--î
d'où, en vertu de la formule (i).
(y) r'=yJc^-Vsm^{.
La figure conduit directement d'ailleurs, sans difficulté, aux valeurs (P) et (y) de ret r'.
En portant ces valeurs dans les équations (a), on obtient les suivantes :
|j*-f-x-— 2//6m>j/ — Y ^cos>|/ -f-L(L— a/)cos'- ^ '-h — 4L(L — a/) CCS -sin'- — o, -l ■ / ^ \
l/*H-x'-i-2Lx( cos' cos*»!/ j — 2^ { c -f- L sÀn-^)
