I-j-r — — û>*a' sinacosa— Pasina :;: p^sina ( i
^^ ^ \ V^c»-*«sin»ay
On devra faire l'intégration pour chaque demi-oscillation ascendante et descendante, correspondant respectivement au signe supérieur et au signe inférieur du dernier terme du second membre ; les constantes introduites se détermineront
par la double condition que a et -v- ont des valeurs connues au commencement de chaque demi-otcillation.
écrire en vertu de la formule (9), selon les cas, i;^a(±^±) ou ç=x-/1--LY
k et ki éianl deux coefficients connus.
77. Jutre disposition.— Dans certaines circonstances, motivées par des difficultés d'emplacement, on est obligé de placer la douille au-dessus deTarticulatlon D; on emploie alors la disposition représentée par la^g*. 1 15^ dans laquelle les tiges de
Fig. ii5.
même longueur BC, BC sont également inclinées sur les liges AB, A'B, d'une manière invariable, avec lesquelles elles sont respectivement reliées. Les bielles CD, CD déterminent un losange BCDC. Nous ne nous arrêterons pas à la recherche (qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté) de l'écart proportionnel dans l'expression duquel doit entrer nécessairement l'angle CBA.
78. Des régulateurs isochrones. — Dans le régulateur à boules il y a, pour chaque valeur de a, une vitesse de régime déterminée w; de sorte qu'il ne peut remplir l'objet
qu'on se propose que par approximation , à la condition que l'angle a varie peu en passant de Touverture complète à la fermeture de la vanne.
On comprend ainsi l'avantage» au moins au point de vue théorique» que doit présenter un régulateur disposé de manière que la vitesse angulaire de régime cv» soit indépendante de l'angle a. Les dispositifs de cette nature qui ont été imaginés par divers ingénieurs et constructeurs ont reçu le nom de régulateurs isochrones.
Nous allons passer en revue les principaux types de ce genre de régulateurs.
79. Régulateurs paraboliques. — Concevons un dispositif tel que le centre de chaque boule soit assujetti à rester sur une courbe fixe» déterminée de manière que le poids et la force centrifuge de la boule se fassent constamment équilibre pour la vitesse (v«, quel que soit l'écart a; ou obtiendra un régulateur isochrone. En effet, par suite d'une diminution de la résistance utile» w croîtra à partir de w^ et en même temps a à partir de a«; mais bientôt» par la fermeture graduelle de la Yanne» w et par suite a atteindront chacun un maximum ; (v» a décroîtront» atteindront respectivement un minimum» et ainsi de suite; mais» sous l'influence du frottement (|)» les oscillations de chaque boule sur sa courbe s'éteindront rapidement, et, lorsqu'elle sera arrivée à l'étal stationnaire, la vitesse du régulateur sera redevenue (Vg.
Soient x l'abscisse verticale d'un point de la courbe que doit décrire le centre A, mesurée à partir d'un point déterminé de l'axe de l'arbre; y l'ordonnée horizontale correspondante : le principe du travail virtuel donne p
d'où, en appelant C une constante.
(*) Voir la Note, placée à la fin de ce Chapitre, relative à l'influence que peut avoir le frottement sur les mouvements oscillatoires.
a02 QUATRIÈME PàRTII. — CHAPITRE lU.
équation d'une parabole, comme on devait s'y attendre (deuxième Parlie, n»207), dont le paramètre est -f et C l'abscisse du sommet dont on fixera la position comme on l'entendra.
C'est sur le principe que nous venons d'énoncer que sont basées les deux dispositions suivantes :
I* Régulateur de Frpinke. — C'est le premier régulateur parabolique qui ait été construit : il se compose de deux guides curvilignes (Jig.ii&) MN, M'N', symétriques par rapport à l'axe
Fig. n6.
de l'arbre, correspondant respectivement à deux couples de galets C, C qui terminent les tiges des boules A, A' ; les axes des galets sont engagés dans deux fenêtres courbes pratiquées dans les extrémités de deux tiges CE, CI £' qui vont en B s'ar-
DBS RÉGULÀTBUB8.
ticuler à l'arbre. Deux tringles t, f sont articulées à ces deux liges et supportent, également par articulation, la douille D. On voit que chacun des guides doit affecter la forme d'une parallèle à la parabole que doivent décrire les centres des boules, tracées à une distance de cette courbe égale à celle de ces centres aux circonférences de gorge des galets.
Cette disposition n'a pas eu de succès pratique, en raison de sa complication et des frottements des galets sur les guides et sur leurs axes, qui diminuent notablement la sensibilité du régulateur.
