NV/=K.MV
K étant Un coefficient que Ton sait calculer. Des équations (i) et (4) on déduit
(5) !(«„-«) =KMVrR(sin?-t-/"cos?)-+- .Jil=y/T:^\
De ce que la came et le mentonnet sont censés dépourvus d'élasticité, leur vitesse normale au point m est la même, ce qui s'exprime par la relation
(6) , . V = wRsiii(p.
3o4 QUÀTmifeMB PARTIE. — CHAPITRE lY.
On déduit des équations (5) et (6)
(il ^
^ •>)gR8iny
Après le choc le pilon s'élèvera, sans exercer de frottement
appréciable sur ses guides, à tres^peu près à la hauteur —
et retombera de la même manière en possédant au bas de sa
course la demi-force vive » qui sera plus ou moins bien
utilisée à produire le travail voulu.
Si la force motrice restitue à Tarbre, entre la fin d'un choc et le commencement du suivant, la perte de force vive qu'il a éprouvée, sa vitesse moyenne sera
et l'on trouvera facilement les expressions de w, wo, V en fonction de 12. Quant à la perte totale de la force vive due au choc, elle a pour expression
et pourra s'exprimer en fonction de la vitesse angulaire moyenne.
121. Choc des cames et des marteaux. — L'usage des marteaux mobiles autour d'un axe horizontal a presque entièrement disparu dans les forges. Au marteau allemand (soulevé entre la tète et l'axe par des cames montées sur un arbre dont l'axe horizontal est perpendiculaire au précédent) et au marteau frontal (soulevé au delà de la tête par rapport à l'axe du marteau auquel est parallèle celui de l'arbre), on a substitué les presses, puis le marteau pilon et les cylindres cingleurs.
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3o5
Au martinet franc-comiois (soulevé au delà de son axe par rapport à la tête) a succédé, pour la fabrication de la verge, le train de cylindres connu sous le nom de petit milL
Ces marteaux offrent néanmoins, au point de vue de la théorie des chocs, un véritable intérêt, et nous allons étudier en particulier le cas du martinet.
Si Ton veut que la vitesse angulaire du martinet reste dans un rapport constant avec celle de l'arbre, comme l'épaisseur du manche est petite, on donnera au profil des cames la forme épicycloïdale des dents de Tengrenage à flancs rectilignes (15).
Soient {Jig. i55)
Fig. i55.
0, 0' les axes de l'arbre et du marteau;
m le point de contact d'une came avec le manche au moment
où le choc a lieu; R la distance Om; OK la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la tangente en m
à la came; <p l'angle mOK; R' la distance 0' m;
K'ia projection de 0' sur le prolongement de Km; 9' l'angle formé par 0' m avec 0' K';
1, r les moments d'inertie de l'arbre et du marteau par rapport à leurs axes respectifs;
M' la masse du marteau; G' son centre de gravité; a la distance O'G';
3o6 QUATRifeME PARTIE. — CHAPITRE IV.
H' la projection de G' sur la parallèle en 0' à Km;
a r angle formé par O'G' et O'H' ;
p, p' les rayons des lourîllons de Farbre el du marteau ;
/,,/*, les coefficients de frottement de ces tourillons sur leurs
coussinets; / le coefficient de frottement de la came sur le marteau ; Wo la vitesse angulaire de Tarbre avant le choc; (ù, (ù' les vitesses angulaires, après le choc, de Tarbre et du
marteau ; N la réaction normale variable du marteau sur la came pendant
le choc.
La direction de N/est celle du glissement du marteau sur la came, ou de la résultante des vitesses g>)'R' du point du marteau qui se trouve au contact, et de la vitesse -—coR égale et contraire à celle du point de la came qui se trouve aussi en m; N/esl, par suite, dirigé vers la droite, comme Tindique la figure.
Les quantités de mouvement perdues de Tarbre, formant un couple, n'exercent aucune action sur Taxe; l'impulsion de la réaction des coussinets sur les tourillons se réduit, par suite, à v^i -\-f\fNdt et donne, par rapport au point 0, le moment
Il vient donc, en exprimant que les quantités de mouvement perdues et les impulsions des forces se font équilibre autour du point 0,
l{<^--t^,) = '-mKJNdt---OKjfNdt-----M=\/TTjr,S^dt
ou
(i) I(«-«J=.-/N^rrR(sinY+/cosç)-^ -:4£^-/rï7n.
Considérons maintenant le marteau sur lequel agissent en m les composantes N', N'/de la réaction de la came, égales et contraires à N et N/. La résultante des quantités de mouvement perdues, étant la quantité de mouvement perdue du
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES» ETC. Soy
centre de gravité où toute la masse serait concentrée, a pour expression
et ses projections, Ma(ù' cosoc, Ma&>'sina, sur les directions de N' et N'/ sont de même sens que ces forces. Les impulsions de la réaction du coussinet faisant équilibre à celles deN', N'/età — Maw', ont pour résultante
v^(Mflw'cosa-+-/N^O'-^(Maw'sina-f-/./N^r]% et Ton a, pour Téquation des moments par rapport au point 0', IV= O'm.fi^'dt-hCyK'.ffKdt
^'^ v/(Mflw'cosa -^ /N^/)'h- (M«a>'sina -h/. jN dt)'
ou
( IV = /N^rR'(8inf'-4-/'coS(p')
v/{M«w'cosa-+-/N^)='H-(Mûw'sina-+-/./N^/)\
équation dans laquelle on pourra remplacer le radical par une fonction linéaire des racines des deux carrés qu'il comprend, en remarquant que, en général, le premier sera supérieur au second.
