DSS RÉ6UL4TB1IE
résistant utile; Téquation du numéro précité, qui s'applique au mouvement régulier, peut se mettre sous la forme
en négligeant le travail des résistances passives; on déduit delà
Supposons que la résistance utile éprouve une diminution et que f{6) se trouve remplacé par 9(0); 9(6) pourra, par exemple, être égal au prgduit de/(d) par un facteur constant plus petit que l'unité, diminué d'une constante.
Soient (Os la valeur de <ù correspondant au moment où la vanne est sur le point de se déplacer; 62 la valeur correspondante de 9. Pour l'un des régulateurs à boules que nous avons étudiés (76), la fermeture relative correspondant à la vitesse
angulaire w est de la forme A* ( -^ ; 1» ^ étant une
\(ùi (k)V
stante. On a donc, à partir du moment où &) a atteint cos, en supposant, comme approximation, que le travail moteur soit proportionnel au débouché de la vanne.
On ne pourra pas, en général, intégrer cette équation; mais,
si j-^ est assez petit pour qu'on puisse le négliger devant
l'unité, elle se réduit à
et peut se mettre sous la forme
en appelant cù" la valeur de o) pour laquelle la vanne est complètement baissée.
con-
220 QUATRIÈMB PAIT». — GHAPITRI III.
L'équation (3) a pour intégrale
(4) «'-«-ie^^^^'''"^"* r[F(0)-,((,)];K=^*''"'r
Si la résistance utile vient à augmenter, il suffira de remplacer dans^ette formule o)a par la valeur coi de co pour laquelle la vanne est sur le point de se lever, et tù" par celle co' qui correspond au débouché complet.
Considérons, par exemple, le cas d'une manivelle simple à double effet; on a, d'après le n" 69,
P(9)= -QRsinQ, /.(0) = QR.
nous aurons (p(0) = yQR, et, en posant « = TTT^TZrrTs'* ''^'
Supposons que Q ait été réduit à yQ, y étant une fraction,
ttQR
quation (4) donne
(5) w2-w2 = î^e««»4 -(<?-««»•-- <?-»~»^)-- 7 r ^-««**trol,
L'intégrale comprise dans cette formule n'étant pas réductible en fonctions simples, on voit que le problème que nous nous sommes proposé de résoudre présente, dans l'un des cas les plus élémentaires, des difficultés de calcul inextricables. Néanmoins il ne nous a pas. paru inutile de poser la question.
(*) En supposant que l'on ait constamment Y(6)> f (B), le maximum que « atteindra sera inférieur à ta" t valeur pour laquelle, d'après Téquation (3),
-jT- est négatif; m décroîtra ensuite sans pouYoir atteindre la valeur m,, pour laquelle —r^ est positif. On comprend ainsi comment, par l'effet des résistances passives, que nous avons négligées, il s'établisse, après quelques périodes oscillatoires de a», une vitesse de régime comprise entre les limites a», et m''.
DIS tÉGUULTIURS. 221
NOTE
D£ l'influence d'uNB RÉSISTANCE CONSTANTE SUE LE MOUVEMENT OSCILLATOIRE d'UN CORPS, PRODUIT PAR UNE CAUSE PÉR10Diq|/E.
1. U est à peu près impossible de se rendre compte, a priori, de l'effet produit par une résistance constante ou un moment constant sur un mouvement oscillatoire de translation ou de rotation autour d'un axe, d'un corps solide, dû à une cause périodique.
Supposons que le mouvement oscillatoire soit défini par une équation de la forme
k-^ = Bcos(nt-he)±Oj
s étant l'angle que forme le plan méridien d'un véhicule avec un plan vertical de direction fixe, A, B, /i, e étant des constantes, de même que^, qui représente le terme dû à la résistance, et que l'on devra prendre avec le signe — ou le signe +, selon que la vitesse sera positive ou négative. Si l'on choisit convenablement l'origine du temps, on peut supposer
e=o; en remplaçant n par /, j par -7- ^^S s par 7, l'équation ci-dessus prend la forme plus simple
— = cosrdz7.
df Par la nature même du problème , la vitesse -7- sera nulle à certains
instants; si 7 était supérieur à l'unité, il arriverait un moment où le mouvement oscillatoire ne pourrait plus se continuer; laissons de côté ce cas, qui ne présente aucun intérêt, et posons 7 = cosa. Nous aurons
(i) ^ = cosr±cosa.
Nous pouvons, si l'on veut, considérer cette équation comme étant celle du mouvement d'un point oscillant suivant une ligne droite, s représentant le chemin parcouru.
