III. i

ig4 QUATRIÈME PA.RTIB. — CHAPITRE III.

75. Régulateur à boules ou à force centrifuge. — Ce régulateur, qui est le plus généralement employé, se compose ifig. lia) de deux boules A, A' de même poids, fixées aux

Fig. ii3.

extrémités de deux tiges égales AB, A'B, qui sont articulées à charnières à l'extrémité supérieure B d'un arbre vertical BX, dont le mouvement de rotation est transmis par Tarbre ou l'un des arbres de la machine au moyen d'engrenages ou de courroies. Deux tiges ou bielles égales CD, CD' sont articulées en C et C à AB, A' B à égale distance du sommet B, et à une douille DD', qui peut glisser le long de l'arbre BX. La douille, en s'élevanl ou s'abaissant par refifel de la force centrifuge qui s'exerce sur les boules, et d'une manière secondaire sur les tiges, agit sur la vanne de la force motrice par l'intermédiaire d'un système de tringles relié à la douille par une articulation, et dont la disposition varie avec les circonstances.

Quelques constructeurs remplacent les boules par des lentilles dont les arêtes sont comprises dans des plans passant par les axes de figure des tiges AB, A'B, et perpendiculaires à celui dans lequel sont compris ces axes et celui de l'arbre.

DBS RÉGULATB0R6. igS

Cette disposition a pour objet de réduire la résistance de l'air;

mais> comme un régulateur marche toujours lentement,

l'avantage des lentilles sur les sphères est pour ainsi dire

illusoire.

Supposons les quatre liges réduites à leurs axes de figure,

et les sphères et la douille à leurs centres A, A' et D. Soient (/g". ii3)

AB = A'B=a, I

BC == BC = 6, > des longueurs données;

CD=C'D==c )

I Tintersection de AA' avec BX ;

P le poids des boules ;

p l'effort que doit vaincre la douille, tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, pour faire varier la position de la vanne;

w la vitesse angulaire de l'arbre ;

a l'angle formé par AB ou A'B avec la verticale BX.

On a

AI = flsina, BI = ^cosa,

et le triangle BCD do n

BD = ô COSa 4- v/c^ -- b^ sin'a , d'où

A'sinacosaflfa

é/.BD = — b sina da. —

v/c* — If' sin^a

Comme la masse des tiges est toujours relativement faible par rapport à celle des boules, nous en ferons abstraction. Les forces centrifuges des éléments matériels de chaque boule supposée homogène ont une résultante passant par le centre de gravité de la boule et qui n'est autre chose que la force centrifuge de ce centre où toute la masse était concentrée; cette résultante a pour expression

- w^. AI = - w^a sina.

En exprimant que, pour le déplacement angulaire </a, la somme ces travaux virtuels du poids et de la force centrifuge des boules et dep est nulle, on a

(i) aP— fl8inaé/.AI-ha-£/.BId=D£/.BD = o,

d'où

. , P , a . „ . ,/ ^COSa \ .

(2) a-^'fv'smacosa — aPasmaqF/?^! i-h —— isina = o,

le signe — et le signe ■+- se rapportant respectivement à la tendance à la levée et à l'abaissement de la vanne.

Soit (v« la vitesse angulaire de l'arbre qui correspond à la vitesse de régime de la machine et à la valeur a« de a pour w=W9, il ne doit y avoir aucune tendance au déplacement de la vanne dans un sens ou dans l'autre, ou encore aucun effort ne doit s'exercer sur la douille; de sorte que la formule (2) donne, en y supposant tv = iv», a = «o q\ p=^o,

(3) «^JCOSa, = -•.

Les vitesses angulaires maximum w^ et minimum w^ du régulateur correspondant à la tendance au déplacement de la vanne ont respectivement pour valeurs

ha-

2 \^ v/c^-^\sin'aj

1 \ y/ç^— ^>»sin»aj

Le rapport -^- étant toujours une petite fraction, on peut,

sans inconvénient, en négliger les puissances supérieures à la troisième, et écrire, en ayant égard à la relation (3),

[ph / b cosa,> \ p^b^ / h COSa^, \

' -*■ 4Fa ^' "^ v/«»-^^sin>aJ 8 ?W ^ "^ yj a^ ^ b^ sin- âj

et l'on voit que l'on a , à la deuxième puissance près de ~- >

DBS RÊGOLÀTBURS. 197

(V, — «;.= (Vo — (Vi, c'esl-à-dîre que la douille et la vanne seront sur le point de se déplacer pour des écarts de vitesse sensiblement égaux de part et d'autre de la vitesse de régime. La sensibilité du régulateur se mesure par Vécart proportionnel ^' — - que Ton se donne a priori^ et qui doit être d'autant plus petit que Ton veut obtenir une plus grande régularité dans le mouvement. Désignant ce rapport par -» nous

aurons, à la troisième puissance près de -^^

__ ph / ^COSa,

d'où

(6) p^^/ .^œso^X

formule qui faitconnattre le poids qu'il faut donner aux boules pour obtenir le degré voulu de sensibilité.

