T- AT
lorsqu'on néglige Tinerlie.
i02. Courroies $ans /in. — Soient {Jig. i4o)
Fîjjr. i4o.
Ot 0' les cemms^ (fe Ia< poiriie menaneie ei^ dcD lai poidie conduite, la droite 00' étant eensée* horizoïtttc pouit^ fixer les iti^es;:
R, W leurs: rajmisi;^
a, af les rayons desicercIesdeoentresO, O', auxquids^on pem supposer* cpae la: puIssaBnee P et la résostaDcet Q sont tairgentes ;
ff à l'es aagies'qne? forment: les dicections dn ces deux: forces considérées conuate positive au oégatiVes^seloa queiFellQ sont sîUiiéa à droite ou à gaacbe de h verticale;
ht, k\ les paiMSi dé tangeiscedes poulies 0, 0^ a^rec kt boîn conducteur, c'est-à-dire celui qui se dégagera ehacfueriiistam da O" pottrft'enrocièeir surO.
A„Jb'j les poHifes de contact, eoitrespondants^^ rekxiiff» à Faixtre brin;
p, çT les djamèlr^ des tourillons des poulies 0, 0^ ;
fi le coef&cientdefrouenient de ces tourillons SAirleuracousrsinets.
Nous supposefvns' que la coorroie est suffisamment: tendue pour que Ton puisse considérer ses deux brins comme rectilignes et nous désignerons par X les angles qu'ils forment avec la ligne des centres 00' de part et d'autre de sa direction.
La poulie O est sollicitée par la force P^par les. teasÂons T«,
264 QUATRiftMB PARTIE. — CHAPITAI IV.
T, des brins AoÂ'q, Âi A', qui agissent respectivement comme résistance et puissance, et que l'on peut supposer appliquées en A„ A; de sorte que l'on a pour l'équation relative à l'équilibre de cette poulie
jPû-+.(T,~TJR
Les tensions T„ ï, agissant respeciivement comme puissance et résistance sur la poulie 0', on a de même
+- ;1L!-- v/[ycos^-h(T, -T,)sinX]'-h [(T.-f T,)cosX-+-Qcos^p =
II nous faut encore établir une autre équation pour que l'on puisse trouver les valeurs des inconnues P, To, T,.
A cet effet, nous remarquerons que l'on peut considérer la masse d'une courroie comme étant proportionnelle à sa longueur ramenée à l'état naturel; cela tient à ce que, sous l'action d'une tension, la section transversale et la densité d'une courroie n'éprouvent pas de variations sensibles.
Soient, à cet effet, L la longueur de la courroie en place, qui reste la même à l'état de repos et à l'eut de mouvement; ^ la tension uniforme correspondant à la mise en place, que l'on peut régler à volonté dans certaines limites, et qui est une donnée de la question.
Quoique, pendant le mouvement, la tension varie entre T, et Ti dans les portions de la courroie qui embrassent les poulies, on peut néanmoins, par approximation et en commettant une erreur d'autant plus faible que les axes seront plus éloignés, admettre que la moitié L a la tension To, et l'autre moitié la tension T,«
La longueur de la courroie ramenée à l'état naturel est par
suite
2(1-hXTj"^'211-i-/T,)'
Ar ayant la même signiflcation qu'au numéro précédent; mais
CALCUL DBS KÉ8I8TAMCI8 PASSIVES DANS LES HAOBINKS, ETC. %6S
elle a aussi pour longueur
En égalant ces deux valeurs» il vient
ou, en négligeant les carrés des allongements relatifs, qui sont toujours de petites fractions,
(3) T.-hT,-26.
Pour achever la solution du problème, il conviendra de remplacer approximativement, dans les équations (i) et (2), le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, et alors on n'aura plus qu'à résoudre trois équations du premier degré entre les inconnues To, T., P.
Soient/le coefficient de frottement de la courroie sur les poulies; 9, 9' les angles au centre correspondant aux arcs embrassés par la courroie sur les poulies 0, 0'; en négligeant l'élasticité et l'inertie delà courroie (100 et 101), il faut, pour qu'il n'y ait pas glissement, que les valeurs obtenues pour To. T, satisfassent aux conditions
Considérons en particulier le cas simple où les deux cordons sont sensiblement parallèles et où les efforts F, Q, étant perpendiculaires à la droite 00', sont respectivement tangents aux deux poulies 0 et 0'. On a
^=0, « = R, û'^R', 7:^0, ^=:rO,
ei les équations (i) et (2) se réduisent aux suivantes :
d'où, en ayant égard à la relation (3»)^
(5) p-Q=-^i^(Ly^F?15-^^/Q^:;:ë»V
Si l'on néglige le frottement'i on a Ptr^Q, ev, k la» setœaide puissance près de/,
(6) p^Q^/,^|^^yQr;:ii.