On a d'ailleurs la relation
(3) wRsin(p = w'R'sin(p',
qui exprime que, à la fin du choc, les vitesses normales de Tarbre et du marteau sont égales, puisque Ton suppose que les deux pièces sont complètement dénuées d'élasticité.
En éliminant /Nrf^ entre les équations (i) et (2), l'équation résultante, jointe à l'équation (3), fera connaître u et (ù\
Si nous négligeons l'influence relativement faible du frottement sur les tourillons, les équations (/) et ( 2 ) se réduisent aux suivantes :
V) I (« — «0) = — /N^.R(8in(p H-/coS(p ),
2') r»'^ /N^.R'(8in<p'-h/co8<p');
3o8 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où
G? ~ ÏR'" sinç'-H/cos^'' et, en vertu de la relation (3),
(a 1 W = zrz-^ : 7; ; ?
^ ' FR^ sm<p-+-/co8«p smy
R siny (4) .'= "'^'^'°^'
rR^ siny-h/cosy siny IR" 8iny'H-/cosy' siny'
11 sera facile d'exprimer Wo, w, w' au moyen de la vitesse moyenne de Tarbre
et de calculer I^ par suite le moment d'inertie d'un volant, pour que l'écart relatif de vitesse
soit au plus égal à une fraction déterminée.
122. De la levée du marteau. — Après le choc, le marteau s'élèvera à une certaine hauteur^ puis retombera sur la masse à élaborer placée sur l'enclume. Nous nous bornerons, en conservant les dénominations précédentes, à étudier le mouvement ascendant ou la levée : la théorie de la chute s'établirait de la même manière.
Soient, à un instant quelconque (Jig. i56), B l'inclinaison
de O'G' sur l'horizon; <«>' = jt Ï21 vitesse angulaire du marteau. Appelons w', la vitesse angulaire du marteau après le choc, ou ce que nous avons désigné plus haut par w' et que nous supposons connu ; 0i la valeur correspondante de Q. La pression exercée sur l'axe 0' est la résultante du poids M'get de la force d'inertie de la masse M' supposée concentrée en G, qui se compose de la force centrifuge M'w"a et de la
Calcul des résistances passites dans les machines, etc. 3og
force langenlielle Ma-^, dirigée en sens inverse de la vitesse «' a. Or, le poids Wg donnant les composantes — M'g-sin Q,
Fig. i56.
W gcosB suivant les directions de ces deux dernières forces, la pression sur 0' a pour expression
On a donc, en prenant les moments par rapport à 0', (1'^^==- Mycose
i^— My yJ[at»^'^-gûii^Y-\- ^^cose-Hû ^y
On remarquera que --r- est négatif, que les deux binômes
sous le radical peuvent passer du positif au négatif et que Ton ne peut pas assigner a priori les limites entre lesquelles varie leur rapport; de sorte qu'il n'est pas possible de remplacer approximativement le radical par une fonction linéaire des racines de ses deux carrés. Nous procéderons alors comme il suit :
Si nous appelons X = rj7~ la longueur du pendule synchrone
de la masse M' correspondant à Taxe d'oscillation 0' et si nous négligeons, comme première approximation, le terme en/; p' oui est toujours très-petit, la formule (5) devient
(6) =|cose;
3lO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où, en mullipliani par dO el inlégrani,
(7) a>'^=w;=^-f- ^(sine,-8in0).
Portons les valeurs (6) et (7) de l'équation (5), multiplions ensuite par d9 et intégrons, nous aurons
et Ton est ramené ainsi à une quadrature. L'angle de levée 6», obtenu en supposant w' = o dans cette formule, sera un peu inférieur à celui 6\ que l'on obtient en faisant la même hypothèse dans l'équation (7), qui donne
sin ô'» = sin ô, h wj .
Pour 6 = 9o, le premier binôme sous le radical a pour valeur
et cette valeur sera généralement positive, parce que l'angle ô, est ordinairement petit; pour 6 = 6\ il se réduit à
et la considération de ces deux limites permettra de remplacer le radical par une fonction linéaire des racines de ses carrés pour intégrer par approximation.
On limite ordinairement la levée des martinets franc-comtois et des marteaux allemands, en les faisant buter contre une pièce de bois (rabat) encastrée à une extrémité, et assez longue pour présenter un certain degré d'élasticité, de sorte que la force vive perdue par ce choc est faible. Le rabat a pour objet de réduire notablement la durée de l'ôscillatitm com-7 plète du marteau, et d'obtenir un plus grand nombre de coups par minute.
CALCUL DES RfiSlSTANGES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 01 I
123. Des effets du tir sur les différentes parties de V affût d*une bouche à feu, — La durée du parcours d'un projectile dans rame d'une bouche à feu étant très-courte, on peut assimiler à des chocs l'effet de la pression des produits de la combustion de la poudre sur le fond de Tâme et ceux, qui en résultent par contre-coup, de la pièce sur Taffûl, de Talfût sur les moyeux, des jantes des roues sur le sol.