Il est facile de voir qu'aux termes du second ordre près on peut écrire

76. Conditions relatives aux limites que Von assigne à la vitesse delà machine. — Supposons maintenant que, par suite d'une réduction du travail utile, w dépasse (Vi, la vanne s'abaissera en même temps que w croîtra; toutefois w ne dépassera pas une certaine limite w'' correspondant à la fermeture complète de la vanne, et qui sera une conséquence du mode de liaison entre la vanne et la douille; mais, à l'inverse, on peut se proposer d'établir ce système de liaison de manière que tv" soit donné a priori, et que l'on ait à remplir une condition semblable en se donnant la vitesse angulaire cv' correspondant à l'ouverture complète de la vanne.

Soient a'^ o^ les valeurs inconnues de l'angle ABD correspondant aux vitesses angulaires w'^, w\ et supposons que la résistance opposée au déplacement de la douille reste constante et égale hp, pour toutes les valeurs de cet angle comprises entre

«gS QUATRIÈMl PARTIE. — CHAPITRE Ul.

cl" et «'. Considérons le cas le plus usuel où BCDC est un losange, et négligeons le carré de -; nous aurons, en nous reportant à Téquation (a),

I et de même

f «''^COSa'= wj COSa, ( I )•

Or la position de la vanne doit être donnée pour la valeur a de l'angle ABD; on devra donc établir la liaison entre la douille et la vanne de telle manière que, lors de Touveriure et de la fermeture complète de la vanne, l'angle a soit égal aux valeurs de oi!\ a! données par les équations (8). Dans le cas actuel, la formule (6) devient

et le poids des boules est ainsi indépendant de l'angle a^.

Soient A» = 2û cosao, h" ^=ia cosa", K z=zia coso' les valeurs de AD correspondant aux vitesses angulaires (Vo, w"y «/.

Les équations (8) prennent la forme simple

qui se prête facilement aux applications (*).

( * ) Disposition de Foucault. — Foucault a eu l'idée de chercher l'effet que produiraient les boules placées sur les prolongements des bielles CD, CD,

Fig. 114.

lorsque BADC est un losange (Jîff. ii4); A, A' seraient, dans ce cas, assujettis

DBS RÉGULATEURS. ig9

Pour éviter que les boules oscillent dans le mouvement

régulier de la machine, il faut donnera -une valeur su-

périeure à l'écart relatif des vitesses maximum et minimum, qui sert de base à l'établissement du volant (').

Soit h la valeur de AD correspondant à la vitesse angulaire (v; on a, selon que cette vitesse est supérieure ou inférieure à (Vo,

Si w, wj, ûj, sont les vitesses de Tarbre qui correspondent i aux vitesses w, (v„ iv, auxquelles elles sont proportionnelles, on peut écrire

Soit Ç, pour la vitesse (v, l'augmentation relative éprouvée par le débouché de la vanne correspondant aux vitesses angulaires iVi et w,; Ç sera proportionnel à A — Aoî nous pourrons

à se trouver sur ua ellipsoïde substitué à la sphère du régulateur ordinaire. Posant AD = A'D = a et conservant les notations du texte, il est facile de reconnaître que les formules (4) s'appliquent au cas actuel, en remplaçant Pa par P(2* — a), après y avoir supposé b-=c. Cette disposition est loin d'offrir quoi que ce soit d'avantageux.

(*) Le mouvement oscillatoire das boules résultant d'une variation de la vitesse angulaire est un mouvement relatif par rapport au plan mobile AOA' ; les forces centrifuges composées pour chaque boule ayant une résultante perpendiculaire à ce plan, on n'a qu'à introduire dans l'équation (i) le terme

rf'a — 2I — —-(Ta, 1 étant le moment d'inertie de la boule par rapport à l'axe prodt*

jeté en B. Au lieu de l'équation (2), on a la suivante :

,<f'a P / ^cosa \