SA} SA' . , , SA
— a= (an- rfa) as sin9,
d'où
ds=SA ^" =
jj, COt m' da
-, COiada siof
ou encore,
en vertu de la
première des relations (4 )i
ds
cosasiny
Les Tormules (3) et (6) donnent la
suivante :
PA-n/n
RV/\M/ï'-A- B ftAt>/I
sinaffa
ei Ton a pour le travail total dû au frottement
I 5,= Q/(R'cotV-4.Rcot»^) r J-. ^^!}^ ,. , . , ,
! ' "^ ^ Vo 8inf(sinf-+-ycosfCOsa— ycotflsma)
a56 QUATftikMB PÀKTII. — CHAPITRE IV*
formule dans laquelle on devra remplacer f par son expression en fonction de a, qui définit la nature de l'engrenage.
L'intégration peut s'effectuer lorsque la surface SA m est un plan méridien ou une développante de cône; mais nous ne nous arrêterons pas à ce détail ( ' ) qui offre peu d'intérêt. Mais, comme il est visible que le travail du frottement pour l'étendue d*un contact est d'autant plus petit que les dénis sont plus courtes ou que a est plus petit» nous supposerons, comme cela a lieu d'ailleurs dans la pratique, cei angle assez faible pour qu'on puisse considérer son cosinus comme égal à l'unité. Alors les formules (5) et (7) deviennent
F= 7 "', ds=±.
j. ( p\ sin«p
Sin y -L- * ' '>«a « — t- » ^
Or ce sont précisément les mêmes que celles qui se rapportent à un engrenage cylindrique dont les rayons des circonférences primitives seraient R' etR; nous n'avons donc qu'à nous reporter au numéro précédent» dont la formule (5) s'applique, par suite, aux engrenages coniques comme aux engrenages cylindriques.
99. Du frottement dans la vis sans fin. — Nous supposerons, pour fixer les idées, que les axes de la vis 00 et de la roue O'O' (fig. i38) sont horizontaux; que le pas de la roue est assez petit pour que l'on puisse sans erreur sensible considérer le contact entre une dent et le filet comme ayant lieu, sur toute son étendue, dans le plan passant par 00 et perpendiculaire à O'O', et par conséquent sur une même hélice du filet; c'est seulement dans ce cas, d'ailleurs, que l'engrenage est sensiblement exaci.
Soient {fig. i38)
R, R', r les rayons de la manivelle, de la roue et du cylindre de l'hélice sur laquelle le contact a lieu;
(* ) Voir à ce sujet le Mémoire cité ci-dessus.
CALCUL DBS RÊSISTAMCBS PASSIVES DANS LBS HAGHIMBS» BTC. 257
P la force motrice agissant sur la manivelle de la droite vers la gauche;
Q la force équivalente à la résistance utile, tangente à la circonférence de la roue;
0), 6)' les vitesses angulaires autour de la vis et de la roue;
/ l'inclinaison de Thélice sur la section droite du cylindre.
Fig. i38.
La relation entre P et Q devant varier très-peu avec la posi- Uon du contact, en raison de l'hypothèse que nous avons faite, nous l'établirons pour le cas où le contact a lieu en A, sur la perpendiculaire commune aux deux axes ; les actions normales égales et contraires N, N' du filet sur la dent et de la dent sur le filet, de même que les frottements N/, N'/, se trouveront alors comprises dans le plan tangent horizontal au cylindre suivant la génératrice passant par A.
Le sens de N'/ étant Tinverse de celui du glissement du filet sur la dent ou de la résultante des vitesses wr, — w'R', ce frottement est dirigé comme l'indique la figure. La comm. 17
i£S8 -Qiijn:iite8 BAViifi.-^ SBACiTisnT.
posame de N' et N'/, paralldlea O^OS^ayantipour expression N'sini -+-N'/cosi, on a pour l'équilibre de la vis
PR = N' ( sin/ -+-/COS/) r.
La composante déN et N/, parâllèïeàOO/étanf Ntrosi — N/âîn /, réqnalion. d'équilibre de laroue est
QR'=N(co8/-/8in/)R'; d'où
^^' Q " cosi— /sini r'
ou encore, en appelant a l'angle de frottement,
(2) Q = gtang(i-+-a).
Pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que ce rapport soit positif ou que l'on ait
autrement il faudrait changer le sens de P pour maintenir Q en équilibre.
Le déplacement élémenlaire de w' R' dt, d'un point de la circonférence de la roue, détermine le déplacement w'R'coti.c//
du filet, et celui delà manivelle est, par suite, w'R' — coti.rf/;
on a donc, par le rapport du travail utile au travail moteur,
Si j'on désigne par h le pas ûe h vis, OiO ^a
valeur que l'on pourra substitue^, si Ton veiut, dans leséquaijows(i), (a), (.Si- Ces mècnes équations s'appliquent encore au cas où la roue conduit la vis, en y changeant /en — / ou a en — a, et l'on
CALCUL DBS 1|fiai8T>4((M PASSIFS» JP^lfS I)«S l)li<€^INBSy ETC. J3i5^
reconnatl alors que, pour que le mouvemôat soiit possible» il faut que i>a.