De deux choses Tune : i° ou la crosse et les roues exercent une pression sur le sol pendant la durée du choc, et alors tout le système prend un mouvement de translation parallèle au sol sur lequel les roues roulent ou glissent; 2® ou les roues n'exercent aucune pression sur le sol; dans ce cas, la translation parallèle au sol sera accompagnée d'une rotation autour du point d'appui de la crosse sur le sol.
Dans l'un ou l'autre cas, ou la culasse s'appuiera sur la vis de pointage et alors l'affût et la pièce se mouveront comme s'ils formaient un seul corps solide, ou la culasse se séparera de la vis de pointage, la bouche à feu prenant ainsi un mouvement propre de rotation autour de son axe.
Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que l'on peut supposer le système réduite sa projection sur son plan méridien, perpendiculaire aux axes des tourillons et des fusées, mené en leur milieu, en attribuant, aux projections des différentes parties dont il se compose, les masses, les moments d'inertie, etc., de ces parties.
Comme nous n'avons aucune notion sur la manière dont se meuvent les éléments matériels de la charge dans l'âme à mesure qu'elle se brûle, nous ne pourrons tenir compte de cet élément que par approximation, en supposant, comme au n" 46 de la troisième Partie, que la moitié de la charge possède la même vitesse que le projectile et l'autre moitié la même vitesse que la pièce elle-même. Ainsi, dans ce qui suit, nous comprendrons dans la masse du projectile la moitié de la masse de la charge; quant à l'autre moitié, elle est négligeable par rapport à la masse de la pièce.
Comme, dans les questions de choc, on ne fait pas intervenir l'action de la pesanteur, nous pourrons, pour simplifier le langage, supposer que le sol est horizontal.
3l2 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
La Jpg. i57 représente, à une échelle réduite, une pièce de 7 se chargeant par la culasse.
Fig. 157.
Soient {Jig. i58), en projection sur le plan vertical passant par Taxe de la pièce,
0,, O3 les axes des tourillons et des fusées;
O2 le point d'appui de la crosse sur le sol;
BOiB' l'axe de la pièce;
i son inclinaison sur Thorizon considérée comme positive ou
négative selon que la portion OiB de Taxe, dirigée vers la
volée, se trouve au-dessus ou au-dessous de Thorizon; G, le centre de gravité de la pièce, censé situé sur son axe; y sa distance à TaxeOi, égale, environ, au yî ^^ diamètre de
râïiie; Ga le centre de gravité de Taffùt et des roues; A2, Ui sa hauteur au-dessus du niveau du sol et la distance de
sa projection horizontale g^a au point d'appui de la crosse; A le point de contact géométrique des roues avec le sol ; / sa distance au point O2 ; vî la hauteur verticale OiO, de Taxe Oi au-dessus du sol et %
la distance de sa projection horizontale o, au point 0,; p^xsïni — n cos i la distance du point O2 à Taxe de la pièce ; R3 le rayon O3A des roues; m la masse du projectile augmentée de celle de la moitié delà
charge ;
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. 3l3
vh vitesse du projectile à sa sortie de l'âme;
M, Ml, M3, M3 les masses de tout le système, de la pièce, de
Tensemble de Tafifût et des roues, et des roues ; 11, /la, Tts les rapports à M de Mi, Ma, M,;
MiA-^MsAr,, Mzkl les moments d'inertie des masses Mi, M2, M3 par rapport aux perpendiculaires au plan de la figure passant par leurs centres de gravité respectifs ;
Pi, ps les rayons des tourillons et des fusées;
fi/fiffi les coefficients du frottement de glissement des tourillons sur leurs coussinets, des fusées dans leurs boîtes et des roues ou de la crosse sur le sol;
3i le coefficient du frottement de roulement des roues sur le sol;
N„ N',, N',, Na, Na les impulsions des réactions normales de Taffût sur les tourillons, de la vis de pointage sur la culasse, des fusées sur Taffùt, du sol sur les roues, du sol sur la crosse ;
Ta, T3 les impulsions des réactions tangentielles correspondant à Na, Na;
»i, ua, Gi>8 les vitesses angulaires de la pièce autour de Taxe des tourillons, de Taffùt et des roues autour de Taxe projeté en Oa, et des roues autour de l'axe des fusées ;
V la vitesse de translation horizontale de tout le système au moment où le projectile sort de Tâme et qui est de sens contraire à la projection horizontale de v.
Nous allons examiner successivement les deux cas qui peuvent se présenter.
3l4 QUATRifcMB PABTIE. — CHAPITRE IV. '
1° Les roues et la crosse restent en contact avec le soL — Tout le système sera, après la sortie du projectile, animé de la vitesse V et les roues tourneront autour de leur axe en glissant ou roulant sur le sol.
La pièce, ou se détachera de la vis de pointage par une rotation w, autour de Taxe d de la gauche vers la droite, ou ne sera animée que du mouvement de translation.
