SI

e,„ = 2^'-i= tang'-

Soit 0/w = p le rayon vecteur du cercle de rayon êl correspondant à Tangle polaire /wOo? = 0; la figure donne

<f = 2^ cos [9 — (9, -h 6 )] = [cos9 cos(9i -4- s) -h sin9 sm{B^ 4- s)] ;

cos -

d'où, par comparaison avec la formule (6),

(8) «=: !Ei?l±i], fi^ COS(9,-4-e);

cos* - cos* -

Dans le cas où A\ est infini, on a .

a=i'-tang'-> p = atang-)

formules qui ont permis de former le tableau suivant (')

8ÔÔ

Si Ton sait seulement que / est plus grand que x, on pourra prendre

y/p^t^^ =o,96jr-4-o,4ox, en commettant une erreur relative au plus égale à y^ (').

(*) PoDcelet, qui le premier a traité cette question, est parvenu aux formules (7) et (8')f mais non pas aux formules (8), parce qu'il est parti d'autres considérations que les nôtres.

(•) Approximation linéaire de ^ar'-H^'-f-z*. Proposons-nous de substituer au radical sJx^-\-y^-\rz* le trioôme a^ -h /3 jr H- y « dan» des conditions telles que, en considérant :r, r> z comme les composantes suivant trois axes rectangulaires Ox, 0^, Oz d'une force F, l'erreur commise soit aussi petite que possible lorsque la direction de cette force doit être comprise dans l'angle trièdre formé par trois droites données OF^, OF,, OF,.

L'erreur relative

n'est autre chose que la différence entre les rayons vecteurs de deux sphères, III. 33

En continuant à poser - — tangO, on trouve

^ asinô -h f)C08ô'

Tune (A), dont l'équation est

{b) J?'-^r'-H«* — (a^-H/3a:-f-yz)= o,

et qui passe par rorigine, et l'autre (a) ayant pour centre cette origine, et dont le rayon est l'unité.

Le moyen qui paraît le plus avantageux, pour atteindre le but proposé, consiste à exprimer que la valeur de e est négative et est la même pour les droites OFj, 0F„ OFj, et que, prise positivement, elle est égale au maximum de l'erreur relative.

La question ainsi posée, soient C le centre du petit cercle de la sphère (a), déterminé par les droites ci-dessus désignées; jl, /x, v les angles formés par oC avec ojr^ oXf oz^ et qui sont des données de la question, de même que l'angle 2 e du cône {s) ayant o pour sommet et le cercle précité pour base.

Il est visible que le centre O de la sphère (A) doit se trouver sur oC, et que la position de la somme géométrique F, au lieu d'être limitée par l'angle trièdre, peut occuper une position quelconque dans l'intérieur de (5).

Soient (/îg. i63)

Fig. i63.

ox! la trace sur xoy du plan mené par oz et oG ;

A„ â, les intersections de oG avec (A) et (a);

Al, A, les points de (A); a^y a, les points de (a) respectivement situés sur les

CALCUL DBS RÉSISTANCES PASSIVES DANS LES MACHINES, ETC. SSg

équation d'une droite qui sera nécessairement parallèle à la corde a, ^, qui coupera le rayon Oa^ en un certain point I.

Si l'on appelle a la distance 01 et ae l'angle ô.^ — 0,, la condition (5) donne

i — a = 1 , d ou a = I — tang^ - 1

génératrices du cône {s) comprises dans le plan zoCy et qui sont le plus petit et le plus grand angle avec ox'; <^ = oO = OAj le rayon de (A).

On doit d'abord avoir

ce qui se traduit par Tégalité

aéR.— .1 = 1 — 2^ ces c , d'où

L'erreur relative maximum est par suite

W <?^ = 2^— i = tang«5»

et l'on a pour .l'équation de (A)

O' — ^ cos A)» -h ( x — ,^ co8/*y H- (2 - ,^ cosv)« = ^' ou

De la comparaison entre les formules (a) et (e) on déduit, pour les valeurs des coefficients cherchés,

, -, C08 >l ^ C08 // COS' V