ÂS

or on a

AS = -^ = -5L, sinABO = t sinô,

BK = L cos ABO = L (i — {«' sin'0), en négligeant la quatrième puissance de l'obliquité; d'où

As = T ?

cosô

CALCUL DBS RÉSiSTANClS PàSSITBS BANS LIS KAGHINES^ ETC. a^']

par suite

w'= w£cos0(i-+-]£*sin*0).

On aura alors, pour le travail élémentaire dû au frottement,

'^ ^ (i— «cosO — |t*8in'^cosô)«rfr

ou, comme (ùdt = dO,

(i) -ML=(i-8C0sô — i«»8in'0co80)^.

Supposons en particulier que robliquilé soit assez faible pour en négliger le cube, et que le mouvement soil déterminé par une force constante P appliquée en B, et dont le sens change après chaque demi-révolution; F sera la résultante de P et de la réaction normale N des patins sur les glissières, en négligeant le frottement correspondant; décomposons la force P en deux autres, Tune normale à OB qui détruira N, et l'autre dirigée suivant AB, et qui ne sera autre chose que F ; mais cette dernière a pour expression

^:::-- = P(i-t-ie'sin'ô),

cosABO de sorte que le travail élémentaire (i) devient

:(i — scosô H-{6'sin'ô)ûfô.

Pour une demi-révolution le travail sera l'intégrale de cette expression prise entre les limites 9 = 0, ô =: tt,

97. Du frottement dans les engrenages cylindriques. *- Nous ne considérerons que le cas d'un engrenage extérieur; celui d'un engrenage intérieur s'en déduira en changeant le signe du plus grand des rayons des circonférences primitives.

2^S QUATRIÈME PAITIB. — GHÀPITRB I?.

Soient (yîgr. i35)

0', 0 les centres de la roue menante et de la roue conduite,

la rotation de cette dernière étant censée avoir lieu de la

gauche vers la droite ; R', R les rayons des circonférences primitives de ces roues; A le point de contact de ces circonférences; m le point de contact des profils ma! de la roue 0'> et ma de

la roue 0. p la normale mk; 9 son inclinaison sur mO; ds Tare décrit dans le temps dt par un point de Tune ou l'autre

<ies circonférences primitives ;

Fig. i35.

p, Q les efforts, respectivement équivalents à la puissance et

à la résistance utile, tangents aux circonférences 0, 0'; N la réaction normale de la dent ma sur ma' ; N' la réaction égale et contraire de ma' sur ma; f le coefGcient de frottement.

Les frottements N/, N'/ étant directement opposés, il suffit de trouver la direction de l'un pour obtenir celle de l'autre. Le glissement j[>(&) +40') de ma sur ma! ayant lieu vers la

CALCUL BBS lÉSISTÀNCBS PÀ8SITBS DANS LES MACHINES» ETC. ^49

gauche 9 les directions de N'/, N/ sont respecilvement dirigées vers la droite et vers la gauche» comme l'indique d'ailleurs la figure.

Soient H et H' les projections de 0' et 0 sur les directions

de N et N', on a

0'H'=R'sin^, OH=Rsin«p;

H'/w = R' 008 y -+-/?, H/ii= Rcosç — /?.

Mais on a, pour exprimer que les forces, qui sollicitent les roues 0 etO' considérées comme libres autour de leurs axes respectifs, se font équilibre,

PR = N.O'H'-+-N/.H'm, QR=N'.OH-hN'/.H/w,

ou, en se rappelant que N = N',

d'où

;P = N Tsin-ï» -+- fUosff + ^; j 1, 0 = N ïdmff -hf f cos<p - ^ j J;

siny-H/^cosî-h Ç^ -/(cos,-j)

sin^ •

Si / était nul on aurait P = Q ; la force tangente à la circonférence primitive 0' équivalente au frottement est donc F=P~-Q, etl'ona

8in<ï>-h/^cos<p--^j

Soient

Al le point de la circonférence primitive 0' qui doit succéder à A sur la ligne des centres au bout du temps J/; A,mi la normale abaissée de ce point sur ma! ; I la projection de A sur cette normale.

On a

aSo QUATRiiau partib. — cbapitib it.

et dans le triangle Ai AI

(I) ds = $^.

Le travail élémentaire fds du frottement a, par suite, pour expression

Yds:=

et le travail total, en supposant constante la résistance Q,

^J 8mfl8in«p-+-/(co8«p--^jJ

Le profil des dents de la roue 0 pouvant être défînl par une équation de la forme p =:F(<p), la détermination de S/ se ramène à une quadrature; l'intégration peut s'effectuer pour les engrenages à flancs, à développante de cercle et à lanterne (*); mais nous nous bornerons à donner la solution approchée admise dans la pratique.

Si nous négligeons le carré de/, qui est ordinairement inférieur à -pfy, on a

Cette formule montre déjà que 6/, pour l'étendue du contact d'un couple de dents, sera d'autant plus faible que p restera plus petit. Il y a donc avantage, en vue de diminuer le travail absorbé par le frottement, à réduire à peu de chose l'étendue du contact entre deux dents; dans ces conditions, <p s'écartant très-peu de sa valeur f • qui correspond au moment où le contact a lieu sur la ligne des centres, l'équation (i) peut, par approximation, être remplacée par la suivante :

dp = sinç,<iff, d'où p = sinf»,^.

( » ) Voir, à ce sujet, mon Mémoire sur le frottement des engrenages coniques et de la vis sans fin {Journal de l* École Polytechnique, XXXUI* Cahier).

CALCUL DES RÉSISTAKCIS PASSITIS DANS LIS MACHIKES, ETC. 25l

et réquatlon (3) par d'où

eipression dans laquelle s est censé représenter le pas de Tengrenage. Le travail utile étant ^«=: Qs, l'expression précédente peut se mettre sous la forme suivante :

Soient /i, n' les nombres de dents des roues 0' et 0;

d'où

Telle est la formule que Ton emploie dans les applications pour apprécier le Iravail absorbé par le frottement.

Cette formule (6) s'applique également dans le cas d'un engrenage intérieur, en changeant de signe le plus grand des nombres n et n'.