Si la pièce tourne autour de Oi, l'impulsion N', est nulle et la quantité de mouvement perdue qui fait équilibire à N, -f- N,/, se compose de MV, — mv et de — - Mi ewiy, que nous négligerons dans l'évaluation du moment du frottement des tourillons, eu égard à la petitesse de y et de /,pi. On a donc, en négligeant de plus// devant l'unité,
— M, (^î-+-7') w, --M,V7sin/— /, p, /(M,V — m(fCOSiY -h m^v^ sin^i.
Mais, si l'on néglige les frottements et le mouvement de rotation des roues dont l'influence est secondaire, on a, en projetant les quantités de mouvement sur l'horizontale,
/wpcos/= MV,
de sorte que l'on peut écrire avec une approximation très-satisfaisante
(0 »,= ^ [-7smi-/.p, ^(-L ,y-H ij langv];
mais, pour que les choses se passent comme nous l'avons supposé, il faut que &)i soit positif, ce qui exige que i soit négatif ou que la volée plonge sous l'horizon; s'il n'en est pas ainsi, la culasse reste en contact avec la vis de pointage.
Nous laisserons constamment subsister &)i dans nos formules, sauf à supposer nulle cette vitesse angulaire lorsque i sera positif.
La crosse glissant sur le sol, on a
et, en exprimant que les quantités de mouvement perdues se font équilibre sur tout le système dans le sens horizontal et
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES HACBINES, ETC. 3l5
le sens vertical, on a
MV — mp 008/ -H T3 -h N,/, -+- U^ w, 7 sin/ = o, — mv sini -h N3 -h N2 — M », 7 cosi = o,
OU, comme wt est de Tordre de la distance y, dont nous négligerons le carré,
, ^ ( MV — wP00S/-+-T3-+-Nj/, = o,
• ( — mvsini -+- N3 -f- N, = o.
Nous allons maintenant exprimer que les sommes des moments des quantités de mouvement perdues et des impulsions des forces pour tout le système se font équilibre autour de Taxe Oj; nous négligerons le coefficient S par rapport à / quand il y aura lieu de le faire entrer en ligne de compte, c'est-à-dire quand il y aura roulement; nous considérerons là vitesse angulaire wa comme positive lorsque son sens sera de la droite vers la gauche; les quantités de mouvement perdues auxquelles donne lieu cette vitesse se réduisent à un couple dont le moment est M^kloy^. Si Ton continue à négliger les termes du second ordre en y, on peut supposer, dans l'évaluation du terme en Wi, que 0, est le centre de gravité de la pièce ; de sorte que cette vitesse angulaire donne lieu à des quantités de mouvement perdues, qui forment un couple dont le moment est — Mih] wi. Nous avons ainsi
Mj/zj V -H M, (>3 — 7 sinO V ■+■ mvp -+- M3 kl W3 — M, /•; », — N3/ = o.
Posons
[a] M^ = M,^,-hM,yî;
A serait l'ordonnée verticale du centre de gravité de tout le système si 0, était celui de la pièce; l'équation ci-dessus devient
(3) (M^ - M,7 sin/) V^tmp -h yiA'l «3- M.^J w, - N3 /= o.
La résultante de N'^, N'2/2 étant égale et opposée à celle <le N3, T3, et de la quantité de mouvement transitoire Ms V,
3l6 QUATRlàME PABTIB. — CHAPITRE lY.
on a, en considérant les roues et prenant les moments par rapport à Os,
-M3Xio,3--;£|^y(T5-^M3Vr-^Nî-N,^-^T3R3=o;
mais Ta est au plus égal à N3/3; de sorte que Ton a, en négligeant les termes du second ordre en fi, f 2 >
(4) -M3/->3-p3y; v/MîV''^NJ-N3^-4-T,R3=o.
Nous avons maintenant à faire deux hypothèses. a. Les roues roulent sur le sol. — On a
L'équation (4) devient par suite
-M3^^V-p3y;v^|V^^N^-N3^-HT3R3=:o
et montre que la quantité de mouvement MsV est de l'ordre du frottement, de sorte que l'on peut en négliger le carré sous le radical; en posant
(à) ^ = S^p,f,, f*.,= ft'
il vient
(4') T3=M3fX3V+N3^,
La première des équations (2) devient par suite
N3 5- -t- N,/^ = mP cosi - M (i -h W3P3) V,
et donne avec la seconde
mif ( f^ sin I — cosQ h- M (i -h 723 (X3 ) V
mif ( 008/ — rp sin/ ) — M (i-h /Î3 fXj ) V N, = A^ h /
CALCUL DES RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES IIACHINES, ETC. 3ï'J
L'équation (3 ) prend la forme
/ M ( I -+- /îjf/j ) V -h nît' (/j sini — cos/ )
Si nous posons
et
. = « ! [^sin/^/py(i^-,yH-i,tang^i]
ou «i=«g-'
sauf à supposer e=:o lorsque i sera positif, et si nous nous rappelons /i = x sin i — 73 cosi, l'équation ( 3') donne
r (1-^/3) cos/- sini(/;-/3f)l
Les équations (4') et (5) feront ensuite connaître les valeurs de Ts, N3, N'a ; mais, comme elles sont très-compliquées, pour mieux voir de quelle manière les choses se passent, nous négligerons les petits termes en e, y, A et de plus ceux en 113 dans le calcul de V, Nj, N'g ; nous trouverons ainsi, fcn remarquant que fz devient /s.
r(i-^/,)co8/-/,(i-f)sin/1 = mv y^^ j-^ -^1
XT f njTr/: (>î — A)cos/-f-(Y— /-A)sin/ N3 / = MVA H- mvp = — mV' -^. — '-^—!- ,
XT 1 • • 1 XT / (>i — A)cos/— (y — /)sin/ Nj/=r/72c/sm;/ — N3/= nw^ i L^^ ,
T3/ = ,i,f*3MV=m.-^i^[(/->,/Jcos/-^,(X-/)sinO. En remarquant quex>^> vî>A, les conditions N3>o,
3l8 QDATMfcMB PÀBTIB. — CHAPITaB IT.
