CHAPITRE IV
DU CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES OtJ LE MOUVEMENT EST UNIFORME.
86. Nous avons vu que, lorsqu'une machine ne renferme que des pièces tournantes, le mouvement devient uniforme bientôt après la mise en marche ; que lorsque dans la compo* sition d'une machine il entre des pièces oscillantes on limite, par remploi d'un volant, l'écart maximum de vitesse à une faible fraction de la vitesse moyenne; déplus, on s'arrange de manière que le mouvement des pièces oscillantes reste aussi lent que possible.
On voit ainsi que, dans tous les cas, on peut calculer, sans erreur sensible, le travail absorbé par les résistances passives, en négligeant l'inertie des organes de la machine.
Nous allons maintenant examiner successivement les résistances passives les plus importantes, et déterminer leurs effets sur les pièces, considérées isolément, qui entrent le plus ordinairement dans la composition des machines.
§ I. — Frottements de glissement.
87. Afin de faire bien apprécier l'importance du travail absorbé par cette résistance, nous avons cru devoir placer ici un tableau contenant les moyennes des principaux résultats des expériences de Coulomb et de M. Morin sur la détermination du coefficient de frottement de glissement.
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. sSl
Surfaces planes.
Corps en contact. A sec.
Bois sur bois. o,45
Bois sur métal o,36
Métal sur métal o, i8
Cuir sur bois 0,82
Cuir sur métal o, 56
Corde de chanvre sur bois.. . . o,5o
Bnmide.
Graisse renoaTolée
Tourillons sur coussinets.
Métal sur métal.
Métal sur bois..
A see
on
pen onctnenx.
A l'état ordinaire Enduit on sans cesse
très-onctneax. renonTclé.
88. Du coin. — On donne généralement le nom de coin à un corps solide placé entre deux autres (A), (B) ou les deux parties d'un même corps, et qui, sous l'action de forces extérieures, sépare ou tend à séparer (A) de (B).
Le plus ordinairement la surface du coin présente un angle dièdre dont les faces sont en contact avec (A) et (B); en limitant le coin par trois plans, dont deux sont perpendiculaires et le troisième parallèle à l'arête de l'angle dièdre, on obtient un prisme ou coin triangulaire dont nous nous occuperons exclusivement dans ce qui suit : la face opposée à l'arête est la tête du coin.
Le ciseau, le burin, le tranchant du rabot, les dents de la scie, les aspérités de la lime, et en général la plupart des outils ne sont autre chose que des coins.
Supposons qu'un effort P [fig* 1^7 ), vertical si l'on veut pour fixer les idées, agisse normalement à la tête AB pour séparer ( A } et ( B ), et soient m, m' les points de contact du coin, avec ces deux corps, qui sont censés situés dans le plan passant par la direction de P mené perpendiculairement à l'arête C, on voit que l'on est ramené à considérer ce qui se passe dans ce plan.
Soient
QUATRIÈMB PARTIS. — GHAPITBB lY.
N, N' les réactions normales de (A), (B); /le coefficient de frottement;
y, S les angles formés par AC et CB, avec la perpendiculaire CI abaissée du point C sur AB.
Fig. 127.
Si le sommet C s'éloigne ou tend à s'éloigner de m, m\ les réactions tangentielles N/, N'/ seront dirigées comme l'indique la figure.
Les conditions d'équilibre de translation établies pour les directions de AB et Cl s'expriment par les équations
N/sin7 — NCOS7 -+■ N'cosiî — N'/sin^ = o, P — Nsin7 — N/COS7-- N'siniî — N'/cos^ = o;
d'où, en remarquant que y -4- d est l'angle C,
P(cos^ — /sin^) (i — /^)sinC-H2/cosC'
P(co87 — /8in7) (i— /^)sinC-+-2/cosC*
Pour que le coin ne tourne pas dans son plan, il faut que le moment des forces qui le sollicitent, par rapporta un point
CALCUL DES RtSlSTANGBS PASSIVES DANS LES MAGHINESy ETC. 233
quelconque, m par exemple» soit nul, ce qui établit certaines relations de position entre les points d'application de P, N, N', et que nous supposerons remplies.