QUATRIÈMI PARTIE. — GHAPITRl HI.
2. Décrivons une circonférence d*un rayon quelconque OA, de centre O, et soient
AOA', BOB' [fig. 125 et ia6) deux diamètres rectangulaires; Flg. laS. Fig. 126.
t l'angle que le rayon Om fait avec OA ;
f le nombre de circonférences que comprend cet angle;
a le point de la circonférence OA défini par Fangle aOk = ol.
Nous rappellerons que Tangle /', immédiatement supérieur à /, et qui a
le même sinus, est
lorsque m se trouve entre A et B, et
quand m se trouve entre A' et B'.
Soit t^ le temps au bout duquel le mobile atteint une position pour laquelle sa vitesse est nulle. Si Ton a cosr, > o, on doit prendre, tant que la vitesse ne change pas de signe ni de sens,
-j^ = cosr — cosa,
Dans le cas où cos^^ serait négatif, il faudrait employer Féquation
-Tj = cos/-f- cosra.
qui rentre dans la précédente, en y changeant r en r -h ir et s en — j; nous sommes ainsi conduit à supposer cos/q > o, et à faire usage de réquation (2).
3. Si cosa =r cosf,, on ne voit pas a priori ce qui doit se passer. Il est clair que le mobile reste d'abord au repos pour t = /,. Quand on a sin /, > o,
DES HfiGULATIUftS. àfki
co&t allant en diminuant, le mobile continue à rester au repos; cos^ devient ensuite négatif, et alors on doit prendre la formule (2'), qui ne sera toutefois applicable qu'à partir du moment où l'on aura — cosr>cosa, et c'est alors seulement que le mouvement oscillatoire continuera.
Lorsque sin/^ < o, cos^ va en augmentant, et le mouvement a lieu sans délai.
L*équation (2] donne, en appelant V la vitesse,
ds
(3) V = ^ = sin/ — sinr^ — (' — '0) cosa,
et, en mesurant le chemin parcouru s à partir du point correspondant
(4) s = — cos/ -+- COS/g — • (/ — t^) sin/j — cosa ( 5 j •
Comme pour r = ^^ le second membre de l'équation (2) est positif,
V croit à partir de zéro et est positif; il atteint son maximum lorsque cos/ = cosa, et enfin devient nul pour la racine t^y immédiatement supérieure k t^, de l'équation
(5) sin/j — sint^ — cosa(^j — t^) = o.
De ce que V> o pour cos/ = cosa, la position m, de m correspondant à r = r, ne peut se trouver qu'au delà du point a. Pour une même valeur de /, mais en faisant varier l'angle a, on a
^=sm«(r-/J.
V croît donc avec a et atteint son maximum lorsque a = 90^* ; il suit de là que, générîdement, t^ est inférieur à la valeur qui correspond à a= 90**. Car si, pour une certaine valeur de a , V est nul , pour une valeur plus grande, V est positif. Daijis le cas limite on a sin?', = sin/^, et, en substituant cette valeur dans le second membre de l'équation ( 3 ) , on obtient
— cosa (£; — /,), qui est effectivement négatif, comme cela devait être.
Première oscillation,
4. Premier cas : sint^ > o [fig. laS) , ce qui , avec la supposition de C08f,> o, indique que le point m^ de la circonférence correspondant à l'angle /<, se trouve sur ce premier quadrant AB , et est placé entre a et A, puisque cos^o > cosa.
aa4 QUATllftMB PAITIB. — GHAPITU UU
Soient
m\^ a' les symétriques de m^ et a par rapport à B'B^
a', a"* les symétriques de a' et a par rapport à AÂ'; m\ correspond à
(4/-Hi)7r — <•, d*où il suit que m^ ne peut se trouver que sur
Tare aBn/^.
Si le mouvement oscillatoire continue immédiatement après que Ton a / = /p il est défini par la condition (2'), pourvu que
— cos^i > cosa,
ce qui exige que la position m^ correspondant à t^ se trouve entre a' et m\. Il faut donc pour cela que r = aiV -4- tt —a = (a/ -4- 1) tt — a rende V positif, ou que
(6) sina — sint^ — cosa [(2/ -4- 1) tr — a — rj > o.
Si Ton désigne, pour abréger, le premier membre de cette inégalité par ?, en faisant varier /« depuis ai7r jusqu'à a/7r + a, on a
-2 = — cos/. -4- cosa < 0.
La fonction f de /« est donc décroissante et sera positive pour t^ = aiir si
tanga > îT — a ou a > 64*,
et négative pour e^ = 2i7r + a. Pour toutes les valeurs de a comprises
entre 64 et 90 degrés, il y a donc une valeur t'^ ^^.^ " qui annule f,
et lorsque t^ < ' 0
la condition est satisfaite.