Ni > o, Ta < N,/, se traduisent par
En satisfaisant à la troisième de ces conditions, on satisfera a fortiori à la première; les deux limites de i sont donc données par la deuxième et la troisième de ces inégalités. Pour qu'elles soient compatibles, il faut que
ce qui aura généralement lieu; car x est presque toujours égal à / ou en diffère très-peu. L'angle i sera positif et par conséquent la pièce ne tournera pas sur ses tourillons. b. Les roues glissent sur le soL — Dans ce cas on a
et les équations (2) deviennent
Wf — mv cosz -H/2 (Nj -+- N3 ) = o,
— nivûni -f- N, -+- N3 = o, d'où • (6') MV = /wj'(co8/ — / sin/).
Nous pourrons, dans le terme très-petit en ps/^ de l'équation (4), négliger M^ V^ devant NJ, en raison de ce que N3 dépend de MV, comme nous le verrons ci-après, et que le rap-
M3 port «3 = -^ est toujours petit.
Cette équation donne par suite
M3>^N3=N3(/,R3^/ip3),
et, en portant celte valeur dans l'équation (3), on trouve MV [A— /î,(78in; -+-Ks)] -+- mc(x sin/ — >ï cosijf
et cette équation, jointe aux équations (6') et (2'), fera con-
naître N,, N3. Si nous ne conservons que les termes principauxy nous avons, diaprés les équations (3), (6'], et la seconde des équations (2'),
N, = ^ = — [(^^f^h)sini-{n — h)cosi],
Nj = /wpsiii/ — N3 = — [(/— X'+"/3^)sini-H(>3 — ^)cosi]. Les conditions N3>o, N2> o se traduisent par (8) tang/> ^Z/y t^ng/(/-xH-/.^)-+-(i-^)>o.
Comme "où a généralement / = x> la seconde de ces inégalités sera satisfaite pour toutes les valeurs positives de i supérieures à celle qui est donnée par la première. Dans ce cas encore, la pièce ne tournera pas sur ses tourillons.
2? Vaffât tourne autour du point d* appui de la crosse. — D'après la figure, la rotation &>} ne peut avoir lieu que de la droite vers la gauche. Nous continuerons à considérer la rotation de la pièce wi autour de l'axe Oi comme positive lorsqu'elle aura lieu de la gauche vers la droite.
Le mouvement de la pièce résulte des translations ayant pour vitesses Y, a)20i 0, et de la rotation &)i, dont nous ferons abstraction, comme plus haut, dans le calcul de la percussion sur Taxe Oi, en raison de la petitesse de y. La quantité de mouvement transitoire perdue par Mi et m, ayant pour composantes horizontale et verticale, MiV 4- M, oh/î — mi'cosi, — M, (ùiX — ^^ sini, il vient, en continuant à négliger le carré dey,
--M,X;w, — (M,V-hM,w2»:)7siii/ — M,WjX7COS/
=t:/,p,/(M,V-4-M,6)5>ï — /wccos/j^-+-(M, &>jX'^'^*'8iû/)'= o;
d'où
320 QUATRlàMB PARTIE. — CHAPITRE IV.
en prenant le signe -+- ou le signe —, selon que
( V -f- Wjïj ) 7 sin ; -f- o)j X7 cosi sera positif ou négatif.
Concevons que Ton imprime à tout le système une translation égale et contraire à la vitesse du point 0„ ce qui ne changera en rien le mouvement relatif de la pièce par rapport à l'affût; ce mouvement sera dû à la rotation (ùi + cus autour du point Oi, qui doit être positive pour que la culasse se sépare de la vis de pointage, et c'est ce qui aura généralement lieu. La condition wi 4- ewj <; o, exprimant que la pièce se meut avec l'affût comme un seul corps solide, ne pourra être remplie que par des valeurs négatives de &>i ou positives de i, pour lesquelles (ù2 sera du même ordre de grandeur que &)i pris en valeur absolue. Dans ce dernier cas, nous pourrons négligera)} dans le calcul de &)(, qui sera ainsi donné par la formule (i) de l'article précédent ou par
Nous avons, pour les équations d'équilibre, relatives à tout le système, entre les impulsions des forces et les quantités de mouvement perdues,
iMV — mv cosi -+- Nj,/j -h DM, (>î — 7 sin/) -h M,^ J w^, = o, — mvsini -h Nj— [Mj(x — 7 cos/) -+- Mj/zjw^ = ^» ' • iV[M,^,-hM,(>î-7sinO]
( ^rrwp M,/->, H- [M,(/i -h a^ -h h]) h- M,(x'-^- >3')] «, = 0.
