T,-«^PT = 4-"^ -^PT
T,=a + pT, =«(i + p + f') + p% = «f^ -^^"^■'
I ^ T„ = a + ?T„,=«(l-^P + ...-Hf"-')V^«-'T, = aÇ£^+r'T„ 1 (6) P=a + ?T. = "|^ -^^"^'î
mais on a
par suite, en vertu des formules (5),
Enfln, en éliminant T, entre les équations (6) et ( 7), on trouve pour la relation cherchée
^296 QUATRltEME PARTIE. — CHAPITRE lY.
§ IV. — De la résistance de l'air.
117. Lorsqu'un corps se meut dans un milieu, on admet, comme nous l'avons déjà dit au n"* Hk de la deuxième Partie: I" que le milieu n'exerce une action que sur la partie de la surface du corps pour chacun des éléments e/o) de laquelle la direction de la composante normale w de la vitesse ne pénètre pas dans le corps; a*» que le milieu exerce sur rfw une pression ou résistance normale de la forme
k étant un coefficient proportionnel à la densité du milieu et /(w) une fonction de w dont la forme ne peut se déterminer que par l'expérience.
Pour l'atmosphère, kf[w), qui conserve une petite valeur lorsque les vitesses w ne dépassent pas une certaine limite, croît très-rapidement à partir de cette limite, de sorte que la résistance de l'air n'a une influence notable sur le mouvement d'un corps que lorsque les vitesses normales sont considérables pour une portion suffisamment étendue de la surface de ce corps.
La plupart des organes de machines sont animés de faibles vitesses et, de plus, la surface qu'ils opposent à la résistance de l'air est peu étendue. Cependant la résistance de l'air sur les bras d'un volant animé d'une grande vitesse peut avoir une certaine importance, comme sur les rais des roues des véhicules des chemins de fer, et c'est en partie pour ce motif que l'on remplit quelquefois les intervalles des rais ou qu'on en ferme les ouvertures par un disque de tôle.
Les considérations exposées au § VII du Chapitre XIV de la deuxième Partie, relatives à la résistance opposée au mouvement de translation d'un corps dans un liquide, sont indépendantes de l'hypothèse des résistances élémentaires et constituent un progrès notable sur l'ancienne théorie; mais, comme on peut n'en déduire, des conséquences que dans un nombre de cas très-limité, nous allons indiquer comment Newton est
arrivé à donner le premier une expression de la résistance d'un milieu.
Soient
V la vitesse de translation dont est animé, parallèlement à ses arêtes ou génératrices un prisme ou un cylindre dans un milieu dont le poids spécifique est II;
A la section droite du corps ;
A la résistance du milieu qui ne s'exerce que sur Tune des bases du corps.
Dans le temps dt, le corps déplacera le volume de fluide ÈLvdt; si l'on admet que la masse comprise sous ce volume s'est déplacée avec la vitesse c, elle possède la quantité de mouvement -- Av^dty produite par l'impulsion de la pression du corps sur le fluide et qui est égale et opposée k êi; on a ainsi
Sidt = - Wdt,
(I) a-ïÎAc>\
C'est en parlant delà que l'on a été conduite supposer que la vitesse de l'air sur un élément rfw de la surface d'un corps quelconque est de la forme — (v^rfcw, w désignant, comme plus haut,
la composante normale de la vitesse.
Si un solide de révolution se meut parallèlement à son axe, la résistance totale du milieu sera parallèle à cette direction et sera évidemment de la fqrme
(2) a=:^?Ap^
A étant la surfiace de l'équateur, et k une constante qui dépendra-de la forme de la surface
Il résulte de l'expérience que pour de très-grandes vitesses la résistance croit plus rapidement que suivant la formule (2). Poncelet a pensé que cela tenait à ce qu'il y avait une con-
2g8 QUATRIÈME PARTIB. — CHAPITRE IV.
densation ou augmentation de densité de la partie du milieu en contact avec le corps, croissant avec la vitesse. En admettant que cette augmentation soit proportionnelle à la simple vitesse, que n continue à représenter la densité normale du milieu, nous devons remplacer, dans l'équation (2}, n par une expression de la forme n(n- av), dans laquelle a est une constante, ce qui donne
c'est cette formule que M. le général Didion a appliquée aux résultats de ses expériences sur les projectiles sphériques, et qui Ta conduit à lui donner la forme (a) de la page 388 du tome I". Nous n'insisterons pas davantage sur ces considérations théoriques, et nous nous bornerons à donner ci-après les principaux résultats de l'expérience, pour que l'on puisse s'en servir en temps et lieu.
