Des tiges guidées, — Les équations du n** 143 de la
dv deuxième Partie, en y faisant -^ = o, donnent la solution de
cette question; mais cette solution peut recevoir une simplification notable en procédant de la manière suivante :
Supposons, pour fixer les idées, que le mouvement de la tige considérée soit vertical, qu*elle s'élève sous Faction d'un système de forces ou de leur résultante appliquée en B
Fig. vig.
•la— >►
{fg. 129), et dont nous appellerons X, Y les composantes horizontale et verticale.
Soient
2/ la distance des deux couples de guides, A, A, et A', A', ;
le l'épaisseur de la tige ;
0 le milieu de la portion de son axe de figure comprise entre AA., A' A'.;
X, y les distances du point 0 à Y et X ;
/4e coefficient de glissement que nous supposerons le même pour les quatre appuis; toutefois, nous représenterons par/' ce même coefficient pour A', A\, pour faciliter la discussion, comme nous le verrons ci-après.
Admettons, sauf vérification ultérieure, que la tige s'appuie contre les guides A, A' situés du même côté de Taxe de la pièce, et dont nous désignerons par N, N' les réactions normales. Nous aurons pour les conditions d'équilibre de la tige, en prenant le point 0 pour centre des moments.
(0 d'oii
(N -- N') / - (N/-+- N'f)e-^Yx--Xjr=o;
Pour que les choses se passent comme nous Tavons supposé, il faut qu'après avoir supposé/' =/ on obtienne pour N et N' des valeurs positives; et, s'il en est ainsi, la première des équations précédentes fera connaître la relation qui doit exister entre X et Y pour que le mouvement de la tige soit uniforme.
Hais supposons, par exemple, que l'on obtienne pour N' une valeur négative, il faudra faire une autre hypothèse sur le choix des guides qui doivent fonctionner; celle qui offre la plus grande probabilité de réussir consiste à substituer A', à A'; mais on voit de suite que les formules (2) s'appliqueront au cas actuel, en y remplaçant N' par — N', et comme le frottement ne change pas de sens, /' par — - /, excepté dans les termes en e, parce que le moment de N'/' change de signe. Si l'une des valeurs de N, N' était négative, on essayerait les deux autres hypothèses, dont l'une naturellement doit réussir.
91. Fis à filet rectangulaire. — Nous admettrons, pour fixer les idées, que Técrou est fixe et que l'axe de la vis est vertical. Nous supposerons que la vis est sollicitée par une force Q, dirigée suivant son axe [fig. i3o), et, pour ne pas avoir à tenir compte de frottements latéraux, que cette force et le
a38 quàtrièmb pàitib. — chapitre iy.
frottement sont maintenus en équilibre par un couple (F, — F) de bras de levier a, perpendiculaire à l'axe ci- dessus.
Fig. i3o.
Soient
r le rayon du cylindre de l'hélice moyenne du filet;
I l'inclinaison de Thélice sur un plan perpendiculaire à Taxe;
/ le coefficient et a l'angle de frottement de la vis sur l'écrou.
La saillie du filet étant relativement très-faible, on peuti sans erreur appréciable, supposer que les réactions normales de l'écrou sur ce filet se réduisent à des forces réparties sur rhélice moyenne. Nous considérerons, dans ce qui suit, le moment Fa comme positif ou négatif selon qu'il tendra à faire descendre ou remonter la vis.
Désignons par N la réaction normale de l'écrou sur la vis correspondant à un élément de l'hélice moyenne.
1° Supposons d'abord que Q tende à faire descendre ou fasse descendre la vis d'un mouvement uniforme. Dans ce cas, c'est la partie inférieure du filet de l'écrou qui réagit sur le filet de la vis, et à l'inspection de letjig. i3o on voit que les conditions d'équilibre de translation de la vis parallèlement à l'axe et de rotation autour de cet axe s'expriment par
Q = 2N (cosi -+-/sini) = (cosi -+■ /sini) 2N, Ffl = 2N(/c08i-- 8ini)r= r(/cosi — sin/)2N;
d'où, par réiimination de 2N,
' cosi-h/sini ^ °^ ^
SI ï <«> le couple devra tendre à produire le mouvement;
Si I =: à, la force Q fera équilibre au frottement;
Enfln, si i^oL^ il faudra appliquer à la vis un couple tendant à s'opposer à un mouvement de descente.
2° Supposons maintenant que la vis ait une résistance à vaincre (c'est ce qui arrive notamment quand on serre une vis dans du bois ou du métal); nous devrons, dans ce qui précède, changer Q en — Q etN en — N, puisque c'est la partie supérieure du filet de l'écrou qui réagit, et enfin /en —/, puisque le frottement ne change pas de sens. On trouve ainsi
/«\ 1? r\ Sin/-f-/cOS/ rk * / x
[%) Fa=Qr : — ^V^— . = Qrtang(a-f- /).