Posons, comme plus haut,
(b) M,r!-hM,^,= M//,
et de plus
Les équations (10) prennent la forme
l MV--iw<'COS/-+-M(/t — /?i7Sini)w,H-Nj/^ = o.
(il) \ — /wcsini — M(« — /2j7COS/)&)2-+-Nj= o,
( MV (h — /?,7 sini) -h wp/?— M,Xî(«, -+- wj -h MX'w, = o.
Des deux premières on déduit, par Télimination de N:,
MV — Awp(cosi— /jSin/)
( -+-M[/i — /ï,7sin/-h/,(fl — /i,7C0Si)]w, = o.
Nous avons maintenant à examiner les deux cas qui peuvent se présenter.
a, La culasse reste en contact avec la vis de pointage. — Ce qui correspond, comme nous l'avons vu plus haut, à la condition analeptique ci),-hw2<Co; mais nous devrons supposer û),-h wa=: o dans les équations précédentes.
De la troisième des équations (ii) et de l'équation (12) on lire, en se rappelant que/i = xsîni — rîcosi
/ __ /77C ïî cos/ — X sin/ — (cos/ —f^ smi){h — /?,7 sin/) I '~ M ^*— [A— /z,7sin/ -Hy,(a— /i,7C0Si)](A — /i,7sin/)'
l ~ I X-— [(// — w,7Sin/-h/2(«-- //,7 cos/)](/{— /^^7Sin^) \
Il nous reste à voir maintenant entre quelles limites de { les quantités &), et N2 sont positives. Pour simplifier les calculs, nous négligerons les termes très-petits en y et nous aurons d'abord
/ __mv [n — A) cos/ — (/ — hf^ ) sin /
) „y [/" — »(// H- a/',l]cost-f- sinf[x(A -t- af,) — .f,^'] ( " k'-h(li-^aj\)
La seconde des équations (ii) donne ensuite
, .. „ • . w [«(« — /') cosf -I- (/-' — A' — flv) sinil
Pour que co, et N, soient positifs, il faut que
(tang/<^^.
La limite inférieure de i, fournie par la première de ces iné-
galitésy n'est autre chose que la limite supérieure que nous
avons trouvée dans l'hypothèse (6) du cas étudié en premier
lieu, ce qui devait être, car il est clair que, à partir du moment où les roues cessent de presser le sol, il doit y avoir tendance à la rotation autour du point d'appui de la crosse.
La condition w, -f-û)2<o donne, en se reportant à l'équation (i),
^•;[(>î-^)cos/-(x--A/*a)sini]
Posons
tang/'= j-^- i = r H- a«,
ai étant du même ordre de grandeur que y ou p,/,; nous aurons, en nous en tenant aux termes du premier ordre,
appelons — v la limite inférieure de 8i fournie par celte inégalité et qui sera généralement négative, nous devrons avoir
L'angle / ne pourra donc être compris qu'entre V et i' — e, de sorte qu'il doit arriver très-rarement que la culasse reste au contact de la vis de pointage.
b. La culasse se sépare de la vis de pointage. — A mesure que id écroîtra à partir de i'— e, la vitesse angulaire &>a croîtra et acquerra bientôt une valeur bien supérieure à w,. Admettons que I ait atteint une valeur telle que 6)1 soit complètement négligeable par rapporta elle; nous devrons supposer ei)i=odansIa troisième des formules (11), ce qui revient tout simplement à remplacer, dans les formules ( i4 ), (i5) et (16), A» par Ar'— Ar*; nous n'avons donc rien à ajouter à ce que nous venons de dire, et la question peut être considérée comme complètement résolue.
§ VL — Des modérateurs.
Hk. Les modérateurs soni des appareils qui ont pour objet ou de s'opposer à toute accélération de mouvement d'une machine ou de ralentir ce mouvement parla création de nouvelles résistances passives.
Comme moyen de rendre le mouvement uniforme, on voit facilement qu'ils se distinguent des régulateurs, que nous avons étudiés plus haut et qui règlent l'intensité de la force motrice sans dépense notable de travail.
Les modérateurs ne fonctionnant qu'au détriment du travail moteur dépensé, leur emploi doit être très-limité et l'on ne doit y avoir recours que lorsqu'on ne peut faire autrement.
125. Modérateurs à ailettes. — Ce modérateur, qui est appliqué notamment aux t-ournebroches pour en régulariser le mouvement, se compose d'un arbre, mis en mouvement par le mécanisme, suivant l'une des circonférences duquel on a monté normalement deux ou quatre bras identiques, situés deux à deux dans le prolongement l'un de l'autre.
 l'extrémité de chaque bras se trouve adaptée une ailette, à l'aide d'un pivot légèrement conique dont elle est munie, dont l'axe passe par son centre de gravité et que l'on introduit à frottement dur dans un« cavité de même forme, pratiquée dans le bras. Le pivot est tantôt normal au bras, tantôt placé dans son axe de figure à son extrémité libre (Jig. ^ %)• On peut ainsi incliner à volonté l'ailette d'un certain angle, le plan passant par l'axe de rotation et celui du pivot. Toutes les ailettes sont d'ailleurs identiques.