118. Résultats de l'expérience sur la résistance de l'air. I® Roues à nilettes :
^= A(o, 0434 -+-0,1002) (Didion),
A étant la surface des ailettes, c la vitesse de son centre de gravité.
2® Plan se mouvant normalement à la direction de la vitesse: a = A(o,o36-+-o,o84('') (Didion),
A étant la surface du plan et v sa vitesse; quand le mouvement est varié, il faut ajouter à cette expression le terme 0,1649» dans lequel 9 désigne Taccélération.
3® Plan incliné sur la direction du mouvement : ^= A-^(o,o36-4-o,o84f') (Didion),
A étant la surface du plan incliné à a^ sur la direction de ]a vitesse v dans les limites a = 90®, a = 65®.
4® Descente d'un parachute en taffetas monté sur quatre
baleines et une tige^ ce qui lui donne la forme d'un parapluie ordinaire:
a = A.i ,936(o,o36 -h o,o84p') (Didion ),
A étant la projection horizontale du parachute. 5* Descente d*un parachute renversé :
a = A.o,768(o,o36H-o,o84»'') (DroiON).
6° Résistance de l'air sur un train de chemin de fer : ^ = A.o,o927P' (Harding),
A étant la section maximum du train.
7* Projectiles sphériques :
^ =; o, 027 TT R' p'(i -H 0,0023 1'),
entre les limites 3oo mètres et 65o mètres de la vitesse c, R étant le rayon du projectile.
A cette formule on peut» dans les mêmes limites, substituer la suivante :
^ = o,oooi47rR*P*.
D'après M. Mayewski, on a
j a = o ,061 ttR' v^ entre c = 376°» et p = 530*"
! a = o,oi27rR»c/'ri-h (jlg) 1 pour «'<376'".
8® Projectiles oblongs se mouvant parallèlement à leur axe: ^ = o,o447rR*P^ (Mayewski) entre p = 36o et (^ = 5io", ^ = o,oi2;rRV'ri-h (tL) 1 (Mayewski) pour c<36o°'.
§ V. — Des chocs dans les machines.
119. Un choc dans le jeu d'une machine détermine toujours trne perte de demi-force vive au détriment de la constitution des pièces choquantes, par suite de ce que ces pièces ne sont pas parfaitement élastiques. Cette perte, qui, en va-*
3oO QUATRlftMB PAETIB. — GHAPtTIIE IV.
leur absolue, vient se retrancher du travail moteur, constitue un travail résistant, et Ton voit ainsi comment on est conduit à classer les chocs dans la catégorie des résistances passives. Il y a toujours avantage, pour éviter les déceptions, dans le calcul de Tefifet utile d'une machine, à porter au maximum les pertes de travail dues aux résistances passives, que l'on saii évaluer, par compensation avec les pertes semblables dues à d'autres résistances, secondaires à la vérité, et que Ton ne peut soumettre au calcul; c'est pourquoi nous admettrons dans ce qui suit, comme on le fait d'habitude, que les organes percutants sont complètement dénués d'élasticité.
120. Des pilons, — Un pilon n'est autre chose qu'une tige verticale terminée inférieurement par une masse pesante (plate horizontalement, arrondie ou trapézoïdale selon la nature du travail que l'on veut effectuer) et guidée comme on l'a dit au n° 90. Un parallélépipède rectangle (mentonnet) est fixé normalement à l'une des faces de la tige, entre ses deux guides.