f081 Bu gfmement paptîîeV d'èf conrroiersm" Bss'poniies. — Comme l'a fait remarquer M. Kretz; pour que' Ik tension passe de To à Ti sur les portions- de la. courroie qui embrassent les poulies, il faut nécessairement que la courroie glisse sur chaque poulie af7antd!dtreaxcnataée dansaiHi mouTemem^
Soient: a OAm à\Ofaf deino anglisrégau» k Iwy^msttfr de'f donnée pat réqosvtlaii:
on a
(7)» ?i.=yriorf^-:
la courroie glissera de A»; en a sur la poulie 0 et de a' en. A', sur l'autre poulie,» et» en vertu de l'équation (5) da n^ 101, nous aurons» en considérant les vitesses V,, V» ea A# eta ou eaA'o^V,
M. Kretz (')» en discutant cette formule, a attribué comme valeur moyenne du second membre de cette équation 0,978 pour les courroiesi ayam servi et 0,975* poup les courroies neuves, de sortie, qxim, peur 100 tours» dia:l« pante mofrlce, l'autre tue fait q;ae:g3 teursr etivir.011» soit un natentisffemefit relatif de a pour 100.
De Ao en a ou de A'o en a' la tension T suit la loi
(9) T = T,e'f9, d'où
(*) Annales des 3^es, iS6a ; 1. 1, p. 76. — Recueil des Mémoires des Swanu étrangers de V Académie des Sciettces, t.. XXII.
CALCUL DBS AMBIOlIltt KàSSITBV BtUA VaSWiiaamES, ETC. 267
de sorte; que* lailonguentr'naUirdlki de A«. or est
/ X n û^ f^f' R* /T^* «^' ^li. T^,i-^^T,
Laleoguaur QaliUB6lle:detA',a' eâlMle mâm»^
La somiïïeid^sroflgwBin^mt'uiîelïes»dtes=irortîons^deï^ cwirroié soumises respectivemBnraux lensibn^Tt, Ti esti enappelantrf 1^' distance dfes axes, et en ayant égard à- la refetion fy),
lii-t-A^T^),o<w>.
(i-+-/T^).cos^
^-4-R (tt -h a>) cos).-^ R'(7r — !i)i) cos^H- a<R'- R)sin>
(i -+- ^T, ) cosX
1 i+xt/^^t;
En exprinuErni que* la semme des longwerttTS naturellies (a), (^)r (^) esi égalera la longueur* iimtrreUé^ eanraspohdaiit; à* la tension» S, 0a trouva
'^^^rn . nM. T, 1-4-XT, . r/H-(R^~R)8in).
</-i-R(7r-f-2>)co8>-i-R'(7r— a>)co8>->-(R'— R)sin>cos>
__ 2^--hR'(7r-4-a>ycos>'-t-R^(7r--2>.yco8'XH-(R^~-ÏÏ)gina^cq3X
i-hX-e
Telle est la véritable relation, qui existe entre les tensions. Tf » T„ qui devrait élre substituée à la formule approchée (3»), à
268 QUATIIÈIIB PAITIB. — GHAPITIB IT.
laquelle elle se réduit quand la distance des axes d est trèsgrande par rapport aux rayons R, R'. Mais nous devons faire remarquer que cette dernière formule est bien suffisante au point de vue des applications (*)•
104. Transmission par câbles. — On substitue des câbles en fil de fer aux courroies lorsque Ton veut transmettre des efforts considérables à de grandes distances, sans éprouver de pertes notables de travail.
Le câble, dont la tension est produite par son propre poids, ou est uniquement en fil de fer, ou est composé de torons en fil de fer avec âme en chanvre disposés autour d'une âîne également en chanvre.
On a reconnu en pratique que la distance des axes de deux poulies consécutives ne doit pas être inférieure à 5o mètres; elle dépasse souvent i5o mètres. Le diamètre des poulies varie entre 2 et 5 mètres. La vitesse à leur circonférence atteint généralement 3o mètres et même 32 mètres.
Toutes les poulies d'une même transmission ont lé même diamètre.
Si trois axes de rotation consécutifs doivent être parallèles, la jante de la poulie intermédiaire présente une double gorge destinée à recevoir les deux câbles.
Si l'axe de la troisième poulie ne doit pas être parallèle aux deux autres, le mouvement est communiqué, au moyen d'un engrenage d'angle, par la seconde poulie à une troisième poulie montée sur le même bâti qu'elle, dont l'axe est parallèle au troisième axe de rotation correspondant à une quatrième poulie.
En employant plusieurs engrenages d'angle, on peut dévier
(') La largeur d'une courroie se détermine ordinairement par la formule empirique
dans laquelle / représente la largeur de la courroie en mètres, F la puissance à transmettre exprimée en chevaux, V la y|tesse de la courroie estimée en mètres, /A un coefficient égal à 0,1 5 pour les arbres de couche et o,ao pour les arbres verticaux.
