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aïo
QUàTRIÈMB partis. — CHAPITRE III.
M. Tchébichef a vérifié, dans plusieurs cas particuliers, ses formules et a pu constater que son système conduisait à l'isochronisme avec une approximation inattendue.
82. Régulateur isochrone à ressort de Foucault. — Foucault a cherché à obtenir Tisochronisme de la manière suivante : le losange {Jig. 121) articulé BCDC est relié à l'arbre
par son sommet inférieur B. Au sommet opposé se trouve la douille D; les côtés CD, CD' sont prolongés en CA, C'A' de longueurs égales à la leur, de manière que les centres des boules A, A' restent constamment dans le plan horizontal du point B. De part et d'autre de l'arbre, les boulessont reliées par un ressort à boudin, aboutissant aux extrémités des diamètres perpendiculaires au plan CDC, et les deux ressorts sont complètement identiques.
Soit a' la valeur de a correspondant à l'état naturel du ressort; la résistance opposée aux boules par le ressort, étant proportionnelle à son allongement (deuxième Partie, n** 189), peut être représentée par A* (sina — sin a'), lorsque l'écarlement CBD est devenu a, k étant uiie constante. L'équation du travail virtuel donne
ou
a-fv'sinacosacfa— aA-fsina — sina') cosae/a = o
sina [ - (v' —/*} = — A^ sina'.
DBS EÉGULÀTIORS. 211
Si a' = o, cette équation sera ^tisfaite en posant
formule qui permettra de calculer le poids des boules pour une vitesse déterminée (v, connaissant k.
MaiSy comme on est obligé de donner une certaine valeur à l'angle a', la condition de Tisochronisme ne peut être satisfaite que par approximation.
83. Régulateurs à boules conjuguées. — Ces régulateurs, qui sont dus à M. E. Rolland, sont formés de deux systèmes identiques de tringles articulées, à liaisons complètes, situés symétriquement par rapport à Taxe de Tarbre dans un même plan méridien. Des masses sont calculées et disposées sur cer taines tringles, de telle façon que Ton puisse annuler les termes variables qui entrent dans l'expression de la vitesse de régime.
Nous nous bornerons ici à étudier la combinaison la plus simple à laquelle M. Rolland est arrivé :
BE (yîg-. 122) est un bras horizontal fixé en B à Tarbre;
Fig. 122.
B'E', B*E" deux bras horizontaux égaux au précédent, adaptés à deux douilles B', B" qui ont la faculté de glisser le long de Tarbre et dont Tune commande la vanne.
Les points E'' et E' sont reliés par articulations en C" et C par deux tringles C"E^ CE' à un levier à angle droit CEC
212 QUATEIÈMI PàRTIB« — CHAPITRE DI.
mobile autour d'un axe fixe projeté en E. Les longueurs E'^C", EC'% EC' sont égales.
Les points A, Ai sont les centres de deux sphères égales, situés à la même distance de £ sur le prolongement de CE et surEC.
Soient
P le poids de chaque boule;
a la longueur des tiges EB, E'B', E'^B'';
b celle des tiges E'^C'', C"E, EC CE' ;
c la distance EA ou EAii;
0 Tangle formé par EAi avec la verticale ;
Wt la vitesse angulaire de régime.
38"= a6 sinO, BB'= 26 cosô.
Le travail virtuel de la force centrifuge des deux boules est
IPtv' P(V' (a-f-csin0)ccos0</9H '(a — ccos9)csinBdQ * p ^ = -fvJac(8in9-f- oosôjéW; o
le travail dû au poids des boules,
(b) Pc(cos9 — sin9)e/0.
Comme, en égalant à zéro la somme des deux expressions (a), (b), il n'est pas possible d'obtenir pour w^ une valeur indépendante de 0, on adapte respectivement aux deux bras B'^E'' et B' E' deux poids Q*' et Q' que nous chercherons à calculer de manière à satisfaire à cette condition. Leur somme de travail étant
(c) — Q'rf.BB'-hQ'^.BB'^: --2^{Q''cos0-+-Q'8inô)^,
en faisant la somme des trois expressions (a), (6), (c) et égalant séparément à zéro les coefficients de sin0 et cos0, il vient
BBS RÉGULATEURS. 21 3
Le système peut donc être réalisé si — ^ a^i; dans le cas
de régalité, la portion AiC'EB' des tringles du régulateur deviendra inutile, et la vanne devra être commandée par la douille D'^.
84. Régulateur pneumatique de Larwière.— Ce régulateur, qui sort complètement de la catégorie des régulateurs généralement employés, se compose d'une pompe à air à double effet E {Jig. i23 et 124), mise en mouvement par l'arbre de la machine, dont les deux clapets d'aspiration et de refoulement s, y, dans l'atmosphère, sont placés à chacune des extrémités du corps de pompe.
L'aspiration a lieu dans un cylindre A par l'intermédiaire d'un tuyau T qui, en se bifurquant près du corps de pompe, aboutit aux deux clapets d'aspiration. Le cylindre se termine à la partie supérieure par un cône qui laisse passer à son sommet, à frottement doux, la tige du piston B. A l'extrémité supérieure de la tige est adaptée une boule B', munie d'une embase cylindrique qui vient reposer sur la troncature horizontale du sommet du cône; son extrémité inférieure est articulée à la manivelle d'une tringle horizontale C qui, en tournant, ouvre plus ou moins la vanne.
Au moyen d'une petite roue D, cannelée sur le pourtour, faisant corps avec une vis adaptée à un registre, on peut faire varier à volonté la section d'un orifice qui établit une communication entre l'air atmosphérique et le dessus du piston.