Considérons en particulier le cas d'un treuil mis en mouvement par un poids Q attaché à l'extrémité d'une corde enroulée sur le cylindre, et régularisé par un modérateur à ailettes monté sur le même axe.
Soient
R le rayon du treuil ; Gt) sa vitesse angulaire ;
324 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
j, I le poids et le moment d'inertie du treuil et du modérateur;
p le rayon des tourillons;
 Taire de chaque ailette et r la distance de son pivot à Taxe de rotation;
n le nombre des ailettes;
i leur inclinaison sur les bras.
Fîg. 159.
La composante normale de la* vitesse du centre de gravité de chaque ailette étant wrcosz, la résistance de l'air sur celle ailette pourra être représentée (118) par (a-+-6wV*cos*/)A, a et 6 étant deux constantes; on a par suite, pour le moment total de la résistance de Tair, — nA(a-f- 6wV*cos'/)rcosi. En raison de la symétrie dans la distribution^ des ailettes^ la résistance de l'air forme un couple et n'exerce ainsi aucune pression sur les appuis.
Il en est de même de Tînertie du treuil et du modérateur^ lorsque le mouvement n'est pas arrivé à l'uniformité comme nous le supposerons*
Le frottement sur les tourillons étant dû à l'action de q et du poids .Q augmenté de sa force d'inertie, on établit facilement l'équation
— I-^ — QR^-r- -+-QR-- /?Arcos/(rt-hèw='/'-cos^/)
dt at
OU
équation de la même forme que celle de la chute d'un corps pesant dans un milieu résistant, et dont on déduira les mêmes conséquences; le mouvement deviendra bientôt sensiblement uniforme, et la valeur de la vitesse angulaire sera donnée par l'équation
«A^r^C0S^/w^ = QR I I ;=== ^ \—nkarco^i •-%^=rpflr= o.
126. Des freins. — Les freins sont des modérateurs qui fonctionnent par suite du développement d'un frottement de glissement comme résistance passive.
Un frein se compose le plus souvent d'une pièce de bois appelée mâchoire ou sabot qui, sur une partie de sa surface, présente en creux la forme de la jante d'une roue ou d'une poulie sur laquelle on peut la serrer plus ou moins fortement par l'intermédiaire de vis et de leviers, et d'où résulte un frottement et par suite un ralentissement [du mouvement. Dans d'autres circonstances le frein est formé d'une lame d'acier qui se termine à une extrémité par un œil s'engageant dans un cylindre fixe; cette lame est garnie intérieurement d'une bande de bois {Jig* i6o) dont la flexibilité est augmentée par des traits de scie; il suffit, au moyen d'un levier, d'exercer sur l'autre extrémité de la lame un effort de traction pour appliquer la bande de bois sur la roue.
Il ne faut pas brusquer le serrage du frein, car autrement il
se produirait des chocs qui auraient pour effet, au bout d'un certain temps, d'altérer la constitution de la machine.
Fig. iGo.
Il convient aussi d'appliquer les freins à des poulies d'un grand diamètre ou animées d'une grande vitesse, pour qu'en exerçant une faible pression on développe de la part du frottement un travail résistant notable.
Presque toujours on ne fait agir un frein qu'après avoir supprimé l'action de la force motrice; il n'y a, pour ainsi dire, d'exception à cette règle que dans la bonne conduite des voitures dans les descentes, où l'on serre les freins adaptés à un couple de roues, de telle manière que le cheval soit encore obligé, pour entretenir l'uniformité du mouvement, d'exercer encore un léger effort de traction en vue de diriger le véhicule.
Supposons que le frein soit disposé de façon que la pression normale exercée par sa mâchoire sur la poulie puisse être considérée comme étant uniformément répartie sur la surface de contact.
Soient
N celte pression rapportée à l'unité de surface; /' le coefficient de frottement correspondant;
R, e le rayon et la largeur de la poulie; p le rayon des tourillons;
/ le coefficient de leur frottement sur les coussinets; 2y l'angle au centre de la mâchoire;
<p l'angle que forme un rayon quelconque avec la bissectrice de l'angle 2y.
Le frottement sur l'élément de surface correspondant à l'angle d(s^ étant /'eRrf9, on a, pour le moment total dû à cette résistance.
L'effort exercé sur l'axe résulte : i*» de la résultante des pressions normales élémentaires dirigée suivant la bissectrice de 2y, et qui a pour expression
a^R / NcoS(ï>rf(p = a^RNsinv;
2° de la résultante des frottements élémentaires perpendiculaires à la précédente, et dont la valeur est
- 2eR/' pNsintprfy ^ aé?R/'N(i- coso).