CALCUL DES RËSISTÀNGB8 PÀSSITBS DANS LES MAGBINES, ETC. 269
delà même manière la force motrice transmise à une poulie en autant de parties égales ou inégales. Le plus souvent les axes des deux poulies consécutives sont
Fig. i4i.
Fi{r. 1^2.
compris dans un même plan horizontal ; lorsqu'il n'en est pas ainsi, la transmission est oblique. M. Riller, ingénieur des tra-
Fig. I
vaux de la Sarine à Fribourg, a le premier employé, dans certaines circonstances, des câbles verticaux.
QVAXfULtW AAin&. -- MâSmm» )W.
Oo soiuAiieat lte^iUiet»r4e8 gftIftU pouriéivîlor qju'jJ vienne toucher le sol lorsqu'il eatjdacé à iHneitaoïiôitrimaiiffisante.
i^j^* &4< ei ujp jrepKésdnteot iPaeqiiiefltiminMl ie» prpfils des jantes d'une poulie à simple et d'une poulie à double gorge. Le type général des bâtis est représemé par la^g^. i43.
Il existe, notamment à Bellegarde, à Fribourg (Suisse) et à Schaftouse, de irès-bell^ installations 4$ transmission par câbles^
CoiKUdérons Je système ^rmé par un clBaBe ^ detnc poulies conséeolvires dont le^notiivement est uniftnaaae^iK^Jts négligerons leïMÉfHMtttjmrttes coussinets et YêlnstàiAié du câble.
Nous jpou^mos svppfiser que le câble est tètfuit à son axe et que les gptftiill^ «suit «remplacées par les ciÎROPoférences de centres C,C,.
Fig. i41.
Par suite de la permtmence du mouvement» :la vitesse est la même ent[ba{^ej;)^Qim flu câble, de sorte ^giue S'influence de l'inertie se pMultîàtK^tte de la force coniiMuge.
Soient
Ox, O/'deu'xtrxesireçtangulairesresppotFvefnem horizontal et
verticafl ; T la tension de l'un ou de l'autre des brins de câble au point
{x, X) oii l'inclinaison de la tangente sur Ox est a ; 5 'la longueur de l'arc du brin aboutissant au même point et
mesuré à partir d'une origine déterminée;
CALCUL DES RfiS9IUINCB8 PASSITES 'DAN«?LBS miQHINESy ETC. !8t.7 I
p lenrayon de-coarbuvedu câble au point {xyf); V la vitesse et/^ieipoids^dn^méape courant du câble.
"Reportons-nous au n** 86 de la deuxième Partie : en considérant an élément du brin et projetant les forces qui le sollicitent sur la tangente et la normale, on trouve
dT T p\^
«o,«^ — r. hocosa.
ds
sina,
Sil'
on
pose
ces équations prennent la forme
(2) ^ = /7Sina, \;^=/^c.os«,
et ne sont autre chose que celles d'une chaînette dont le paramètre est indépendant de la vitesse V, comme les tîonditions qui ser^noBtià âétenminBr les ooostmues lin^irod ailes pao* l'intégration.
On déduit de là
^ ' COSa
(4) A =/;2(tanga -+-«),
m ei a étant deux constantes; puis, en se rappelant que dx = ds cos a, rfj =r rfi:fiin a,
(5) log ?^-I±^,
I— tang -
*^ COSa
6 et c étant deux autres constantes.
Les huit constantes m, a, 6, es ... , relatives aux deux brins, se détermineront par les conditions que ces brins sont tangents aux circonférences C, C„ que la somme de leurs longueurs ajoutées à celles des arcs embrassés par les poulies
?.72 QUATllfeMB PARTIK. — CHAPITRE IT.
est une donnée de la question, et enfin que les forces qui sollicitent la poulie menée s'y font équilibre.
Mais ce calcul ne peut s'effectuer complètement que dans le cas le plus usuel où les axes des poulies sont compris dans un même plan horizonial et où l'inclinaison maximum de chaque brin ne dépasse pas une certaine limite.
Supposons que C soit la poulie menée, que le brin inférieur soit conduit et soient
R le rayon des poulies;
Q l'effort résistant censé tangent à la poulie C;
P la puissance supposée tangente à la poulie Ci, et qui, en raison des éléments que nous négligeons, est égale à Q;
d la distance CCi des axes;
A le point le plus bas du brin inférieur;
e l'angle que forme la verticale avec le rayon mené au premier point de contact de ce brin avec la poulie C ou Ci ;
2X la longueur totale du câble.
Nous ferons passer Taxe Oy par le point A, c'est-à-dire à égale distance des centres C et Ci.
Si nous prenons A pour origine des arcs, a sera nul et, comme b l'est aussi, les équations (4) et (5) se réduisent aux suivantes :
s = /// tang a,
i-r-tang-
log = — •
^ ^ Cf. m I — tang -
Pour a ^
e, on doit avoir
x = r/-+- Rsine,
d'où