Un arbre horizontal animé d'un mouvement de rotation, dont l'axe est perpendiculaire à la direction du mouvement du pilon, est muni de saillies ou cames qui, en agissant successivement sur le mentonnet, soulèvent à une certaine hauteur le pilon; le pilon abandonné à lui-même retombe ensuite par son propre poids et broie (frocarrf), foule [foulon) la matière, etc.
On s'arrange ordinairement de manière que la vitesse de translation du pilon reste dans un rapport constant avec la vitesse de rotation de l'arbre, ce qui conduit (n*» 115) à donner aux cames la forme d'une développante de cercle.
Soient (Jig.iSZ et i54)
I le moment d'inertie. de l'arbre ;
p le rayon de ses tourillons;
/, le frottement de ces tourillons sur leurs coussinets;
(Oo, Gt) les vitesses angulaires de l'arbre avant et après le choc
d'une came contre le mentonnet ; Ml la masse du pilon; V sa vitesse après le choc;
CALCUL DES EtSISTANCBS PASSITBS BANS LES MACHINES, ETC. 3oi
N' la réaction normale, variable pendant le choc, du mentonnet sar la came au point de contact m, tangente en C à la circonférence enveloppée du profll de la came;
f le coefficient de frottement de glissement correspondant;
R le rayon mené de Taxe 0 au point m ;
9 l'angle qu'il forme avec la verticale.
Fig. i53.
Concevons que Ton imprime à tout le système une vitesse égale et contraire à V^ de manière à ramener le pilon au repos; le centre instantané de rotation de l'arbre viendra en C, et le glissement de la came sur le mentonnet aura lieu par suite de la droite vers la gauche; la réaction tangentielle du mentonnet sur la came sera, par suite, dirigée de la gauche vers la droite.
Les quantités de mouvement autour du point ou axe 0, avant ou après le choc, formant des couples, la percussion sur les tourillons est la résultante des impulsions /N'^rf/, fj^ dt, l'intégrale étant prise pendant toute la durée du choc; on a donc, en considérant l'arbre comme libre autour de son axe et exprimant que la somme des moments des quantités de mouvement perdues et des impulsions des forces est nulle, I (w - wj = - R smjJWdi — R cos^f'fWdt
OU
(i) !(%-«) = / NV/ U (siny -^/'cos?) h- >^V^-l±i!!l.
Nous représenterons les guides, leurs réactions, la distance verticale des deux couples de guides par les mêmes lettres qu'au n^'OOy auquel nous nous reporterons, pour la discussion relative à ceux des guides qui doivent fonctionner.
Fig. 154.
Les impulsions des réactions des guides et de la came devant faire équilibre à la quantité de mouvement perdue — MV, pour obtenir les formules qui se rapportent au mouvement du pilon, il suffira d'intégrer pour la durée du choc les équations (i ) du numéro précité, après y avoir supposé X = N'y, Y = N'', et en y considérant ^ et / comme constantes, et d'in-
Calcul des résistances passives dans les uaguines> etc. 3o3
troduire MV dans le second membre de la seconde de ces équations. On trouve ainsi
1 fNrfr-MV [l-^f'e)f"-{^-xr)
y ^^^V'^-r[f-^f'n-^{^-yf-e)[f-f')'
(2) ^ J ^ «f/ - MV ^^^j.^f^f.^^ ^ (x^yf-e) (/-/')'
il-^e{f'-f)
S N"dt = MV
ou encore, comme (90), quel que soit le signe des deux premières intégrales, on doit toujours supposer /'^r/ dans les lermes en e,
Le signe de chacune des impulsions /N dt, JW dt dépend des valeurs attribuées àa? et j. Supposons, par exemple, que la première soit négative : cela voudra dire qu'au lieu du guide A y c*est le guide A, qui fonctionne ; on devra changer N en — N, /en — /, et, si la seconde impulsion est positive, on remplacera/' par/.
Quoi qu'il en soit, la troisième des équations (3) pourratoujours se mettre sous la forme