2* Régulateur à bras croisés. — M. Farcot a eu l'idée de remplacer la parabole par son cercle osculateur dans la position moyenne que doit occuper le centre de chaque boule, ce qui lui a permis d'établir un régulateur à très-peu près isochrone, d'une construction très-simple.
Soient (^g". 117 et 118)
Fig. 117
Fig. 118.
A. la position moyenne du centre de la boule A; S le sommet de la parabole ;
F son foyer déterminé par SF = — j',
ao4 quàtrièmb partis* — chapitre m.
AoB la normale en Ao limitée à l'axe de la courbe ;
H rintersection de la direction du rayon vecteur AoF avec 1^
perpendiculaire en B en A«B ; K celle de la perpendiculaire en H à AoH avec le prolonge^
ment de la normale qui est le centre de courbure de la para
boleenAo(*); i
K' le centre de courbure de la même courbe correspondant i la position moyenne A\ du centre de la boule A', qui est h symétrique de K par rapport à BS.
Portons, à partir des points K et K' sur KA, K^A, deux lon« gueurs égales KG, K'C, puis joignons C, C à un point D di Taxe.
On obtiendra un régulateur sensiblement isochrone, en sup^ posant que KAo, K'A'o représentent deux tiges articulées en E et K' à une pièce KK' faisant corps avec Tarbre, que h douille D soit reliée, par articulations, à ces tiges par les trint gles CD, CD.
Proposons-nous maintenant de déterminer les conditions relatives à la sensibilité du régulateur, en plaçant rorigin^ des coordonnées au milieu I de KK'.
Supposons, pour plus de simplicité, comme cela a lieu d*ail leurs en général, que, les tiges CD et KC aient une même Ion* gueur b, et conservons aux lettres P et p la même signiQcatioi] qu'au n** 75; nous aurons, pour l'équation du travail virtuel,
w étant Tune ou l'autre des vitesses angulaires de l'arbre pour lesquelles la vanne est sur le point de se déplacer. Posons (V = iVo(i -t- e), nous aurons, en négligeant le carré de e,
(lo) -w\ exdx=dzCjdAh.
Soit a l'angle formé par la normale AoK avecIS; de l'équation
(*) Voir mon Traité de Cinématique pure^ n® 57, p. 67.
BBS RÉGULATEURS. 2o5
|dd lire
I") tang« = -^ = Yj, .
d'où
dx = — î- cos^ A dr, g -^
Mais 00 a
ID = 2^C08a, d'où «?.ID=— 2^sinaÉ?a=r — 2^ — i cos^asinar/r,
et l'équation (lo) donne par suite
^ pb coà'asina aP X
ou, en remplaçant y par sa valeur^ en fonction de ce, tirée de l'équation (ii),
«=±4 ^"^cos'a,; 2P g •
nous aurons donc
Supposons que l'écart proportionnel - soit donné pour la
valeur moyenne «o de a; de la condition - = — on
déduit la relation
^ = pn—^— cos'a..
L'écart proportionnel, pour une valeur quelconque de a, a par suite pour expression
mais, comme l'angle a ■— «« est toujours petit, on peut en négliger le carré, et cet écart prend la forme
i[i— 3tanga.(a-aJl,
ce qui met bien en évidence la manière dont il varie avec a.
ao6 QUÂTHIÈME PARTIS. — CHAPITRE III.
80. Régulateur isochrone à contre-poids de Mejrer (' ). — Reportons-nous à la théorie du régulateur à boules (75), ei^ conservant les mêmes notations. Dans le régulateur dont noua nous occupons actuellement, la douille fait corps avec uii manchon enveloppant l'arbre, et qui se termine inférieurement par un galet E (^g-, 119) s'appuyant sur Tune des branches EF d'un levier coudé EFG, mobile autour de Taxe F, ^
Fig. 119.
QT
l'extrémité duquel se trouve adapté un contre-poids Q. En raison de son faible diamètre, nous pourrons, sans erreur sensible, supposer que le galet E se réduit à son axe.
(*) On doit à M. Charbonnier {Bulletin de la Société industrielle de Mulhousey 1842) l'idée première de rendre constante la vitesse de régime d'une machine dans laquelle le travail utile est sujet à des variations ^ il proposait, pour arriver au but, l'emploi de contre-poids sans en déûnir le système. M. Meyer, de Mulhouse, séduit par l'argumentation de M. Meyer, à laquelle il avait d'abord été rebelle, résolut pratiquement le problème, dont, dans plusieurs cas particuliers, les éléments numériques furent déterminés par M. Charbonnier. Les résultats de l'observation vinrent ultérieurement justifier les calculs de ce modeste savant.