Pour que les choses se passent comme nous Tavons supposé, il faut que les valeurs ci-dessus de N et N' soient positives, ou que
cosiî — /sin^> o, cosy— /8iii7> o
ou encore,, en désignant par a Tangle de frottement, que
d*où
Lorsque cette condition n'est pas remplie, le coin, au lieu d'écarter (A) et (B), tend à être repoussé, ce qui explique pourquoi on ne parvient pas à enfoncer un coin trop obtus.
Proposons-nous maintenant de déterminer la valeur que doit avoir l'effort P pour que le coin ne sorte pas ou que (A) el (B) ne se rapprochent pas. Les frottements étant dirigés en sens inverse de ceux du cas précédent, il nous sufBra de changer/en —/dans les formules (i) pour obtenir celles qui se rapportent au cas actuel, ce qui donne
^ P(cos^H-/sin^) ~ (i-/^)sinC-2/co8C'
^,^ P(cos7-+-/sin7) (i — /*) sinC — 2/cosC
Pour que ces deux valeurs soient positives, il faut que
(i— jP)sinC — a/cosC>o, d'où C>2a.
Si cette condition n'est pas remplie, il faudra que P soit négatif, ou que l'on exerce un effort de traction sur le coin pour le dégager de (A) et(B).
Revenons au cas que nous avons examiné en premier lieu et proposons-nous de déterminer le coefficient d'effet utile du coin.
Soient
A'B' la position qu'occupe la tête à la suite d'un déplacement
infiniment petit du coin, parallèle à Cl; C la nouvelle position du sommet; rf5 = AA' = BB'.
Le travail élémentaire dépensé est^ en ayant égard à la première des équations (i),
coso— /sma
Or récartement de (A) et (B) n'est dû qu'aux forces N, N', dont le travail total représente ainsi l'effet utile. En remarquant que les distances de A' C à AC, de B' C à BC sont respectivement rf^siny, rfssind, le travail élémentaire utile. est
(Nsin7-hN'sin(y) ds^
et en le divisant par l'expression ci-dessus, après avoir exprimé N' en fonction de N au moyen des équations (i), on obtient, pour le coefficient d'effet utile,
.«. __ sinC— 2/sin7Sin(y sinC-+-/[cosC — 003(7 —^)] ^^ '^ - (i -/») sinC -h a/cosC "" (1-/^) sinC h- a/cosC
Si l'angle C est donné, x, sera maximum quand l'un ou l'autre des angles y, d sera nul, c'est-à-dire quand le coin sera rectangle. Le rendement sera minimum, au contraire, quand on
aura y = d = - ? c'est-à-dire quand le coin sera isoscèle.
On reconnaît ainsi, comme nous l'avons annoncé au n" 61, l'influence que peut avoir la forme de l'outil sur la quantité d'ouvrage exécutée pour une dépense de travail donnée.
89* applications à la presse à coin. — Nous nous bornerons à donner une description sommaire de cette machine qui sert à comprimer certaines matières pour en réduire le volume.
La matière à comprimer M {fig. 128) est placée entre un mur J et un plateau vertical faisant corps avec une poutre ho-
CALCUL DBS HfiSISTANGBS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. a35
rizontale l, dont H représente le support. L'extrémité de cette poutre, opposée à J, est taillée suivant rinclinaison de rhypoténuse AB d'un coin rectangle ÂBC, dont l'un des côtés
Fig. 138.
d'angle droit est vertical et s'appuie contre un obstacle K. On comprend qu'en exerçant un effort normal P sur la tête AB on puisse comprimer la masse M à un degré déterminé. Soient
I 0 la réaction de M sur la poutre 1, qui est horizontale, égale
et contraire à l'effort de compression ; N* la réaction normale du support H sur I ; fie coefficient de frottement correspondant.
En ce qui concerne le coin, nous conserverons les notations du numéro précédent.
En supposant d = o dans la première des formules (i), on trouve
(i-/')sinC-f-2/cosC
Si Ton remarque que la pièce I est en équilibre sous l'action de Q, N*", N"/ et de deux forces égales et opposées à N, N/,
on a
Q -t-NY^-^-N/sinC- NeosC = o,
N" — N/cosC — N sinC = o ;
d*oii, en ayant égard à la valeur ci-dessus de N,
p o (i~/')tangC^2/
^ i-ytangC-/"!/-^ tangC)'
QUATRIÈME PABTIB. — CHAPITBB lY*
formule qui fait connaître l'effort que Ton doit exercer sur la tête en coin pour vaincre une résistance à la compression déterminée.