Supposons que, la pompe arrivée à fond de course, la boule repose sur son siège, ce qui correspond à Touverlure complète de la vanne. La pompe venant à se mouvoir, il se pro-r duira dans le cylindre une diminution de pression d'autant plus grande que la vitesse de la pompe sera plus considérable; bientôt le système de B et B' sera soulevé, et l'arbre C fera fermer plus ou moins la vanne; par suite de l'introduction de l'air par Torifice réglé par la roue D, le système BB' retombera sur son siège, et ainsi de suite.
L'ouverture de la vaqne sera d'autant plus rapidement restreinte que la vitesse de Tarbre sera plus considérable. La
2l4 QUÀTRIÈMB PARTIE. — GH4PITEB III.
roue D permet de régler Tintroduction de Tair pour une vitesse moyenne déterminée , qui peut être ainsi maintenue sens!-
Fig. iq3.
blement constante, lors même q ue la résistance utile vient à varier.
DIS EÉGULÂTBURS. ai5
La détente étant très-faible dans le tuyau T, nous pourrons en faire abstraction et considérer l'air comme incompressible.
Soient
P la pression atmosphérique ; n le poids spécifique de l'air à cette pression ; G) la vitesse angulaire de Tarbre de la machine ; A la surface du piston de la pompe; a celle de l'orifice d'aspiration; p la pression variable dans le cylindre; S la surface du piston B; Q le poids du système BB' ; r le rayon de la manivelle de la pompe ; S Tangle dont cette manivelle a tourné à partir d'un point mon.
Nous négligerons l'obliquité de la bielle de la pompe et l'effort très-petit, par rapport à Q, nécessaire pour faire fonctionner la vanne.
La vitesse du piston de la pompe étant wrsinô, celle de
l'air à son entrée dans le cylindre B est wr - sinô, d'après l'équivalence des masses ou des volumes. On a donc
wVsin^ A^ V —p ig à' ~~ n ^
d'où
Soit maintenant z la hauteur à laquelle le piston s'est élevé à partir de sa position la plus basse, ou pour d = o. Il est clair que l'on à
2l6 QUATRIÈME PART». — CHAPITRE III.
en posant pour abréger
nr^S A*
et remarquant que (ùdt = dO.
Pour que l'appareil puisse fonctionner, il faut que, pour une certaine valeur de 6, on ait
ce qui exige que &) soit au moins égal à la valeur cûi, que nous prendrons maintenant pour vitesse angulaire minimum.
L'équation (a) ne sera donc applicable qu'à partir de la valeur ff^ de 6 donnée par
(à) sine'. = ^,
dz pour laquelle le piston B tendra à se déplacer, la vitesse -j-
étant nulle.
Une première intégration donne
— :^ = ( — 5— m(® — ^i— T-2 (sinîi® — smaG', . g dQ \2(*>\ / ^ *' 4 w, *'
Le piston B sera sur le point de retomber pour la valeur ff^ de 6 plus grande que 6', et plus petite que i8o degrés, donnée par l'équation
Enfin on a, pour déterminer l'amplitude totale Zt de l'oscillation,
Soient maintenant
<ùi la vitesse angulaire maximum; Q la vitesse angulaire moyenne;
DBS RfiGULATBURS. 217
- récart proportionnel maximum de (ù, qui est une donnée de
la question et dont nous supposerons la valeur au plus égale à i, de manière à pouvoir en négliger le carré;
9, et 6, les valeurs de 6', et 6*, correspondant à a>j;
A la hauteur à laquelle doit s'élever le piston B pour que la vanne soit fermée.
On devra s'arranger de manière que A = z» pour w = wj. Nous avons^ comme plus haut^
d'où sin
Si maintenant nous posons 6,= y, pétant du même
ordre que -> nous aurons
d'où
et
sin aô, = sin 4/- » cos aô, = — cos 4 /- • L'équation (i) donne la suivante :
qui permettra de déterminer Q, dès que Ton se sera donné r et une moyenne valeur de -•
ai8 quàteièms pârtii. ~ chapitre m.
L'équation (c) donne, pour &> = a.'},
(a) 8mae,= 4(-;-0(9,-f^-Y/^)+8iny/?.
D'après celte formule, on voit que 61 doit peu différer de -1 et l'on aura une première approximation en posant
(.') 8in29, = 4(^-^)y/,^-siny/^,
et enfin une seconde approximation, en portant la valeur déduite de cette formule dans le second membre de l'équation. C'est ainsi que nous avons obtenu les valeurs suivantes :
'^=i e, = 62M4'oo^ 0,= 78»56'28%
(3) \- = -h: 0,= 69^38' Io^ 0, = 86°32'3\
L'écart 6i — ôi ayant à peu près la même valeur dans ces troii^cas, soit environ 16 degrés, un déplacement angulaire égal se produit pendant la chute du piston; de sorte que l'appareil ne fonctionne, ou les étranglements dans l'admission ne se produisent, que pendant | ou ^ de chaque révolution. Ce résultat s'accorde très-bien avec l'observation, chaque oscillation étant en effet d'une très-courte durée.
La formule (d) donne maintenant
I £:(,^î)[îïî5ç:2l!îl.-,..-«,,™„,],
d'où l'on déduira la valeur qu'il faut donner à h.
85. Du mouvement d'une machine à partir du moment où le régulateur entre en fonction. — Reportons-nous au n® 67, dont nous conserverons les notations.
Soient JY(Q)dB, ff{6)dÔ le travail moteur et le travail
