Du frottement dans les engrenages coniques. — Soient
SO', SO les axes de la roue menante et de la roue conduite;
(ù'f (ù les rotations de ces deux roues qui ont lieu respectivement de la droite vers la gauche et de la gauche vers la droite pour l'observateur couché successivement suivant SO' et suivant SO en ayant la tête en S ;
SA, 3m les génératrices de contact des cônes primitifs et d'un couple de dents auxquelles, comme on le sait, le plan SA m est normal;
^f Q les forces équivalentes à la puissance et à la résistance utile, respectivement tangentes à deux circonférences des cônes SO', SO passant par un même point A de l'arête de contact SA;
QUATRiftMB PARTIS. — CHAPITRI IT.
r^yP les rayons 0' A, OA de ces circonférences;
a', a les angles connus O'SA, OSA;
ex. l'angle AS m;
9 l'angle des deux plans SAO, SA m;
A m la normale menée aux dents par le point m;
ma', ma les lieux des pieds des normales abaissées des points
des circonférences O'A, OA sur les dents correspondantes; N la réaction normale de la dent Sma sur la dent Sm'a\ qui
est égale et de sens contraire à l'action N' exercée par la
seconde dent sur la première; n le point d'application de N'; /le coefficient de frottement des dents.
Fig. i36.
En déterminant le sens du glissement de la dent S ma sur la dent Smaf considérée comme fixe, ainsi qu'on l'a fait pour les engrenages cylindriques, on détermine le sens de N'/, tel que l'indique la figure, par suite celui de N/.
Par le point K où la direction de N rencontre SA, menons les perpendiculaires Kl% Kl à S0% SO, en prolongeant la pre-
GàLGDL DBS AtSISTANCBS PiSSITBS DANS LBS ■ACHIMES» BTC. a53
mière en Kx au delà de A; la perpendiculaire Ky au plan des axes, et la parallèle Kz à l'axe SO'.
Les angles trièdres SKnx, SKnjr, ayant pour sommet le point K, donnent
C08(N, jr) = — cos/iKor =r sinasln^'— cosaco8a'sin<|p,
co8(îf, j) — — cos/îKr = cosasiof.
En menant la parallèle KH:r à N/» l'angle trièdre SKH, dont K est le sommet, donne également
cos(N/, x) = cosHKj7 = cosasiny.
Enfin il est visible que
(N/,7)=ïrK>=(p.
Abaissons du point n la perpendiculaire ni au plan SK^r, la perpendiculaire np à SA; ni est le bras de levier, par rapport à SO'y de la composante de N/ parallèle à K^; le triangle npl donne
KF
nl = npsm(f = /2Ssinasin<ï) = SKco8asina8inç = -; — ^, sinacosasin«p.
Si J est la projection de n ou / sur K j?, T J est le bras de levier de la composante de N/ parallèle à Ky. Or
l'J = l'K -f- KJ = l'K -h nKcos^x = l'K -+- SK 8ina cos^K^
= l'K IH : ; ) ;
d'où, en remplaçant cosnKx par sa valeur trouvée plus haut,
rj = rK(C0S'a H-sinaC0SaC0t«'C08y).
L'équation des moments appliquée à la roue SO' est
Pr*- Ncos(N,/) l'K - N/cos(N/, x) ni - N/cos (N/,/) l'J = o, OU, en vertu des valeurs que nous venons de déterminer, (i) Pr' = I'K(co83tco8<ï>-^/cos(pcos'a -+-/cota' sinacosa) N, On aurait à faire un calcul identique pour la roue SO; ce-
a54 QVATailMB PA.l'NB. — CIAPITAI IV.
pendant la formule relttlYe à cette roue peut se déduire im^ médiatement de la figure et de la formule (i), en vertu d'une certaine analogie qu'il est facile d'établir. Quoi qu'il en soit, on a
(2) Qr= IK(co8asin(pH-/c08<ï>cos'a--/cotfl8inaco8«)N'>
Des formules (i) et {1) on déduit, en remarquant que
P siny H-/co8<p cosa sina -h f cota' sina Q ~" smtf-h fcosf cosoL — f cola' sina
Si le frottement était nul, on aurait P = Q; la différence F = P — Q représente donc la valeur de la force tangente à la circonférence O'A équivalente au frottement» et l'on a
.^. F = 0/'- 8ina(cot^-4-cot^')
sin(p-+-/cos^ sina —/cota sina
On peut mettre cette expression sous une autre forme; menons, à cet effet, au point 0 dans le plan OSO' une perpendiculaire à SA limitée en L' et L à SO', SO, et posons
R'=AL', B = AL, p = Am; nous aurons (4) ®'*^*^^' ^^^=-57» cota = -g-,
par suite
siny H-/cos(p cosa — 's /?
formule aussi simple que celle qui lui correspond dans la question des engrenages cylindriques, et sur laquelle on retombe d'ailleurs en supposant a = o.
Proposons-nous maintenant de trouver l'expression du travail élémentaire F {/s du frottement, ds étant l'élément de la circonférence OA. Soient (Jig.iSG et 137) SA m, SA,m, deux plans normaux à la surface de la dent S ma' menés par deux
CALCUL DBS RtSISTÀlfCaB PÀ88ITI8 DÀ1I8 LIS ■ACHIIVBS» ETC. 255
points A, Al distants de d$ de la circonférence O'A; nous au-
rons
AS/w = a, A, S/w, =(Z'¥- dtx.
Soit AA| mm. le quadrilatère sphérique déterminé par les quatre droites SA, SA^ S/i?, Suit sur la sphère de centre S et
Fig. 137.
d'un rayon égal à SA. Les éléments de surface AA, mnii, Smm, sont perpendiculaires au plan SA m, et la projection de Taire SA, m, sur le plan SA m, peut être considérée comme étant égale à elle-même; et comme Taire SA m est égale à la différence des projections des aires SA, m,, SAA, sur son plan, on a