.100. FriktiemexU d'une carde^isurMU cylindre.. — SluPfPOSOQS (/g-. iSg) qu'une corde, censée réduite à son axe, glissç sur la section droite A/nB d'un cylindre quelconque.
Fig. 139.
Soient
T«y Ti les tensions motrice et résistante des brins extrêmes de la corde, tangentes respectivement en A et B au cylindre;
T la tension en un point queloonquie <» de te corde, co^apris enjtre A et £;
fira!9gleniCA]farmé parles nornodieseofniet A;
mm' y)m'm" dei^ élémeftlSfConséculifsjdela coffde.égauxà rfs, en partant .4u pohit m eti^ didge^nt ivers B..
Xa tension en m' dirigée suivant mfm" estT -\- -j- ds, et fait
as
l'angle 6^9 avec la direction de T; en exprimant que les forces T,
^l^-h-^dsj font équilibre à la réaction normale ^ds du
cylindre et tiu frottement N/rf«, on a, en projetant sur les directions de T et de Nrfs,
(i) ^'^^•^""^» ^ds^Jd^=o;
d'où, par l'élimination deN,
dT-hfT d(f = o,
200 QUÀTRlftMB PARTIE. ^ CHAPITRE IV.
et enfin, en intégrant,
SI l'on désigne par 9, l'angle formé par les normales en A et B, on a
et Ton voit qu'il n'y aura pas glissement ou tendance au glissement tant que l'on aura
Les formules que nous venons d'établir s'appliquent encore avec une grande approximation au cas où la corde fait plusieurs tours en spires jointi ves, à la condition de donner à <p un accroissement de 27: par spire, attendu que l'on peut, sans grande erreur, considérer une spire comme comprise dans un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Si /? est le nombre entier ou fractionnaire de tours que fait la corde sur le cylindre, on a «1=271/1 et
Ainsi, pour une valeur donnée de T», la résistance T, diminue très-rapidement quand n croît; c'est ce qui explique comment, en tenant par un bout un câble faisant quelques tours sur un pieu vertical fixe, on peut, en exerçant un effort très-faible ïi, ralentir le mouvement et arrêter en peu de temps un bateau fortement chargé, animé d'une vitesse notable et auquel se trouve accrochée l'autre extrémité du câble.
101. De la vitesse des différents points de la corde, en tenant compte de son élasticité et de son inertie, — Soient dtr un élément de longueur de corde à l'état naturel ; ds^, ds ce qu'il devient lorsqu'il est soumis aux tensions To, T.
(*) Nous sommes déjà arrivé à cette formule au n® 93 de la deuxième Partie, nu changement près de a en f, sans donner à la constante f la signification actuelle de coefficient de frottement ; mais nous avons cru devoir, pour plus de clarté, reprendre directement la question au point de vue où nous devons maintenant nous placer.
Sous l'action de la tension T, dtr éprouvera un allongement relatif, proportionnel à cette tension; de sorte que» si nous désignons par k une constante, nous pourrons écrire
ds^- d<r (i-t- ^T,), ds = d<r (n- AT) ; d'où
ds = ds^
Si le brin To A se dégage de ds^ du cylindre dans le temps di^
ds sa vitesse sera Vo == -r^*, mais, comme la masse de la portion
Km de la corde est constante, et que la section et la densité
de la corde ne varient pas sensiblement, il faut qu*il passe
en m dans le même temps dt la longueur ds; la vitesse en ce
ds pomt est, par suite, V= -7- ou
D'après M. Kretz (' ), on a, en désignant par A la section estimée en millimètres carrés,
/ = -^ pour les courroies ayant servi quelque temps.
. o,aî ,
/• = -^ pour les courroies neuves.
Comme on ne doit pas, en vue de la sécurité, faire supporter à une courroie de cuir une charge supérieure à o^«,25 par millimètre carré, il faudra satisfaire à la condition
et Ton voit, par suite, que kT sera toujours une petite fraction, dont on pourra négliger les puissances supérieures à la première.
En supposant la vitesse ¥• constante, et en désignant par p le rayon de courbure du cylindre au point m, nous aurons res-
(') Annales des Mines^ i86a, i*' Tolume.
i6û QUATniM pmitr; — oBArann ir.
peetivemerity pour tes ot^mfiodanlesmiigênideHb et tMM point carRespoiMlam dSe la €»réû
c^/ 1 -+- /-Tç d(f ds dt~ i-^ ATo P ^ . P ^^<? '
En appelant p le poids de TunUé de longueur de la corde, il est facile de voir qu'an Heu des équations (a) ott a. les strivantes :
ds g e ^f
d'où, par l'élimination de N, Si nous posons
(/.--/(i-^vj),
l'équalion précédente devient, au degré d'approximation convenu,
(7) rfT-/.(.T-T).= o, d'Où
(8) T = T+(T.-T)e-A», et enfin
V V.ri-4-i^T+^(T.-T)e-/.Tl
La vitesse Y diminue donc très-rapidement (mais d'autant moins que Y« est plos- grand), quand f augnem» ec atteiixit bientAf owe! vailem* peu différente de ta lUniie
CALCUL DBS EiB9ffâlt<n^ PÀSSIYBfr DAHS.U» HMUUMBS, ETC. ^£Sr
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