Pour que l'on puisse serrer la vis, il faut que Fa>> o ou
Pour i>9o"— a le serrage sera impossible.
La formule relative au dévissage s'obtiendra en changeant /en —/dans la précédente.
On arriverait à des résultats semblables à ceux que nous venons d'obtenir en supposant la vis fixe et l'écrou mobile sollicité par la force Q et le couple (F, — F).
92. Fis à filet triangulaire. — Conservons les notations du numéro précédent en considérant le premier cas que nous avons examiné.
Soient (^g-- i3i)
mz la verticale du point m du filet où s'exerce la réaction normale N ;
my la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe de la vis ;
mx la portion de l'horizontale perpendiculaire à my située en sens inverse du mouvement de rotation de la vis;
24o QUàTRIÈMB PÀRTIB. — CHAPITRE IV.
X rincIinaisoQ du profil du filet sur mj;
a, p, y les angles formés par N avec mx^ mj, mz.
Fig. i3i.
En exprimant que la direction de N est normale à mx, my,
on a
co8acos/-+- cosysin/ = o,
008^008^ 4- CO87 sinX = o ; d'ailleurs
008^ a -4- COS^P H- 008*7 = ' >
d'où
COSa =
v/i -h tang*/ -f- tang*7
— tangi /i-K tang^i-f- tang'X
Les équations d'équilibre de translation et de rotation soni par suite
Q = z (NCO87 ^- N/sini) = 1 -7=
\v/iH-
F«=r2(N/cosi — Nc08a)= |/<
^ sini ) IN, lang'/ H- tang^X /
-/sini
v/i^tang*
tang/ \
ang*/-+-tang*X/
d'où
„ rk /co8/Vi -h tang*/ -h tang*X — tangi p û = ur •
fsiai ^i -h tang'i ■+• tang'X -h i Cette équation se discutera de la même manière que Téqua-
CALCUL DES RfiSISTÀNGSS PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 24 1
lion (i) du numéro précédent à laquelle elle conduit d'ailleurs, en supposant X = o.
93. Frottement des tourillons sur leurs coussinets. — La considération du mouvement d'un tourillon sur son coussinet se ramène à celle d'une section faite par un plan perpendiculaire aux génératrices.
Soient (^fif. iSa)
Fig. i32.
C le centre du coussinet;
0 la position du centre du tourillon lorsque Tarbre est au repos, le tourillon reposant, par son point le plus bas m, sur son coussinet;
p le rayon 0 m du tourillon.
Dès que, sous l'action de la force motrice, Tarbre se met en mouvement, de la gauche vers la droite, par exemple, le tourillon roule à droite sur le coussinet jusqu'au moment où sa réaction tangenlielle atteint son maximum, c'est-à-dire la valeur du frottement de glissement.
Soient maintenant
0| la position que prend alors le centre du tourillon ;
m, son point de contact avec le coussinet;
F la résultante des forces qui agissent sur le tourillon, estimée
dans le plan de la figure, et qui passe nécessairement par
le point m,; N la réaction normale du coussinet en m, ;
2^2 QUATtlÈMB PAETIB. — GHAPITRI IT.
A l'intersection de la direction de F avec la verticale du
point 0 ; y l'angle connu mAnit; 9 l^ngle inconnu mCntt.
On a^ d'après la figure, en se rappelant que l'angle Cmi est égal à l'angle de frottement <x,
ei, pour rétendue du roulement.
comme on a F= N y^i-f-/', le moment du frottement, pris en valeur absolue, a pour expression
Les mêmes considérations s'appliquent au frottement de l'œil d'une poulie sur un tourillon fixe.
94. Équilibre des forces appliquées au treuil en ayant égard au frottement. — Pour fixer les idées, nous supposerons que Taxe du treuil est horizontal et que la résistance à vaincre Q est verticale.
Soient [fig. i33)
Fig. i33.
P la puissance censée comprise dans un plan perpendiculaire à l'axe;
CALCUL DES RÉ8ISTANCBS PASSIVES DANS LB6 HAGHlNESy ETC. 3^^
a, a' les disuoees de ce plan aux milieux Â, A' des portions des axes des tourillons comprises dans les coussinets;
b^ V les distances aux mêmes points du plan perpendiculaire à Taxe déterminé par la direction Q;
R le rayon de la roue tangentiellement à laquelle a^it la force P;
fie rayon du cylindre;
p celui des tourillons;
9 Tangle que forment les directions de P et Q.
Le mode de répartition des réactions normales de chaque coussinet sur le tourillon qu'il reçoit est inconnu; mais, comme la largeur du coussinet est relativement faible, on peut, sans grande erreur, supposer que leur résultante passe par le milieu A ou A' de la portion du tourillon renfermée dans le coussinet. Désignons par N, N' les réactions normales des coussinets en A, A'.