Nous aurions dû logiquement, au point de vue historique, commencer à exposer la théorie des régulateurs à contre-poids; mais nous avons pensé qu'en nous occupant d'abord des régulateurs paraboliques nous ferions comprendre plus facilement ce que l'on entend maintenant par régulateur isochrone (d'après Foucault).
de) régulatiurs. 207
Soient
E', G' les projections des points E, G sur l'horizontale du
point F ; m l'angle constant GFE;
<r et / les longueurs des bras de levier EF et GF; ) le poids du manchon ; orangleEFE'.
La condition qui doit être remplie pour que le régulateur soit isochrone est que la vitesse de régime soit indépendante de l'angle ce, sans faire intervenir la résistance au déplacement de la douille.
Le principedu.travail virtuel, dansrhypothèsedeBC=CD=i^, donne
(12) — a^w^sinacosa — aPasina — 2qo sina^ ^~~7ï — ~^*
Or on a
EE'= BE'— BE = BE- DE - BD = A — aôcosa,
en posant h = BE' — DE, qui est une constante dont on pourra disposer ultérieurement.
D'autre part EE' = k tangcp ; nous avons donc la relation
(i3) /•tang<p = h — a^cosa,
d'où
(i3') d(f = -T-sina C08*<prfa.
Si Ton remarque que
GG'=/sin(/w-h<p), on a
rf.GG'=/C0S(m-H <p)é/«p = --r-sinaco8(^-f-/w) cos'y dx,
eiréqualion (12) devient
F Ib
(14) -û'w'cOSa — Pu — yè — Q -T-COS*<pC08(«p-t-/w) = O.
Supposons maintenant que Ton dispose de h ou de la valeur moyenne a. de a en vue d'annuler l'angle 9 pour « = a,. Nous
ao8
QUATRIÈMB PAETIB. — GHAPITRB III.
pourrons prendre k suffisamment grand pour que, lors des plus grandes valeurs de (a— «o)'. l'angle 9 reste assez petit poui que Ton puisse poser sin cp = langç, coscp = 1. L'équation (i4 devient alors
A — ^Acosa
-smAw
(i5) -aVcosa — Pfl — ^.^ — Q-r (cos/w —
Cette équation sera satisfaite, quel que soit a, en posant
• sm/w,
f P<ïH- ^6 -H Q-T- (cosw — -rSiniwJî
et Ton pourra donner à Q, g> m des valeurs telles que ces équations soient satisfaites pour une valeur déterminée de iv\ le .problème de Tisochronisme se trouvera ainsi résolu, du moins par approximation.
81. Régulateur isochrone de M. Tchébichef. — En nous reportantau régulateur à boules (75), supposons que la douille D (fig. 120) soit au-dessus du point fixe B, et que BC, au lieu de
Fig. 120.
ft^' V
se trouver sur le prolongement de AB, fasse avec sa direction
un angle ABC = m. Admettons que la douille D ait un poids Q comparable à celui des boules. Rappelons-nous ces notations
DBS RÉGUULTIURS. 209
AB = a, BC = b, CD =r c> oc éunt Tangle que forme AB avec la verticale BD.
n est facile de voir que l'équation du travail virtuel s'obtiendra (en faisant abstraction, bien entendu > comme plus haut, de la résistance au déplacement de la douille) en remplaçanty dans le troisième terme de l'équation (2) du n** 75> :fp par — Q, et a par 180** — (a -f- m), ce qui donne
e„»^^i. ^^ i isin{/it-f-a)
aflP . r C08(/îi-ha) "I
-v^Sina-+-| I "" 1 1
Q go Si nous posons
nous pourrons écrire
COS/lt-
sma-h I î-4- — |sm(/w-ha)
(,gx f^^ L ys' — cos' (m -h a) J ^^
' tvi Bsinaa
Soit, comme plus haut, a. la valeur de a qui correspond à la vitesse de régime w^.
La condition imposée par l'isochronisme exigerait que l'on eût Y — 1=0, quel que soit a, ou « — a. = d«; mais cette condition, dans le cas actuel, ne peut être remplie que par approximation, en égalant à zéro les coefficients des quatre premières puissances de ia dans le développement de ^ — i, en vue de donner des valeurs convenables aux constantes indéterminées A, B, 5, oo. M. Tchébichef a trouvé ainsi
On peut disposer de (v«, dans certaines limites, en calculant eu conséquence la transmission qui relie l'arbre de la machine à celui du régulateur. Les deux premières des formules (17) don-
p neront ainsi deux relations entre les indéterminées r^ et awl.