Cet efifort ayant ainsi pour valeur
aRé-N v/sin^7 -+-/'"' (i — cos©)*, on a, pour le travail total développé par le frottement,
— 2^R»N f/'v -h ^ ê /sin'7-h/"(i-cos(p)0 . L v/i -^P ^ J
Supposons maintenant que l'on veuifle établir un frein de telle manière que, pour une pression normale donnée N, une machine s'arrête au bout d'un temps également donné t, après avoir supprimé l'action de la force motrice. Il est clair que nous arriverons a fortiori à ce résultat en négligeant les résistances passives développées dans le mécanisme, qui viennent en aide au frein, ainsi que l'inertie des pièces oscillantes, s'il en entre dans la composition de la machine. IJans
ces conditions, si o) est la vitesse angulaire de la poulie^ la force vive de la machine sera de la forme ^Aw^ A étant une constante; le travail résistant utile pris en valeur absolue, produit dans le temps dty peut se représenter par Kt^dt^ et nous supposerons que K est une constante ou diffère peu d'une constante, comme cela a lieu généralement. Le principe des forces vives donne, par suite,
Aw cfw = — Kwr/f — ï^R'N f/'v ^ '—--— fi v^sinV^^" ( « — cosTJ 0 « dt.
Si Ton intègre cette équation, après avoir supprimé le facteur w, et que Ton désigne par wo la valeur de la vitesse angulaire au moment où Ton a atteint la pression N, très-voisin d'ailleurs de celui où le frein a commencé à agir, on trouve
d'où, en supposant w = o.
ce qui établit une relation entre les quantités e, R, y, que l'on pourra généralement faire varier dans des limites assez larges.
127. Freins des véhicules des chemins de fer. — Dans la composition d'un train de chemin de fer, on intercale de distance en distance un wagon-frein. Les quatre roues d'un wagon de cette nature sont munies chacune de deux sabots identiques symétriquement placés par rapport au diamètre normal à la voie.
Considérons d'abord un véhicule ûctif qui n'aurait qu'une roue descendant en roulant sur une voie inclinée de l'angle i sur l'horizon. Cet angle est toujours assez petit (tangi > o,o25) pour que Ton puisse regarder cos/ comme égal à l'unité.
Soient (fig. i6i)
Q le poids de la charge que supporte la fusée; q celui de la roue et de son essieu;
I le moment d'inertie de ces deux pièces par rapport à Taxe de rotation ;
2e Tangle formé par les bissectrices des angles au centre des deux sabots, et dont la bissectrice est normale à la voie;
P Tefifort de traction parallèle à la voie, en y comprenant Tinertie due à Taccéiération de la vitesse V du mouvement de translation du véhicule; cet effort est égal et de sens contraire à la réaction longitudinale T du rail. La vitesse
angulaire de la roue sera — •
Fig. 161.
Conservons d'ailleurs les notations du numéro précédent.
D'après ce qui précède, les efforts exercés sur la fusée par chacune des mâchoires du frein se réduisent à deux forces égales à sNResiny, dirigées suivant les bissectrices des deux angles au centre 2 y, et à deux autres forces égales à 2NR^'(i — coscp), respectivement perpendiculaires aux précédentes. Les deux systèmes de forces se réduisent eux-mêmes à deux forces rectangulaires 4NRe siny coss, 4NRe/'(i — coscp)sine, dont la première est dirigée suivant la bissectrice de l'angle 2 g. La résultante des efforts exercés sur la fusée a, par suite, pour expression
i/(4NResin7COSsH-Qcos/)^-h 4NR<?/'(i— cos^)sin6-hP— - — ;
mais, comme elle ne doit entrer dans notre équation que multipliée par le coefficient ^ f ou tout simplement par le facteur /p, qui est relativement petit, on peut sans incon-
vénîenl négliger sous le radical le terme en /' et P -7-9
qui est toujours une petite fraction du terme Q cosi, que Ton peut prendre égal à Q. En se rappelant que la réaction longitudinale T est égale à P et remarquant que la réaction normale du rail est Qcos 1+9, ona, pour l'équation des moments par rapport à Taxe de la roue,
I dY
Revenons à la réalité : on peut concevoir Tefifort total, parallèle à la voie, comme la charge totale, décomposé en quatre forces correspondant chacune à Tune des roues, que Ton peut considérer alors comme isolée. Pour chaque roue, on aura une équation analogue à la précédente; en ajoutant les quatre équations et désignant par Pi Tefifort total parallèle à la voie, Q, la charge totale, 5, et h la somme des poids et des moments d'inertie des roues et des essieux, on trouve
— /p(i6NR^sin7 cose -+- Q^) - o.
Supposons maintenant que le viragon-frein se trouve à la queue de /i — 1 wagons dont il doit ralentir le mouvement, et que toutes les pièces tournantes soient identiques. Désignons par l'indice k les quantités qui se rapportent au k*^' wagon et partant celui qui porte le frein; par Fii ja tension de la barre d'attelage qui relie le (/r — i)*^' véhicule au A^''**; nous aurons
et l'équation (i) devient, par l'élimination de Pi,
(- -(0, + ?,)|-i6NcR'(^/'7+/^sm7COse')=o. L'équation relative au k""" véhicule s'obtiendra évidem-
ment en supposant N = o dans celle dernière ; remplaçant F» par Fjt+t — F*, ei Tindice i par k dans les autres quantités à l'exception de g, I et R, on trouve aussi
jF,-F, + (0, + î.)8in/-/PQ3-(Ç^^+lL)î^-(Q,+ y,)| = o, F.-F3+ =0,
Si l'on ajoute les équations ( 2 ) et ( 3 ), que l'on appelle Q' le poids total de la charge sur les essieux, ^ le poids des essieux, r la somme des moments d'inertie des pièces tour^ nantes, on trouve