On a pour
2/tr -i- 70^
Lorsque Ton aura ? ^ / > ou a < 64°, le mouvement s'arrêtera jusqu'au
moment où le point m viendra en a', et c'est seulement à partir de ce moment que commencera la seconde oscillation.
5. Deuxième cas : sin/^ <o (^g. 126), ce qui, avec cos^o > o, indique que m^ se trouve sur le quatrième quadrant, et, comme cosr«> cosa, il ne peut être situé qu'entre a" et A. Dans le cas actuel, on a
DES RfiGULATEURS. 29.5
cette limite supérieure correspond au symétrique ni^ de m^ par rapport àBB'.
Comme V est maximum en a, le point /ti, ne peut se trouver que sur l'arc a^m\ . S'il tombe entre m\ et a\ on a — cos / > cos a, et le mouvement oscillatoire continue sans interruption ; pour qu'il en soit ainsi, il faut que
/, > (21 H- 2)7r H-TT — a = (2/ H- 3)w — a,
OU que cette limite, substituée à /, rende Y positif, ou enfin que sina — sinr^ — cosa[(a/H- 3)ïr — a — ;J>o.
En désignant par cp le premier membre de cette inégalité, on a ^ = - cosr„ -4- cosa,
qui est négatif pour toutes les valeurs admissibles de /,, c'est-à-dire pour
U<i ' \ ; P^r conséquent f est une fonction décroissante de r«
entre les deux limites ci-dessus.
Lorsque *
on a
f = 2sina — wcosa,
et cette valeur sera positive si
tanga > - ou a > 57° So'environ ;
t est positif si
tangaH- a> w ou a > 64^
Pour a compris entre 67* 3o' et 64 degrés, il y a donc une valeur ''• ^. '"^ N ^"~* de r. qui annule ?, et pour /- <?'. le mouvement
oscillatoire n'éprouve pas d'interruption, comme pour a > 64**.
Lorsque
a = 57°3o', on a /; = ( 2/ h- 2) tt — 57°3o',
64", (2/H-2)tr.
Si m, tombe entre B et a!^ on a — cos/^ < cosa; le mouvement s'ar- 111. i5
226 QUATRIÈME PAETIB. — CHAPITRE IIK
rête jusqu'au moment où — co8^ = cosa, c'est-à-dire lorsque m est venu en i/. Cette circonstance se présente quand f = (2/ -h 2) ^ -h - rend V positif, ou quand
I — Sin/^ — COSa I (2/-H2)7r-H - ^ t^ j>0.
Si le premier membre 7 de cette inégalité est une fonction décroissante
de t^ entre '• ^ J ' \ — ' ^^^ fonction est positive pour a = 90°
et négative pour a = o. Elle s'annule pour a = 40"* 3o' environ ; de sorte que m^ se trouve entre ^ et B pour les valeurs de a comprises entre 4o'»3o'et 57«3o'.
Pour a < 40° 3o', m^ tombe entre a et B; cost^ est positif, mais inférieur à cosa; il y a donc un temps d'arrêt jusqu*auaanoment où m, ayant dépassé B, arrive en a', et c'est seulement alors que commelîéë la seconde oscillation.
En résumé, pour qu'il n'y ait pas d'interruption dans le mouvement,
a> 57*30' il faut que a < 64° 3o', on /^ /
Oscillations successives,
6. Examinons maintenant ce qui se produit à la fin de la seconde oscillation.
De la formule (2') on tire
ds
(7) Y= -j = — sin^ -h sin/, — cosa (/ — /,)
ou, en ayant égard à Féquation (5),
(8) V= — sin^-+-2sin/, — sin/^ — (^ — '«)cosa.
. ^ -, sin^>o 8inr,>o a>64° ,, .^
Premier cas (yfg-.iaS) : ^;^^^, ^;^^^, ^^J^ ; en dautres
termes, w, tombe entre a* et m\.
Soiept /, le temps au bout duquel se termine la seconde oscillation et iif, la position correspondante de m. On a
(9) — sin/, -H sin/, — (r, — /,) cosa = o. Si, dans l'équation (8), on fait r = ^^ -h 27r, on trouve
V= 2(8in^, — sin/,) — [t^ -h 2ïr — /,) cosa ;
DES RÉGOLàTBUBS* 227
d*où, en vertu de la relation (5),
Le point ut, se trouve ainsi au-dessous de m«, et, àfortioriy d'après ce que Ton a vu plus haut, m^ est compris entre d et la symétrique m\ de m^ ; la quatrième oscillation succède donc immédiatement à la troisième.