La force Q se décompose en deux autres parallèles à sa dî-
reciion Q r t7» Q t — r;» comprises dans les plans (S), (S')
perpendiculaires à Taxe en A, A' ; la force P se décompose
de la même manière en deux forces parallèles P
-, ï comprises dans ces mêmes plans. Mais la première d'entre elles, par exemple, peut être considérée comme la résultante des forces verticale et horizontale P >cosç,
-. sînç. Il suit de là que la résultante des forces com-
prises dans le plan (S), qui passe nécessairement par le milieu de l'arête de contact du tourillon et du coussinet, a pour expression
en remarquant que b -{- 6'= a -+- a' ; le moment du frottement est par suite
- N/p = - ;7. v^(Pa'cosyH-y6'j' + i-./^sm>.
a44 QOATRiftMi Part». — chaprrb it.
On obtiendrait de même» pour le moment du frottement relatif à l'autre tourillon,
(a-Hû')vT-t-/"
L'équation des moments est par suite
( PR - Qr ^^ [i/l P«' cos^ -h ^ib'Y-^^'à' gin'»
- V^(Pfl 008^-^06)=' -H P»«*8in^f] =0.
SI les forces P et Q sont parallèles ou si 9 ^ o, l'équation précédente devient
PR-lQ,.-..^ (P^Q) = 0,
et fera connaître l'effort P qu'il faut exercer tangentiellemenl à la roue pour faire équilibre à la résistance utile Q et aux frottements des tourillons.
Mais, si 9 n'est pas nul, en faisant disparaître les radicaux, l'équation (i) est du quatrième degré en P, de sorte que la solution du problème est assez compliquée ; mais on peut la simplifier en remplaçant, par approximation, en vertu d'un théorème dû à Poncelei, chacun des radicaux par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il renferme (* ), ce qui sera généralement possible, car une discussion simple permettra généralement de voir a priori quelle doit être la plus grande de ces deux racines. Supposons, par exemple, que dans chaque radical le premier carré soit supérieur au second; nous aurons, pour déterminer P, l'équation
(2) PR~Qr=-iL= [o,96(PcosçH-Q)-f-o,4oP8inç],
en commettant une erreur relative au plus égale à y^ du terme dû au frottement, qui est déjà relativement petit.
On peut encore opérer autrement en négligeant devant l'unité le carré du frottement, qui est toujours une petite frac-
(*) Voir la Note placée à la fin du Chapitre.
tiOD. En supposant /= o, l'équation (i) donne, comme première approximation, P = Q ^ ; en portant cette valeur sous les radicaux, on trouve
Enfin, si dans l'équation (i) on suppose a = a' = 6 = 6', r = R, elle devient celle de la poulie, dont nous nous occuperons plus loin d'une manière spéciale, en tenant compte en même temps du frottement et de la roideur des cordes.
95. Du frottement des épaulements et des pwots. — Soient Q la résultante des efforts longitudinaux qui agissent sur un arbre; r„ r, les rayons extérieur et intérieur d'un épaulement; dans le cas d'un pivot, on supposera r. i= o.
Comme on ne connatt pas le mode de répartition des pressions de l'épaulement sur le palier, on fait une hypothèse qui consiste i supposer que ces pressions sont uniformément réparties sur la surface de contact.
Mais alors on retombe sur le problème résolu au n"" 1^7 de la deuxième Partie, et l'on a pour le moment du frottement
S^-' rj-r; ~ 3 ^-^ r,-¥^r.
Si l'on appelle r' le rayon ^' ^* de la circonférence moyenne
de la zone de contact; / la largeur Ti — r» de cette zone, on reconnaît sans peine que le facteur de Q/ou le bras du levier moyen du frottement prend la forme
et l'on voit que l'on pourra prendre cette longueur égale à r' toutes les fois que / sera petit par rapport à ce rayon.
246 QDÀTRlkMI PàRTIB. — CBÀPITRB IT.
96. Du frottement dans les articulations.-- Soient (Jig. 1 34 ) BÂ, AB' deux pièces articulées en A;
Fig. 134.
p le rayon de l'articulation;
S, S' les centres instantanés deBA, AB', tous deux situés sur la normale à Télémenl que décrit le centre de l'articulation ;
û), w' les vitesses angulaires correspondantes.
Concevons que Ton Imprime à tout le svstème une rotation, autour de S, égale et contraire à g), de manière à ramener BA au repos; la pièce AB' tournera alors autour du point fixe A avec la rotation w' — w, et le glissement élémentaire de l'articulation sera ±:p(&)'— w) rfx, en prenant le signe ±: selon que Ton aura cû'^a. Si F est la résultante des forces qui agissent sur AB', le travail élémentaire du frottement sera
Appliquons ces considérations à Texcentrique circulaire en nous reportant aux n"" 34 et 35, dont nous conserverons les notations, et à la fig. 78.
Nous avons trouvé pour la vitesse angulaire instantanée de
la bielle
