I -i6NRV^/'y-h/^sin7COSs^-(0'-+-^')g =o

Soient maintenant

V, la vitesse du train à partir du moment où Ton serre les

freins ; s le chemin parcouru au bout du temps t; Il la valeur de s correspondant à Tarrêt ou à V = o.

On tire de l'équation (4)

! i6NR^(/'7-h/^sin7C08£)-+-(Q'-4-^')|-(0'-+.5r')8in/-+-/£Q' h- V = Q--f y- , r ''

i6RN^ (/'7 -/-sin7C0sA -^(Q'-^q') g- (Q'4-y')sini +/^ Q'

Si Ton se donne s, N, Vo, i, celle équaiion permettra de calculer Q' et par suite le nombre de wagons que doit desservir un wagon-frein pour pouvoir s'arrêter à une dislance déterminée sur une pente donnée, et enfin le nombre de wagons-freins que Ton doit établir dans un train se trouvant dans les conditions ci-dessus.

Soit/'' le coefficient du frottement de glissement des roues sur les rails; pour que les roues du wagon-frein ne glissent pas, il faut que Pi<(Qi -f-^i)/*, ou, en vertu de l'équation (i), que

Si Ton ajoute cette inégalité à l'équation (4) pour éliminer N, on trouve

dt\ g g J

rfV et l'on voit que — -tt-» c'est-à-dire le ralentissement, atteindra

son maximum lorsque les roues glisseront sur les rails, ou que le maximum d'effet dû frein sera produit lorsqu'il y aura glissement.

Supposons maintenant que l'on veuille calculer le nombre n de véhicules que doit desservir qn wagon-frein serré à fond; pour plus de sécurité nous ferons abstraction des résistances passives autres que le frottement sur les rails, ainsi que de l'inertie des roues, et nous aurons ainsi

Si Qi H- q\ représente le poids moyen d'un wagon, nous poserons

et nous aurons

d'où

Le temps au bout duquel le train s'arrêtera est

^•--smij^

et le chemin parcouru correspondant

d'où, pour le nombre des wagons que doit desservir un wagonfrein,

— ~ -4- sin/

334 QUATRIÈME PAKTIE. — CHAPITRE lY.

NOTE

SUR LA SUBSTITUTION PAR APPROXIMATION , ENTRE DES LIMITES DÉTERMINÉES DU RAPPORT DES VARIABLES , d'uNE FONCTION HOMOGÈNE DE DEUX VARIABLES A UNE AUTRE FONCTION HOMO- GÈNE DU MÊME DEGRÉ.

Soit F (x, 7) une fonction homogène du degré /w; proposons-nous de déterminer les valeurs de deux coefficients arbitraires a, p d'une autre fonction homogène F, (x, /) du môme degré, de telle manière que les erreurs relatives

se trouvent partagées, dans les meilleures conditions, entre les limites supérieure /;, et inférieure /•, du rapport -• Nous pouvons poser

F(x, yr) = ^/(f ) > F, (x, x)=^f, (f ) > et nous avons par suite

Nous poserons

•^ = tangS,

ou, lorsque la valeur absolue de - ne pourra pas dépasser Tunité,

- = sin9.

Dans les deux cas e prendra la forme

Nous pouvons considérer e comme étant la différence du rayon vecteur de la courbe représentée par l'équation polaire

et du rayon, égal à l'unité, de la circonférence ayant le pôle 0 pour centre. Soient 9, et 9, les valeurs de 9 correspondant aux limites /", et k\ du

rapport - •

Les termes dans lesquels nous avons posé la question, nous devons l'avouer, sont assez vagues et peu susceptibles d'une définition analytique. Pour les préciser il nous faut avoir recours à une espèce de sentiment sur la manière dont les erreurs relatives doivent être le mieux partagées en vue de rendre aussi petite que possible la plus grande valeur absolue de e,

La solution suivante se présente naturellement à l'esprit :

Exprimer que les deujc erreurs relatives pour ^ = k^^ — = A\ sont

égales et de même signe et égales et de signe contraire au maximum ou au minimum que prend la fonction e entre 9=B^ et B = 0,.

Soient

63 la valeur de 9 comprise entre 9, et Q, qui rend maximum ou minimum la fonction 7 (9) ;

û„ «j, «3 les points de la circonférence de rayon égal à l'unité correspondant aux angles 9,, 9,, 93 ;

A„ Aj, A3 les points de la courbe représentée par l'équation (3), situés respectivement sur les mômes rayons que les précédents.

Nous devrons exprimer que l'on a

(4) A,«, =Ajâr„

et nous aurons ainsi deux relations qui nous permettront de déterminer les coefficients a et p, ainsi que la valeur absolue e^ de la plus grande erreur relative représentée par ±X^a^.

Applications.

En posant

J = tangQ,

on a

p = a sinO h- p cosô,

équation qui représente un cercle qui passe par Torigine 0. Pour que la condition (4) soit satisfaite, il faut que Oa^ soit lfig.1^2]

Fig. 162.

la bissectrice de Tangle a^0n^ = B.^—9^, angle que nous désignerons par 2 s.

En appelant êl le rayon OC du cercle OA3, la condition (5) donne

d^où

par suite, (7)

I — a <fH. COSe = 2^H. — I ,