Les points /ti,, /n^,. . . s'approchant de plus en plus de a"^ il arrivera on moment où m^j se trouvera entre a!" et a!*^ et il y aura un arrêt en a"* entre la 27*^^ et la ( 2/-+- 1)**^ oscillation; mais, à partir de ce moment, le mouvement prendra un caractère périodique, et il y aura un arrêt constant entre une oscillation de rang pair et la suivante.
Deuxième cas : Des conditions précédentes, / ^ 1 * ^ ^ sont
^ ' cos/,>o cos/, <0
les seules qui subsistent; en d'autres termes, m, tombe en deçà de a\ et
il y a un arrêt en ce point ; mais à partir de là tout devient périodique.
Les oscillations seront donc toutes périodiques et séparées Tune de l'autre
par un arrêt constant.
Troisième cas : ^^ / ^ ^ ou < 57**3o' où [fig. 126) le point m, tombe sm/,<o «CT/ » v.'o ' ^ «
entrer' et iw',.
Les circonstances se produiront de la même manière que dans le premier cas, c'est-à-dire qu'au bout d'un certain temps les oscillations de rang pair commençant à partir de al* seront identiques et séparées des oscillations de rang impair par un arrêt constant.
Quatrième cas : Des conditions précédentes, les suivantes seules subsistent :
cos/o>o, sin/„<o.
n y a un arrêt entre la première et la seconde oscillation, puis les choses se passent comme dans le premier cas.
Des oscillations périodiques,
7. Nous sommes, par ce qui précède, ramené aux oscillations qui ont pour point de départ a', a" ou d". Nous choisirons le dernier de ces points.
Reprenons l'équation (5), en y supposant /, = 2/7r — a; si nous posons f, = 2i7r -f- x, nous aurons
sin^ — X COSJC = a cosa — sina,
228 QUATIIÈMB PAITIB. — GHAPITEB III.
d'où l'on déduit les résultats suivants : '
io",
ia8«3o'.
iSS",
iSg-So',
Pour que la seconde oscillation succède inunédiatement à la première, il faut que Ton ait a: > tt — a, ce qui n'a lieu qu'à partir de a = 60**. Audessous de cet angle, on a, pour la durée de l'arrêt iz — a — x, entre la première et la seconde oscillation,
i5o° pour
La seconde oscillation est identique à la première, et ainsi de suite.
Pour calculer la durée de la seconde oscillation lorsque a > 5o'', nous appliquerons l'équation (9), qui donne, en y faisant r, = 2/7r -4- s
et ^, = 2«7r-+-X,
sinz H- z cosa = sinx h- x cosa,
pour a = 6o*, z = 1 38* z — j:( durée de l'oscillation ) = 9** 3o' 70*», 160** ( » ) 2%
La dernière des valeurs de z — x étant négative, les premières oscillations de rang pair n'existent plus à partir de a = 80®, comme pour a = 90°, cas pour lequel le mouvement est continu.
Les arrêts entre les oscillations de rang impair et celles de rang pair, mesurées par w — zH-(7r — a) =27r — (2 -h a), sont :
pour a = 60**, 162**,
Pour a = 80**, l'arrêt entre deux oscillations consécutives est w — x-hTT — a = 91°.
DBS RÉGULATEURS. 229
Ainsi, au bout d'un certain temps, qui pourra être très- long si a est très-voisin de 90 degrés , le mouvement devient périodique ; mais deux périodes consécutives sont séparées par un arrêt constant.
En résumé :
i"" Au bout d'un certain temps, dépendant des conditions initiales du mouvement, et qui sera d'autant plus long que a différera de moins de 90 degrés, le mouvement devient périodique;
2° Au-dessous d'une valeur 0L^ de a comprise entre 5o et 60 degrés, deux oscillations sont identiques, mais sont séparées par un arrêt constant;
3*" Dans les autres cas, on a une série de groupes de deux oscillations consécutives non identiques ; deux groupes successifs sont séparés par un arrêt constant, qui devient nul lorsque a atteint 90 degrés.
Ces différents résultats sont en désaccord avec ce principe a priori posé par Laplace : Véeat d'un système matériel dans lequel les influences des conditions initiales du mouvement ont disparu par suite des résistances développées dans ce mouvement est périodique comme les forces qui sollicitent ce système,
La périodicité, telle qu'elle est comprise dans cet énoncé, ne peut avoir lieu que si les résistances sont des fonctions impaires de la vitesse.
SSO QUATBIÈHB PARTIE. — CHAPITRE IV.
